1、1第 12 讲 年龄问题年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。例 1 儿子今年 10 岁，5 年前母亲的年龄是他的 6 倍，母亲今年多少岁？分析与解：儿子今年 10 岁，5 年前的年龄为 5 岁，那么 5 年前母亲的年龄为 5630（岁），因此母亲今年是305=35（岁）。例 2 今年爸爸 48 岁，儿子 20 岁，几年前爸爸
2、的年龄是儿子的 5 倍？分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“4820”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的 5 倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍时，儿子的年龄是（4820）（51）7（岁）。由 20713（岁），推知 13 年前爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍。例 3 兄弟二人的年龄相差 5 岁，兄 3 年后的年龄为弟 4 年前的 3 倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？分析与解：根据题意，作示意图如下：由上图可以看出，兄 3 年后的年龄比弟 4 年前的年龄大53412（岁），由“差倍问题”解得，弟 4 年前
3、的年龄为（534）（31）6（岁）。由此得到弟今年 6410（岁），2兄今年 10515（岁）。例 4 今年兄弟二人年龄之和为 55 岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的 2 倍，请问哥哥今年多少岁？分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数 2 倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是 1 份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为 2 份，今年哥哥岁数为 21=3（份）（见下页图）。由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为55(3+2)3=33(岁)。例 5 哥哥 5 年前的年龄与妹妹 4 年后的年龄相
4、等，哥哥 2 年后的年龄与妹妹 8 年后的年龄和为 97 岁，请问二人今年各多少岁？分析与解：由“哥哥 5 年前的年龄与妹妹 4 年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“45”岁。由“哥哥 2 年后的年龄与妹妹 8 年后的年龄和为 97 岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“9728”岁。由“和差问题”解得，兄（9728）（45）248（岁），妹（9728）-（45）2=39（岁）。例 6 1994 年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的 4 倍。2000 年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的 2 倍。问：父亲出生在哪一年？分析与解：如果用 1 段线表示兄弟二人 1994 年的年龄和，则父亲 1994
5、年的年龄要用 4 段线来表示（见下页图）。3父亲在 2000 年的年龄应是 4 段线再加 6 岁，而兄弟二人在 2000 年的年龄之和是 1 段线再加 2612（岁），它是父亲年龄的一半，也就是 2 段线再加 3 岁。由1 段12 岁=2 段3 岁，推知 1 段是 9 岁。所以父亲 1994 年的年龄是 9436（岁），他出生于1994361958（年）。例 7 今年父亲的年龄为儿子的年龄的 4 倍，20 年后父亲的年龄为儿子的年龄的 2 倍。问：父子今年各多少岁？解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的 4 倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加 4 岁。这样，20 年后儿子增加 20 岁
6、，父亲就要增加 80 岁，比儿子多增加了 802060（岁）。事实上，20 年后父亲的年龄为儿子的年龄的 2 倍，根据刚才的假设，多增加的 60 岁，正好相当于 20 年后儿子年龄的（42）2 倍，因此，今年儿子的年龄为（20420）（42）2010（岁），父亲今年的年龄为 10440（岁）。解法二：如果用 1 段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4 段线来表示（见下图）。20 年后，父亲的年龄应是 4 段线再加上 20 岁，而儿子的年龄应是1 段线再加上 20 岁，是父亲年龄的一半，也就是 2 段线再加上 10 岁。由1 段20=2 段10，4求得 1 段是 10 岁，即儿子今年 10 岁，从而父亲今年 40 岁。例 8 今年爷爷 78 岁，长孙 27 岁，次孙 23 岁，三孙 16 岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？分析：今年三个孙子的年龄和为 272316=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多 786612（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加 1113（岁），比爷爷多增加312（岁）。因而只需求出 12 里面有几个 2 即可。解：78（272316）（1111）6（年）。答：6 年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
