1、 第十四讲 最优化问题我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。典型例题 例 1 妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用 2 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花 20 分钟。为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？先决条件。这 1 分钟不能省，而洗茶壶、洗开水杯、拿茶叶等切茶的准备工作都可以放在烧开水的 15
2、 分钟里完成。解 最省时间的安排是：纤细开水壶（用 1 分钟） ，按着烧开水（用 15 分钟） ，在等待水烧开的时间里，可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就切茶。这样一共用了 16 分钟。 例 2 在一条公路上，每隔 100 其千米有一个仓库，共有 5 个仓库，一号仓库存有 10吨货物，二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两仓库是空的。现在想把所有的货集中存在同一仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需 0.5 元运费，那么最少要花多少运费才行？分析 要做到所花运费最少，必须综合考虑两个因素：（1）运走的货物尽可能少；（2）要运货物运输的路程将可能短。如果考虑第一因素，就要
3、将货物集中在五仓库；如果考虑第二因素，就要将货物集中在四仓库。比较这两种情况，选择运费最少的一种。将货物集中到五号仓库。解 0.5（10400+20300）=5000（元） 例 3 A、B 两批发部分别有电视机 70 台与 60 台，甲乙丙三个商店分别需要电视机30 台、40 台和 50 台。从 A、 B 两批发部每运一台电视到三个销售店的运费如表所示。如何调运才能使运费最少？甲 乙 丙A 20 70 30B 30 100 50分析 该题中供应量 70+60=130 台，需求量为 30+40+50=120 台。供求量不等，供大于求。由表可知，由差价可知，A 尽量供应给乙，即 A 给乙 40 台
4、。接着 A 应尽可能多地供应给丙，即 A 供应给丙 7040=30（台） 。B 供应 30 台给甲，供应 5030=20（台）给丙。按此调运方案运费最少。解 3030+7040+（3030+5020）=5600（元） 例 4 甲、乙两位沙漠探险者要到沙漠深处探险，他们每天向沙漠深处走 20 千米，已知每人最多可以携带一个人 24 天的事物和水，如果允许将部分事物存放于途中，那么其中 1 人最远可以深入沙漠多少千米？（要求二人都能安全返回出发点）分析 甲、乙两人同时出发向沙漠腹地进发，若干天后，甲返回出发地，这时甲和乙的给养都消耗了相同部分，甲将余下的部分平均分成三成，一份补足乙刚才消耗的给养，
5、另一份存放于甲的返回点，自己携带一份返回，可见甲的给养平均分成了 4 份，而乙的给养平均分成 2 份。解 244=6（天） 242=12（天） 6+12=18（天） 2018=360（天） 例 5 有 10 个村，坐落在从县城出发的一条公路（如图，距离单位都是千米） ，要安装水管，从县城输送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水。粗管每千米用 8000 元，细管每千米用 2000 元。把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用。按你认为最节省的办法，费用应是多少？分析 首先考虑全用粗管，因为 8000 元是 2000 元的 4 倍，所有
6、G 之后粗管，费用将减少。在 F 与 G 之间不论安装粗管还是细管，花的钱一样多。在 F 之前如果不安装粗管，需要 5 条以上的细管，费用将增加。因此，工程的设计是：从县城到 G 安装一条粗管；G和 H 之间安装三条细管；H 与 I 之间安装两条细管；I 与 J 之间安装一条细管。这样做，工程费用最少。解 8000（30+5+2+4+2+3+2 ）+2000（23+23+5）=414000（元） 例 6 仓库内有一批 14 米长的钢材，现要取出若干根，把它们切割成 3 米和 5 米长的50 根。如果不计切割时的损耗，最少要从仓库最出多少根钢材？分析 因为 14=33+5，所有把每根 14 米的
7、钢材切割成 3 根 3 米和 1 根 5 米的最少料。但是这种“最优方案”会导致 3 米的大大多于 5 米的，不符合各 50 根的要求，于是应该想到 13=5+5+3，即把 14 米的钢材切割成 2 根多 5 米的和 1 根 3 米的，每用一根钢材仅浪费 1 米的“次优方案” ，这一方案中 5 米的多于 3 米的，因把“最优方案”与“次优方案”切割了 Y 根。按“最优方案”可得 3X 根 3 米的，X 根 5 米的；按“次优方案”可得 Y 根 3 米的，2Y 根 5 米的。根据 3 米的与 5 米的根数相等，可得：3X+Y=X+2Y 得 2X=Y因为 3X+Y=50，所以 3X+2X=5X，解
8、之得 X=10，这样 Y=20，也就是说最少要从仓库取出 10+20=30（根）钢材。在我国古代数学著作孙子算经中，记载了这样一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?“这一问题及其解法，被中外数学家称之为”孙子定理“，也称为”中国剩余定理“。 例 7 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2.求满足条件的最小整数” 。分析 这类问题的解题依据是：（1）如果被除数增加（或减少）除数的若干部，除数不变，那么余数仍然是 2.例如：173=52 那么 17 依次加上（或减去）3 的倍数，余数仍然是 2.（2）如果被除数扩大（或缩小）若干部，除数不
9、变，则余数也扩大（或缩小）相同的倍数。例如 253=43 如果将 23 扩大 3 倍，余数也扩大 3 倍变成 9（实际余 4） 。本题所求的最小的整数要满足三个条件，解答时可先求满足其中一个条件的数，再依次增加条件，最终找到满足所有条件的数。解 解法一：（1）先找出满足：“除以 3 余 2 ”的最小的数 2，再依次加上 3 的倍数，余数不变：2+3=5,5+3=8(2)从中找到满足“除以 5 余 3”的最小的数是 8，我们再依次加上 3 和 5 的公倍数，仍然能满足前两个条件。8+15=23,23+15=38，.(3)上利数中满足“除以 7 余 2”的最小的数是 23.这是同时满足三个条件的最
10、小的整数，如果依次加上 3、5 、7 的公倍，仍然满足这三个条件。因此，满足条件的最小整数是 23解法二 （1)先找出能不被 3、5 正处而被 7 除余 1 的数：15，能被 3、7 整除而被 5 除余 1 的数：21，能被 5、7 整除而被 3 除余 1 的数：70。（2）题目中要求的数倍 7、5 、3 除得的余数分别是 2、3、2，用它们分别去乘15、21、70 ，再把积加起来：152+213+702=30+63+140=233 、（3）233 是满足条件的数，但不是最小的，从中减去 3、5、7 的公倍数，使得差小于他们的最小公倍数 105，这个差就是满足条件的最小的数： 233-1052
11、=23注 解法一，小学生较易理解和掌握。解法二更科学、简明，但理解起来有难度 例 8 篮子里有若干只鸡蛋，每次去处 5 只，最最后剩 3 只；每次去处 6 只，最后剩下 4 只；每次去处 7 只，最后剩 1 只。篮子里至少有多少只鸡蛋？分析 本题与例 1 类型相同，鸡蛋的数量除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1.求篮子里至少有多少只鸡蛋，也就是求符合条件的最小的数。解 （1） “除以 5 余 3”的最小的数是 3，加上 5 的倍数：8、13、18、23、28（2）从中找到满足“除以 6 余 4”的最小的数是 28，再一次加上 5 和 6 的公倍数30：58、88、118、148
12、（3）上列数中满足“除以 7 余 1”的最小数是 148.因此，148 就是符合条件的最小的数，即篮子里至少 148 只鸡蛋。例 9 一个数被 7 除余 5，被 4 除余 3，这个数被 28 除余几？分析 先找出“被 7 除余 5、被 4 除余 3”的最小数，用这个数除以 28 的余数，就是所求的数。解 （1） “被 7 除余 5”的数有：5、12、19、26（2）从中找出满足“被 4 除余 3”的最小的数是 19，用 19 依次加上 7 和 4 的公倍数28，可以得到所有符合条件的数。（3）因为 1928 的余数是 19，其他符合条件的数被 28 除的余数也是 19.因此，这个数被 28 除
13、余 19.例 10 再一次讨论会上，与会代表没 3 人一组，则多 1 人；每 5 人一组，则多 2 人；每 7 人一组，则多 3 人。已知与会代表人数 350400 之间，就是与会代表的人数。解：（1） “被除 3 余 1”的数有：1、4、7（2）从中找出满足“被 5 除余 2”的最小的数是 7，用 7 依次加上 3 和 5 的公倍数15：22、37、52、.（3）上列数中满足“除以 7 余 3”的最小的数是 52.（4）因为人数在 350400 之间，所以用 52 依次加上 3、5 和 7 的最小公倍数105;157/262/367、.那么，与会代表共有 367 人。例 11 在 500 以
14、内的整数中，除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 7 余 4 的最大数是多少？分析 先找出符合条件的最小的数，再加上 4、5 和 7 的公倍数的若干倍，找到 500以内最大的数。解（1） “被除 4 余 3”的数有：3、7.（2）从中找到满足“被 5 除余 2“的最小的数是 7，用 7 依次加上 4 和 5 的公倍数20:27、47、67、.（3）上列数中满足”除以 7 余 4“的最小的数是 67.（4）4、5 和 7 的最小公倍数是 140,67+1403=487.因此，满足条件的最大的数是 487.例 12 在小于 1000 的整数中，除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余
15、4 的数共有多少个？分析 先找出符合条件的最小的数，再加上 3、5 和 7 的公倍数的若干倍，找出 1000 以内符合条件的最大的数，将若干倍加上 1，也就是满足条件的数的个数。解（1） ”被出 3 余 2、被 5 除余 2“的最小数，也就是 3 和 5 的最小公倍数加上 2：35+2=17（2）用 17 依次加上 3 和 5 的公倍数 15:32、47、.（3）上列数中满足“除以 7 余 4”的最小的数是 32.（4）3,5 和 7=105,32+1059=9779+1=10，所以满足条件的数共有 10 个“一堆草可供 8 头牛吃 6 天，这堆草可供 10 头牛吃几天?“,这个问题分成简单，
16、因为草的问题是固定不变的，于是可以得到，可供 12 头牛吃：8612=4（天）但如果将“一堆草”改为“一片正在生长的草地” ，此时问题就复杂多了，因为草的总量是在不断变化的（假设其均匀变化） 。这类工作总量不固定但均匀变化的问题称为牛吃草问题，由于这类问题首先由牛顿提出的，因而也叫牛顿问题。此类题，它的解题思路具有一定的规律和模式，只要认真学习，仔细分析，就能掌握方法，正确解答。例 13 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供 9 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，如果要供 18 头牛吃，可吃几天？分析 如果我们将 1 头牛 1 天的吃草量看作 1 份，则 9
17、 头牛 20 天共吃了 1920=180份草，而 15 头牛 10 天共吃了 11510=150 份草，同一片牧场原有草的份数相等，产生180150=30 份草的差异是由（2010）天中长出的新草，因此可以先求每天新生的草是30（2010）=3（份） ，再从吃草总量中减去一共新生的草，就是牧场上原有的草，由于每天都新生出 3 份的草量，可供 3 头牛吃，所以 18 头牛中只有（183）头牛在吃原有草，原有草可供（183）头牛吃几天，就是所求的问题。解 （1） 每天新生的草：（9201510）（2010）=3（2）牧场原有的草：920320=120（3）18 头牛吃的天数：120（183）=8（
18、天）答 要供 18 头牛吃，可以吃 8 天说明 解答“牛顿问题”的基础，是要通过两种不同吃法所产生的差异，来先求出每天新生的草，接着再求出原来牧场上的草，通过假设每天涨几份草就被几头牛吃掉，剩下的牛只能吃原来的草，然后再求出吃的天数。由于草没有具体的数量，往往假设 1 头牛 1 天吃 1 份草。例 14 有一口水井，持续不断地涌出泉水，每分钟涌出的水量都相等，如果使用 8 架抽水机抽水，60 分钟可以抽完水，现在要在 18 分钟内抽完水，需要多少架抽水机？分析 我们可将么分钟每架抽水机抽出的水量看作 1 份，分别求出每分钟涌出的水量和井中原有的水量，而实际抽水量应是原来水量与 18 分新涌出的
19、水量之和，一架抽水机18 分钟可抽水（118）份，有几个（118）份，就是所求抽水机的数量。解 （1）每分钟涌出水量：（560830）（6030）=2（2）井中原有水量：560260=180（3）实际抽水量：180+218=216（4）所用抽水机架数：21618=12（架）答 需要 12 架抽水机。说明 抽水问题与牛顿问题类似，也必须先求出每分钟涌水的水量和原来有的水量，要求用多少台抽水机，则可先求出实际抽水量（即原来水量与新涌水的水量之和）再求所用的抽水机数例 15 有一漫池水，池底有泉水总能均匀地向外涌出，如果用 25 部售水机 6 天可以将水池抽干，如果用 20 部抽水机 12 天可将水
20、池抽干，如果每部抽水机水量相等，要使这一池水永远抽不干，则至多只能用多少部抽水机抽水？分析 我们可以假设 1 部抽水机 1 天的抽水量为 1 份，可以先求出每天新涌出了多少份水，要使这池水永远不干，每天抽掉的水量不能超过每天新涌出的水量，因此每天最多只能抽掉新涌出的水。解 （1）每天新涌出的水量：（2012256）（126）=15（2）至多安排抽水机的部数151=15（部）答 至多安排 15 部抽水机说明 这一题与一般的“牛顿问题”不同，它要使原有水留下来，唯一的方法是抽得的水只能等于或小于新涌出的水量。解答不同的问题，要认真分析，把握实质，才能正确解答。例 16 东升牧场南面一块 20000
21、 平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长。这片牧草可供 18 头牛吃 16 天，或者供 27 头牛吃 8 天。如果东升牧草西侧有一块 6000 平方米的牧草，6 天中可供多少牛吃草？分析 由于要计算的牧场是原牧草的 3 倍，可将这个牧场看作 3 个原来的牧场，求出每个牧场牛的头数扩大 3 倍即可。解（1）每天新生草：（1816278）（168）=9（2）2000 平方米牧场原来有草：27898=144（3）2000 平方米吃 6 天，牛的头数：（144+96）6=33 （头）（4）6000 平方米可供牛吃的头数：33（60002000）=99（头）答 6 天中可供 99 头 牛吃草说明
22、要计算二片大小不等的但草量与新生草量都相同的牧场可供多少头牛吃草，只要将较大的牧场看作几个同样大小的牧场，则大牧场的面积是小牧场的几倍，牛的头数也是几倍。例 17 有三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快。他们的面积分别是 3 公顷、10 公顷和 24 公顷。第一块牧场饲养 12 头牛，可以维持 4 周；第二块牧场饲养 21 头牛，可以维持 9 周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持 18 周？分析 我们假设 1 头牛 1 周吃草量为 1 份。第一块地 12 头牛可以吃 4 周；第二块地是第一块地的 10/3 倍，所以第二块应该够 36 头牛吃 4 周。可以先求出第二块每周的新生草量
23、和原有草量，再根据第三块地是第二块的的 2.4 倍，求出第三块每天新生草量和原有草量，最后再求第三块够多少头牛吃 18 周。解 （1）第二块地每天新生草量（21912（103）4）（94）=9（2）第二块地原有草量：21999=108（3）第三块地每天新生草量：9（2410）=21.6（4）第三块地原有草量108（2410）=259.2（5）第三块吃 18 周牛的头数：（259.2+21.618）18=36答 饲养 36 头牛恰好可以维持 18 周说明 当牧场不是同样大小时，我们可以根据不同牧场之间的倍数“折算”成同样面积时牛的头数，这样可以解答了。千万不可将面积之间的关系“折算”成牛吃的时间
24、，因为时间变化了，新生的草量会变化，所求解的结果就变化了。例 18 甲，乙，丙三个仓库，各存放着数量相同的煤炭，甲仓库用一台电运输送机和 12个工人，5 小时可将甲仓库里的煤矿搬完；乙仓库用一台电动运输送机和 28 个工人，3 小时内将仓库内的煤炭搬完；丙仓库现有 2 台运输送机，如果要在 2 小时内把丙仓库内的煤炭搬完，还有多少工人？（每个工人每小时工作效率相等，每台电动运输送机每小时工作效率相等，另外电动运输送机与工人同时玩外搬运煤炭）分析 我们还是假设 1 个工人 1 小时搬运煤炭量为 1，则可根据甲，乙两仓库的搬运情况的差别，先求出 1 太电动输送机 1 小时的搬运量，接着再求甲，乙，
25、丙三个仓库各存有多少煤炭，最后在求出丙仓库需要配套多少个工人参加搬运煤炭。解 （1）1 台电动输送机 1 小时候的输送量（2831125）（53）=12（2）每个仓库存有的煤炭量283+123=120(3)丙仓库还需要工人搬运的工人数1201222=72（4）2 小时需参加搬运的工人数：722=36（人）答 还需要 36 名工人搬运说明 这一题是“牛顿问题”的变式，解答时也要先求出原有煤炭量，由于仓库里没有新的煤炭芸人，在计算人数时，不再要考虑时间与煤炭问题之间的变化。例 19 人民商场 9 时开门营业，开门前就有人等候入场，如果从第一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数都同样多。那么开 4 个门
26、等候的人全部进入商场要 8 分钟，开 6 个门等候的人全部进入商场只要 4 分钟，问第一个顾客到达时是几时几分？分析 我们可以把每分钟从每个门进入商场的人看作 1 份，就可以分别求出每分钟到达门口的顾客和开门时已经等候的顾客份数，由于每分钟到达的人数相等，只要看开门前已到达门口的顾客有多少份，就可以计算出第一个顾客到达的时间解 （1）每分钟到达等候开门的顾客有：（4864）（84）=2（2）9 时就等候的顾客有：6424=16（3）第一个顾客到达等候开门所需时间：162=8（分钟）（4）第一个顾客到达的时间9 时8 分钟=8 时 52 分答 第一个顾客到时是 8 时 52 分说明 这也是“牛顿
27、问题”的一种变式。我们只要将等候的人当作“原有的草” ，将每分钟到达的人数当作“新生草”来分析，大体的解答思路就比较清晰了。例 20 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级电梯，女孩每秒可走 2 级电梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级？分析 男孩共走了 300 级，这 300 级包含扶梯的级数和 100 秒扶梯自动降下的级数。女孩 300 秒走了 600 级中包含扶梯的级数和 300 秒扶梯自动降下的级数。理解了这些就可以解答问题了 。解（1）扶梯每秒自动下降的级数（23003100）（300100）=1.5（级
28、）（2）扶梯的级数31001.5100=150（级）答 扶梯共 150 级说明 扶梯匀速下降就相当于草自然生长一样，所以这类问题用“牛顿问题”也是“牛顿问题”的变式练习十四1、张教师找甲、乙、丙三名学生来办公室谈话，甲要 10 分钟谈完，乙要 20 分钟谈完、丙要 8 分钟谈完。怎么安排三人谈话顺序，使三人花的总时间最少？最少需要多少分钟？2、小王和小李都是发型师，一天同时来了五名顾客，根据顾客所要理的发型，分别需要12,17,14,20,45 分钟，怎样安排理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？3、两个人做衣服，一个专门裁衣，一个专门缝衣，有以下四件衣服，每
29、件裁衣和缝衣所需时间如下表：请你安排做四件衣服的顺序，使得完成这四件衣服所用时间最短，最短需要多少分钟？4、甲、乙两个仓库存有若干化肥，甲仓可运出 10 吨，乙仓可运出 4 吨。现决定给东村 8吨，给西村 6 吨，每吨的运费如下表。怎样调运使运费最省？最省运费是多少元？5、有一位沙漠探险者带 3 名助手，向沙漠的丛深前进，已知每人最多可以带一人食用 5 天的事物和水，如果不准将食物和水存放于途中，这位探险者最多可向沙漠腹地走几天就必须返回出发地？（4 人都要安全返回出发地）6、某衬衫专卖点经销的男士衬衫，按价格从高到底分为 A/B/C/D/E/F/G/H/八个档次，A 档次的衬衫每天可以买 1
30、20 件，每件可获得利润 50 元，每提高一个档次，卖出一件可增加利润 10 元，但是提高一个档次，这种档次的衬衫每天将比低一个档次的衬衫少卖 8 件。（1）在八个档次的衬衫当中，卖哪个档次所获得的利润最大？（2）卖出这种档次的衬衫一天所获得的最大利润是多少？7、李厂要把一个紧急通知传到给全厂的 975 名员工。如果用电话联系，每通知 1 人需 1 分钟，而见面一次可以通知 60 人，但需 7 分钟。李厂长要在最短时间里通知完成，最少需要多少分钟？8、在下图中，每个数字表示走这段路所需要的时间（单位：分）求 A 到 B 最短时间。9、某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。已知两个车间都生产这种身球，甲车间每月用 3/5 的时间生产黑球，2/5 的时间产生白球，每月生产 300 套。现两个车间 2/3 的时间生产黑球，1/3 的时间生产白球，每月生产 300 套。现两个车间联合起来生产，每月最大能生产多少套健身球？10、工地上有手推车 20 辆，其中 10 辆从 A 到 B 运垃圾，要 60 车次运完，另外 10 辆车从A 到 B 运砖头，要 40 车次运完。工地上的可行道路及路程如图（单位：米）有人说上面的安排不合理，因为路程还可以更少些。那么，怎样安排才算合理呢？
