1、第五届数学竞赛初赛试题及答案（满分 100 分）一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（12 分）2.1991199219921992-1992+199119911991二、填空题（48 分）1.有 A、B 两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有 25 个数。A 组数中前几个是这样排列的 1，6，11，16，21；B 组数中最后几个是这样排列的，105，110，115，120，125。那么，A、B 这两组数中所有数的和是_（3 分）2.某沿海城市管辖 7 个县，这 7 个县的位置如图 1。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图 1 染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有_种不同的染
2、色方法。（5 分）3.如图 2 的数阵是由 77 个偶数排成的，其中 20、22、24、36、38、40 这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是 180。把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是 660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是_。（4 分）4.在左边的乘法算式中，我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。如果“乐”代表“9”，那么，“我”代表_，“数”代表_，“学”代表_。（4 分）5.1993 年一月份有 4 个星期四、5 个星期五，1993 年 1 月 4 日是星期_。6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原来
3、的小数与 4 的乘积，得 27.6。原来这个小数是_。（5 分）7.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。”张斌说：“我不是记者。”王大为说：“李志明说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么_是记者。（3 分）9.在 1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被 2、3、5、11整数，这个七位数最小是_。（5 分）的个位数字 1992 个“8”是_，十位数字是_，百位数字是_。（3 分）三、解答下面的应用题。（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程。）（32
4、分）1.张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货，到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行 64 千米，返回时每小时行 56 千米，往返一趟共用去 12 小时（在省城卸货所用时间略去不计）。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米？（5 分）2.一个长方形，如果长减少 5 厘米，宽减少 2 厘米，那么面积就减少 66 平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形。求原来长方形的面积。（5 分）3.有两堆煤，第一堆是第二堆的 4 倍。当第二堆煤运走 6.25 吨后，第一堆煤是第二堆煤的 6 倍。第二堆煤原有多少吨？（5 分）分数是 80 分。求不及格的人的平均分数。（
5、5 分）5.启蒙书社五天内卖出中学生手册和小学生手册共 120 本。中学生手册每本 5 元，小学生手册每本 3.75 元。营业员统计的结果表明：这五天内所卖中学生手册的收入比卖小学生手册的收入多 162.5 元。这五天内启蒙书社卖出的中学生手册和小学生手册各多少本？（6 分）6.如图 3，BD 是梯形 ABCD 的一条对角线，线段 AE 与梯形的一条腰 DC 平行，AE 与 BD 相交于 O 点。已知三角形 BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大四、长方形 ABCD 的长是 4 厘米、宽 3 厘米。从这个长方形中剪去两个长 2 厘米、宽 1 厘米的小长方形后得到一个“T”形（如图 4）。请你
6、沿直线（用虚线在图上画出这样的直线）把这个“T”形剪两刀，并使剪开的部分恰好能拼成一个正方形。（8 分）详解与说明一、计算题说明：本题的算式看上去挺繁，但细心观察不难发现括号内的三个乘（除）式都含有因数“3”，把“3”作为公因数提取后计算就简便多了。数学之友（7）第 63 页上有一道十分类似的计算题。2.解：1991199219921992-1992199119911991=19911992（100010001-100010001）=199119920=0说明：解本题的关键是迅速观察到被减数和减数含有公因数 19911992，这个乘积可以暂时保留在式中，看括号内的计算结果是不是便于立即能口算出
7、答案。本题同数学之友（7）综合练习十的第 2 题也很相似。数列的各项依次对应相加所得到的。看出这一层关系，就容易想到把式中每”栏目内专门作了介绍。二、填空题1.（1125）25=3150说明：首先通过观察容易发现 A、B 两组数的排列规律。这两组数都排成等差数列，并且每组数都有 25 个数。用等差数列的求和公式可以算出结果，但必须先推算出 A 组数的第 25 个及 B 组数的第 1 个。如果选手们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为 5 的等差数列”这两个条件入手，用“首尾配对，变加为乘”（见本报 1991 年 9 月 25 日“教你思考”栏）的技巧来解，那么计算简便多了。2.解：把该沿
8、海城市地图上的 7 个县分别编号为 A、B、C、D、E、F、G（如图5）。为了便于观察，可以把图 5 改画成图 6（相邻关系不改变）。我们不妨按A、B、C、D、E、F、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有 5433333=4860（种）不同的染色方法。说明：“加法原理与乘法原理”是本报 223 期“奥林匹克学校”栏所介绍的内容，但应用乘法原理来解本题，要谨防遗漏。为了避免遗漏，就应适当选择染色的顺序。或许有的选手会问：既然要讲究染色的顺序。那么“按 A、B、C、D、E、F的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？对了，我们这里所说的“适当选择染色顺序”，不是说染色方
9、法与染色顺序有关，而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说，如果我们选择 B、C、G、D、A、E、F 的染色顺序，那么，根据乘法原理算得的结果是5443233=4320（种）。这当中遗漏了 540（种），为什么会遗漏呢？因为在给 B、C 染色之后，再给 G 染色时，没有分“G 与 B 同色”、“G 与 B 不同色”两种情况。举个简单的例子，如图 7，如果按的顺序染色，容易误算为5442=160（种），而实际上，应分两种情况：（1）与同色时有 5413=60（种）染法（2）与不同色时，有 5432=120（种）染法共有 60120=180（种）染法，而不是 160 种。3.解法一：以平行四边形左
10、上角那个数为标准，其余五个数分别比它大2、4、16、18、20。如果从平行四边形内六个数的和中依次减去2、4、16、18、20，那么剩下的数就是左上角那个数的 6 倍。根据题意，可求出平移后的平行四边形内左上角那数为660-（24161820）6=100解法二：移动前平行四边形内 6 个数的和是 202224362840=180。移动后，这六个数的和增加到 660，增加了 660-180=480。由于移动过程中平行四边形内每个数增加得一样多，因而容易求出从“180”到“660”，每个数都增加了（660-180）6=80。这样，可知道左上角的数增加到 2080=100。解法三：通过观察可知，平行
11、四边形内上一行左、中、右三数与下一行下一行右边的那个数与上一行左边那个数相减，差都是 20。这样，求左上角那个数就变成了一个“和差问题”。算式为（6603-20）2=100说明：本题的解法很多，因为题中的数阵隐藏着许多有趣的规律，选择不同的规律，将会得到不同的解法。本题是根据 1991 年 11 月 5 日第一版“教你思考”栏中一题改编而成的。4.解：由“乐”代表 9，可推到“学”代表 1，“数”代表 6；由积是一个十位数，并且前两位数都是 6，可推知“我”代表 8。说明：本题是把 1992 年 5 月 25 日第四版上谈祥柏先生写的“六一专稿”里一题变了一下形式。要推知“乐”、“学”、“数”
12、各代表什么数字，只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识，就会立即得到结果。再推“我”代表几就稍难些。需要用估值法：因为 8000026661661161900002所以 8我9 显然，“我”只能是 8。5.解：画一个日历表，从表中马上看出：1993 年 1 月 4 日星期一。说明：根据“有五个星期五”，可知从第一个星期五到第五个星期五之间共有29 天。31-29=2（天），这多余的 2 天是在第一个星期五前，还是在第五个星期五之后呢？如果在第一个星期五之前，那就多一个星期四，这与题中条件不符。所以应把多余的 2 天排在月末。这种借助日历表推算的方法，本报 1992 年 3 月 25
13、日第一版“小读者园地”栏目中介绍过。7.解：张斌是记者。说明：这是根据本报 1992 年 3 月 15 日“奥林匹克学校”栏推理问题例 1 改编而成的。具体推理过程是假设李志明是记者，那么李志明、张斌都说了真话，而三人中只有一人说真话。这说明假设不正确，李志明不是记者（李志明说了假话）。也就是说，王大为说了真话。另一个说假话的是张斌。从而推知：张斌是记者。也就是 5X765Y又因为 X、Y 是两个连续自然数所以，必有 X=15，Y=16解法二：根据分数的基本性质由“X、Y 是连续自然数”推知 X=15，Y=16。说明：仅从题中的不等式不容易判断 X、Y 的取值范围，这就想到了通分；要通分，就要
14、运用“分数的基本性质”。有了 X、Y 的取值范围，再附加“X、Y 是连续自然数”这个条件的限制，X、Y 的值也就不难判断了。本报 207 期第三版上曾登过类似的题。因为 2|A，5|A，所以，c=0；因为 3|A，所以 3|（ab）；因为 11|A，所以 a-b=1考虑到所组成的七位数应该最小，因而取 ab=3。这就推出：a=2，b=1。即要求的最小的七位数是 1992210。说明：解答本题需要熟悉能被 2、5、3、11 整除的数的特征，再把根据这些特征推出的结果综合在一起，加上“最小”这一条件，就可以确保答案是唯一的。这道题比本报第 226 期“赛前训练”的第 3 题还要略简单些。22222
15、2=2111111=21111001而 1001=71113所以 222222 能被 13 整除。因为 1998=6333，2213=19所以，要求的余数是 9。说明：读者容易联想到：本报第 240 期“小读者园地”栏目介绍了“1001”的两条性质，因为 222222=2111111。运用“111111=1111001”与“1001=71113”这两个等式，可把题目转化为“求 2213 的余数是几”。有些选手分别计算 2、22、222、2222，被 13 除所得的余数，再从中找出周期性规律，也同样能求得余数是 9，但这样做太麻烦，又费时，不可取。11.解：81992=15936（个“1”）81
16、991=15928（个“10”）81990=15920（个“100”）从上面竖式中看出：所求个位数字是 6，十位数字是 1，百位数字是 2。说明：解答本题并不难，只要注意计数单位和进位制，再做简单的乘法、加法运算就可以了。详见本报第 192 期“教你思考”栏谢悠南文。12.解：本题答案不唯一，下面列出几种：说明：解本题有两种思路母（如 12）的任意两个约数（如 3、4），然后把它们的和分别同这两个约当我们把一个单位分数分解成两个单位分数后，又可以继续采用上面的方法，把其中某一个单位分数再一分为二。这样，只要重复分解，可以把一个单位分数分解成若干个单位分数之和。三、应用题张师傅往返全程，共用了
17、12 小时。于是，省城和县城之间的路程是张师傅往返一趟共行了 358.42=716.8（千米）解法二：设县城与省城之间的路程为 X 千米。根据题意，列方程2X=358.42=716.8（千米）答：张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了 716.8 千米。说明：本题的解法不止这两种，比如，还可以根据张师傅往、返的速度之间的关系，把往返一趟所用的时间分成“往”、“返”两部分，当同学们下学期学过正、反比例之后，会自然而然地想到这一点。不过，还是解法一比较简便，这种解法本报第 187 期巧用“包含除”一文中专门介绍过。2.解法一：画出图来，不难列出这样的算式（66-25）（5+2）=8（厘米），长方形面
18、积为 88+66=130（平方厘米）解法二：设正方形边长为 X 厘米，根据题意可列方程（5+2）X2=66-25解方程，得 X=8S 长方形=8866=130（平方厘米）说明：解答本题，只要画一个草图，就不难找到题中的等量关系。然后用算术方法或代数方法解都很简单。本报第 213 期第 3 版有一道类似的题。解法二：6.254（6-4）+6.25=18.75（吨）答：第二堆煤原有 18.75 吨。说明：如果顺着题中的条件去想，那就不容易找到解题的思路，因为题中的“标准量”第 2 堆煤的数量在变，4 倍与 6 倍也就联系不上。其实，只要反过来一想，把第一堆煤作为标准量，数量关系就明朗化了。解法一的
19、思路正是这样。还可以这样想：如果从第一堆煤中运走“6.254”吨，那么第一堆煤就是现在第二堆煤数量的 4 倍；如果一点都不运走的话，那么第一堆煤就是现在第二堆煤的 6 倍，从而，可求出现在第二堆还有 6.254（6-4）=12.5（吨），再加上6.25 吨，就是第二堆煤原来的吨数。这就是解法二的算理。本题是根据本报第 197期反过来想想一文中第二题改编的。4.解法一：（704-803）（4-3）=40或（704K-803K）（4K-3K）=40（K 为自然数）解法二：设不及格的人平均成绩为 X 分。根据题意列方程解方程，得 X=40答：不及格的人的平均分数为 40 分。说明：本题是本报第 23
20、8 期“趣题巧解”中的原题，解题思路详见报纸第 241期为什么可以设全班人数为 4 呢一文。5.解法一：（等量假设法）假设所卖出的中学生手册和小学生手册的本数同样多，也就是各为 60 本，那么，所卖的中学生手册比小学生手册就要多收入（5-3.75）60=75（元），而实际多收入 162.5 元，相差 162.5-75=87.5（元）。这就可以求出少算的中学生手册的本数为（162.5-75）（53.75）=10（本）6010=70（本）中学生手册的本数60-10=50（本）小学生手册的本数解法二：（同一假设法）假设所卖出的 120 本全是中学生手册，那么，仿照解法一就可以先求出小学生手册的本数（
21、5120-162.5）（53.75）=50（本）120-50=70（本）中学生手册的本数解法三：（列方程解）设中学生手册有 X 本，根据题意，列方程 5X-（120-X）3.75=162.5解得 X=70120-X=50（本）答：这五天内共卖出中学生手册70 本，小学生手册50 本。说明：就这道题的“条件”和“问题”来看，挺有些像“鸡兔同笼问题”。解这类题常用的方法有算术（假设）和列方程两种方法，这是选手们已经掌握的（见本报 216 期插上想象的翅膀一文）。在解法一和解法二中，实际的“多收入”与假设后的“多收入”之间有个“差”，这个差是怎么来的，不是由于每卖 1 本中比卖 1 本小要多收入“5
22、-3.75”元，而是因为如果有一本中被假设（换）成小，那么中比小多收入的部分就减少了“53.75”元。这一点千万不能搞错。6.解：因为 SBOE-SAOD=4 平万米所以 SABE-SABD=4 平万米因为ABE 与ABD 对应于 BE、AD 边上的高相等，所以ABD 的面积答：梯形面积是 28 平方米。说明：解答本题的关键是进行两次转化：（1）转化面积差：把已知条件“BOE 的面积比AOD 的面积大 4 平方米”，转化为“ABF 的面积比ABD 的面积大4 平方米”；（2）转化数量关系：把是高相等）。具体算法还很多，但基本思路都是转化。本报第 220 期第一版有两篇文章中介绍过类似的转化技巧
23、。四、解：剪拼方法不唯一，这里给出两种（如图 9，图 10）：说明：这是一道动手操作的“实验”题。不过，在动手之前，先得算一算、想一想，也就是我们常说的“手脑并用”。剪之前，可以这样想：“T”形图的面积为43-212=8（平方厘米）这就是说，我们要拼成的正方形的面积应该是 8 平方厘米。这个正方形的边长是多少呢？这可难了。如果我们假设这个正方形已经拼成，那么，把它的两条对角线连起来后，这个正方形就被分成了 4 个等腰直角三角形，其中的两个可以拼成一个面积为 4（边长为 2）的正方形（如图 11）。从图中看出所拼成的正方形的边长应该是面积为 4 平方厘米的正方形的对角线的长（图 11 中的 AB）。根据以上推算，容易想到图 9、图 10 的两种剪拼方法。所以，同学们今后碰到类似的动手操作题，应当先想想、算算，千万不能无把握地下手。不然的话，费了时间，还找不到正确解法。其实，选手们应当从本报第214 期第四版等积变形一文中受到启发。
