1、1六年级（小升初）总复习行程问题教学目标：1 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；2 能够利用线段图、算术、方程方法解决 变速变道等综合行程题；3 变速变道问题的关键是如何处理“变”；4 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题知识精讲：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上 讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多 应用题时有着 “得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单 明了。比例的技巧不 仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题 也有广泛的应用。我们常常会应
2、用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用 来表示，大体可分为 以下两种情况：,vts乙 乙 乙甲 甲 甲 ，； ；1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过 同一段时间后，他 们走过的路程之比就等于他们的速度之比。，这里因为时间 相同，即 ,所以由svt甲 甲 甲乙 乙 乙 tt乙甲 sttv甲 乙乙甲 乙甲 ，得到 ， ，甲乙在同一段 时间 t 内的路程之比等于速度比stv甲 乙乙甲 v甲 甲乙 乙2. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时， 2 个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。，这
3、里因为路程相同，即 ，由svt甲 甲 甲乙 乙 乙 s乙甲 svtsvt乙 乙 乙甲 甲 甲 ，得 ， ，甲乙在同一段路程 s 上的 时间之比等于速度比的反比。stt乙 乙甲 甲 vt甲 乙乙 甲行程问题常用的解题方法有公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解， 这种方法看似简单 ，其 实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接 给出的， 这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的行程问题中，为 了明确过程，常用示意 图作为辅 助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追
4、及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、 时间等) 往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比2例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把 结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很 难 求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解例题精讲：模块一、时间相同速度比等于路程比【例 1】 甲、乙
5、二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米，则 A、 B 两地相距多少千米？【 两个人同时出发相向而行，相遇 时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇 时所走过的路程比为 4 : 3第一次相遇时甲走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程，三个全程中甲走了 个全程，与第一次相遇地点的距离 为 个全程所以 A、 517542(1)7B 两地相距 (千米)20【例 2】 B 地在 A，C 两地之间甲从 B 地到 A
6、地去送信，甲出发 10 分后，乙从 B 地出发到 C 地去送另一封信，乙出发后 10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从 B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的 3 倍，丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。【 根据题意当丙发现甲、乙 刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：10分分10分分 10分分CBA因为丙的速度是甲、乙的 3 倍，分步讨论如下：1 若丙先去追及乙，因时间 相同丙的速度是乙的 3 倍，比乙多走两倍乙走需要 10 分钟，所以丙用时间为：10（31）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信5分分5分分10分分10
7、分分 10分分CBA当丙再回到 B 点用 5 分钟，此时甲已经距 B 地有 10105530（分钟），同理丙追及时间为 30（31）=15（分钟），此 时给甲应该送的信， 换回乙 应该送的信在给乙送信，此时乙已经距 B 地：10551515=50（分钟），此时追及乙需要：50（31）=25（分钟），返回 B 地需要 25 分钟所以共需要时间为 5515152525=90（分钟）2 同理先追及甲需要时间为 120 分钟3【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从 、 两点出发，甲每分钟行 米，乙每分钟AB80行 米，出发一段时间后，两人在距中点的 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了
8、 分钟，60 C7两人将在距中点的 处相遇，且中点距 、 距离相等，问 、 两点相距多少米？DD【 甲、乙两人速度比为 ，相遇的 时候时间 相等，路程比等于速度之比，相遇 时甲走了全80:64:3程的 ，乙走了全程的 第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以477第二次乙行了全程的 ，甲行了全程的 由于甲、乙速度比 为 ，根据时间一定，路程比等于74:3速度之比，所以甲行走期间乙走了 ，所以甲停留期间乙行了 ，所以 、 两点34174AB的距离为 (米)1607=804【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相
9、遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米那么 A、B 两地相距多少千米？【 两车相遇时甲走了全程的 ，乙走了全程的 ，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此5949时甲、乙的速度比为 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了(120%):(120)5:6，距离 A 地 ，所以 A、 B 两地的距离为 (千米)4689518541045【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米下午 4 点时小王到达乙地，
10、晚上 7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？【 从题中可以看出小王的速度比小张块下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15 千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了 15 30 45 千米，故小张的速度是 45 3 =15 千米/时，小王的速度是 15 30 =45 千米/ 时全程是 45 3 =135 千米，小张走完全程用了 135 15= 9 小
11、时，所以他是上午 10 点出发的。【例 6】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？ 【 由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定从甲地到乙地共用 3 小时，如果最后一小 时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要 1 小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下
12、坡更用不了 1 小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1 小时的路程，而 这个路程恰好比以平路的速度走 1 小时的路程(即第二小时走的路程) 多走 15 千米，所以 这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，不合题意，所以假 设不成立，即第三小时全部在走上坡路如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走 1 小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，也不合题意，
13、所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路所以整个行程为：第一小时已走完下坡路， 还走了一段平路；第二小 时走完平路， 还走了一段上坡4路；第三小时全部在走上坡路由于第二小时比第三小时多走 25 千米，而走平路比走上坡路的速度快每小 时 30 千米所以第二小时内用在走平路上的时间为 小时，其余的 小时在走上坡路；5230616因为第一小时比第二小时多走了 15 千米，而 小时的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小 时余下的下坡路所用的 时间为 小时，所以在13057.6 1157.2第一小时中，有 小时 是在下坡路上走的，剩余的 小时是在平路上走的233因此，陈明走下坡路用了 小
14、 时，走平路用了 小 时，走上坡路用了 小时1576176因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是 那么下坡路的2:43速度为 千米 /时，平路的速度是每小时 千米，上坡路的速度是每730150541059小时 千米96那么甲、乙两地相距 (千米)279602453模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例 7】 甲、乙两人同时从 地出发到 地，经过 3 小时，甲先到 地，乙还需要 1 小时到达 地，此ABBB时甲、乙共行了 35 千米求 ， 两地间的距离【 甲用 3 小时行完全程，而乙需要 4 小时， 说明两人的速度之比 为 ，那么在 3 小时内的路程之比4:也是 ；又两人路
15、程之和为 35 千米，所以甲所走的路程 为 千米，即 ， 两地间4: 3520A的距离为 20 千米【例 8】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过 4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系） 从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820（分），乙需 204630（分）.【例 9】 上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地， 8 点 20 分甲与从 B
16、 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变； 8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分【 甲、乙相遇 时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走 10 3= 30 分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分 钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出 发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点 5 分5
17、【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的 1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是 1由于下坡路与一半平路的 长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需 时间是 ，因此，走上坡路需5.68要的时间是 ，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为 ，5128 1:8:所以，上坡速度是平路速度的 倍8【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达但汽车行驶到路程的 时，35出
18、了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【 当以原速行驶到全程的 时，总时间也用了 ，所以还剩下 分钟的路程；修理完毕335350(1)20时还剩下 分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为 ，根据2051 :154:3路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为 ，因此每分钟应比原4:来快 米473小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后 计算比原来快多少，但不如采用比例法简便【例 12】 ( “我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发 小时后因故停车 小时，然后以原速的
19、208 10.5前进，最终到达目的地晚 小时若出发 小时后又前进 公里因故停车 小时，然后同341.59.样以原速的 前进，则到达目的地仅晚 小时，那么整个路程为 _公里【 如果火车出发 小时后不停车，然后以原速的 前进，最 终到达目的地晚 小时，在一小1341.50时以后的那段路程，原计划所花的 时间与实际所花的时间 之比为 ，所以原 计划要花3:4小时， 现在要花 小时，若出发 小时后又前进 公里不停车，然14319后同样以原速的 前进， 则到达目的地 仅晚 小 时，在一小 时以后的那段路程，原计划40.5所花的时间与实际所花的时间之比为 ，所以原计划要花 小时， 现在要花3:40.543
20、1.5小时所以按照原计划 公里的路程火 车要用 小时，所以火车的原0.5329.速度为 千米小时，整个路程为 千米91.606012【例 13】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，于是提前 1 小时 40 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【 从开始出发，车速即比原 计划的速度提高了 1/9，即车速为原计划的 10/9，则所用时间为原计划的110/9=9/10，即比原计划少用 1/10 的时间，所以一个半小 时等于原计划时间的 1/10，原计划时间为：1.51
21、/10=15(小时) ；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的 17/6=6/7，即此后比原计 划少用 1/7 的时间，所以 1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：5/31/7=35/3(小时) ，所以，原 计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市 间的路程为：84 15= 1260(千米)6【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前 1
22、 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【 车速提高 20%，即为原速度的 6/5，那么所用时间为原来的 5/6，所以原定 时间为 小51()6时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的 13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为 小时所以前面按原速度行使10()43的时间为 小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的15643538【例 15】 一辆车从甲地开往乙地如果车速提高 ，可以比原定时间提前 1 小时到达；如果以原速行20%驶 120 千米后，再将车速提高 ，则可以提前 40 分钟到达那么甲、乙两地相
23、距多少千米？5【 车速提高 ，速度比 为 ，路程一定的情况下，时间比应为 ，所以以原速度行完全程的时20%:66:5间为 小时651以原速行驶 120 千米后，以后一段路程 为考察对象， 车速提高 ，速度比为 ，所用时间比应24:5为 ，提前 40 分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要 小时，所以以原速:4 405163行驶 120 千米所用的时间为 小时，甲、乙两地的距离为 千米108638270【例 16】 甲火车 分钟行进的路程等于乙火车 分钟行进的路程乙火车上午 从 站开往 站，开45:BA出若干分钟后，甲火车从 站出发开往 站上午 两列火车相遇，相遇的地点离 、AB9:0两站的距
24、离的比是 甲火车从 站发车的时间是几点几分？B15:6分析甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比根据题意可知，甲、乙两车的速度比为 5:4从甲火车出发算起，到相遇时 两车走的路程之比为 ，而相遇点距 、 两站的距离的5:41:2AB比是 说明甲火车出发 前乙火车所走的路程等于乙火 车 个小时所走路程的15:6也就是说乙比甲先走了一个小 时的四分之一，也就是 15 分钟所以甲火车从24站发车的时间是 点 分A815模块三、比例综合题【例 17】 小狗和小猴参加的 100 米预赛结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到 90 米处，决赛
25、时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪 10 米小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？【 小猴不会如愿以偿第一次，小狗跑了 100 米，小猴跑了 90 米，所以它 们的速度比为；那么把小狗的起跑线往后挪 10 米后，小狗要跑 110 米，当小狗跑到 终点时，小猴10:9:跑了 米，离 终点 还差 1 米，所以它还是比小狗晚到达终点【例 18】 甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 7地，此时甲、乙共行了 35 千米
26、求 A， B 两地间的距离【 甲、乙两个人同时从 A 地到 B 地，所 经过的路程是固定所需要的时间为：甲 3 个小时，乙 4 个小时（3+1）两个人速度比为：甲：乙=4：3当两个人在相同时间内共行 35 千米时，相当与甲走 4 份，已走 3 份，所以甲走：35（43）4=20（千米），所以，A、 B 两地间距离为 20 千米【例 19】 、 、 三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市开车后 小时 车出了事故， 和ABC 1AB车照常前进 车停了半小时后以原速度的 继续前进 、 两车行至距离甲市 千米45BC20时 车出了事故， 车照常前进 车停了半小时后也以原速度的 继续前进结果到达乙市B4
27、5的时间 车比 车早 小时， 车比 车早 小时，甲、乙两市的距离为 千米CB1A1【分析】如果 车没有停半小时，它将比 车晚到 小时，因为 车后来的速度是 车的 ，即两车行 AC.5AC5小时的路 车比 车慢 小时，所以慢 小时说明 车后来行了 小时从甲市到乙市51.7车要行 小时17.5同理，如果 车没有停半小时 ，它将比 车晚到 小时，说明 车后来行了 小时，这B0.B0.2段路 车需行 小时，也就是 说这段路是甲、乙两市距离的 C2.0 27故甲、乙两市距离为 (千米)2187【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后 小时，乙从同地同路同向出发，步行 小时到达甲于2分钟前曾到过的地
28、方此后乙每小时多行 米，经过 小时追上速度保持不变的甲甲每45 503小时行多少米？分析根据题意，乙加速之前步行 小时的路程等于甲步行 小时的路程，所以甲、乙的速度之比为22.，乙的速度是甲的速度的 倍；2:.8:91.乙加速之后步行 小时的路程等于甲步行 小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3375加速后乙的速度是甲的速度的 倍；3754.由于乙加速后每小时多走 500 米，所以甲的速度 为 米/ 小时01.2540【例 21】 甲、乙两人分别骑车从 地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车12 分钟后丙也骑车从A地出发去追甲丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了 3 千米时又遇到乙已知乙
29、的A速度是每小时 千米，丙的速度是乙的 2 倍那么甲的速度是多少？7.533ED CB A【 丙的速度为 千米/ 小时，丙比甲、乙晚出发 12 分钟，相当于退后了 千米后与7.521 125360甲、乙同时出发如图所示，相当于甲、乙从 ，丙从 同时出发，丙在 处追上甲，此 时乙走到 处，然后丙掉头ABCD走了 3 千米在 处和乙相遇E从丙返回到遇见乙，丙走了 3 千米，所以乙走了 千米，故 为 千米那么，在从出321.54.5发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了 千米，由于丙的速度是乙的速度的 2 倍，47因此，丙追上甲时，乙走了 千米，丙走了 15 千米，恰好用 1 个小时；而此时甲走了
30、7.5千米，因此速度 为 (千米/ 小时).5412128【例 22】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【 甲如果用下山速度上山，乙到达山 顶时，甲恰好到半山腰，说明甲走过的路程应该是一个单程的 11.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用 1/2 小时。 甲一共走了
31、1+1/2=1.5（小时） 【例 23】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西 米处一列火车以每小时 千米的速度584从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头 米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头 米处被火车追3 0.5上问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？【分析】设铁路桥长为 米x在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为 米，火 车走的路程 为 米；(5)2x(3)x在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为 米，火车走的路程为 米；0.(4.5)2x(40.5)x两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了 米，火
32、车一共走(0.5)x了 米；(3)(40.5)(73.)xx因为 是 的 倍，所以火 车速度是小狗速度的 倍，所以小狗的速度 为7. 7(千米/时)；812因为火车速度为小狗速度的 倍，所以 ，解此方程得： (3)7(5)2xx64x所以铁路桥全长为 米，小狗的速度为每小时 千米641【例 24】 如图， 点 分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 米的 、 两地顺时针方向沿长810 60AB方形 的边走向 点，甲 点 分到 后，丙、丁两人立即以相同速度从 点出发，丙ABCD820DD由 向 走去， 点 分与乙在 点相遇，丁由 向 走去， 点 分在 点被乙追上，则24EC83F连接三角形 的面
33、积为 平方米EFDCBAFECBA D【分析】如图，由题意知，丙从 到 用 分钟，丁从 到 用 分钟，乙从 经 到 用 分钟，说明甲、DE4DF10ED6乙速度是丙、丁速度的 倍因 为甲走 用 分钟，所以丙走 要用71063AA(分钟)，走 用 (分钟)7013A58因为乙走 用 分钟，所以丙走 用 (分钟)BE4B7584013因为 长 米，所以丙每分钟走 (米)于是求出A60409629(米)， (米)， (米)958723AE94182ED87105BCAEDBFBAFCBACDSSS矩 形 605242(平方米)601057【例 25】 如图，长方形的长 与宽 的比为 ， 、 为 边上
34、的三等分点，某时刻，甲从 点:3EFABA出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从 、 出发沿长方形顺时针运动甲、乙、丙三人的速度比为 他们出发后 分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中4:3512最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ FEDCBA分析长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半， 这样 的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况将长方形的宽 等分，长 等分后，将长方形的周长分割成 段，设甲走 段所用的时间为 个单351641位时间，那么一
35、个单位时间内，乙、丙分别走 段、 段，由于 、 、 两两互质，所以在非整数单3535位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有 个人走了整数段所以我们只要考虑在整数单位时1间，三个人运到到顶点的情况对于甲的运动进行讨论：时间(单位时间) 2468012416地点 CAACAC对于乙的运动进行讨论：时间(单位时间) 310927地点 DBDBA对于丙的运动进行讨论：时间(单位时间) 2186地点 CACD需要检验的时间点有 、 、 、 、310个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件2个单位时间的时候甲在 上，三人第一次构成最大三角形所以一个单位时间相当于 分钟3D 4个单位时间的时候甲、乙、丙分别
36、在 、 、 的位置第二次构成最大三角形10 B所以再过 分钟三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？4课后作业练习 1. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的 ，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇37的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？ 【 甲、乙速度之比是 3：7，所以我 们可以设整个路程 为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇 时甲总共走了 3（20072-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走
37、了 3（20082-1）=12045 份，所以 总长为 12012045-12040-（12040-12039）10=300 米. 练习 2. 甲、乙两人分别从 、 两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是 ，他们第一AB 3:2次相遇后甲的速度提高了 ，乙的速度提高了 ，这样，当甲到达 地时，乙离 地还有20%30%BA千米，那么 、 两地的距离是多少千米？1410【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也 为 ，相遇3:2后，甲、乙两人的速度比为 ；到达 地时，即甲又3120%:130.6:218:3B行了 份的路程，这时乙行的路程和甲行的路
38、程比是 ，即乙的路程 为 乙从相遇2 8419后到达 还要行 份的路程， 还剩下 (份)，正好还剩下 千米，所以 份这样的路程是A4594(千米)5149、 两地有这样的 (份)，因此 、 两地的总路程为： (千米)B325AB9325练习 3. 小明和小刚进行 米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)当小刚跑了 米时，小明距离10 0终点还有 米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？25【分析】当小刚跑了 米时，小明跑了 米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路程之90257比，为 ；在小刚跑完剩下的 米时，两人经过的时间相同，所以两人的路程:76:190之比等于相应的速度之比
39、 ，则可知小明这段时间内跑了 米， 还剩下: 521063米25013练习 4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3 小时后客车到达甲地，货车离乙地还有 22千米，已知货车与客车的速度比为 ，甲、乙两地相距多少千米？5:6【 货车与客车速度比 ，相同 时间内所行路程的比也 为 ，那么客 车走的路程为5:65:6(千米)， 为全程的一半，所以全程是 (千米)62132 1324练习 5. 甲、乙两人从 ， 两地同时出发，相向而行甲走到全程的 的地方与乙相遇已知甲每小AB1时走 千米，乙每小时走全程的 求 ， 之间的路程4.513AB【 相同的时间内，甲、乙路程之比为 ，因此甲、乙的速度比也为 ，所以乙的速度5:65:6为 千米/ 时两地之间的路程为： 千米6 1.4.23
