1、 有关多次相遇的行程问题解析多次相遇（1）2 倍的关系（两头同时出发相向而行）：对于单个人来讲，从一次相遇到相邻的下一次相遇走了他从出发到第一次相遇的 2 倍。（关注 2 倍的关系，是因为很多题目，只告诉第一次相遇地点距离一段的路程）【例 1】小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地。设开始时他们分别从两地相向而行，若在距离甲地 3 千米处他们第一次相遇，第二次相遇的地点在距离乙地 2 千米处，则甲、乙两地的距离为多少千米？（2）对于一头同时出发同向行驶或者环型行程中，思路是从路程和或者某一个人在不同时间段的关系找到对应的时间关系，再找到单个人或另外一个人两个时间段的路程关系。（路程关系时间关系
2、路程关系）【例 2】一列客车和货车从甲同时同向出发开往乙地，货车速度是 80 千米/时，经过 1 小时两车在丙地相遇，两车到达了两端后都立即返回，第二次相遇的地点也在丙地。求客车的速度。【例 3】甲乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完 60 米时第一次相遇，在乙跑一圈还差 80 米时两人第二次相遇，求跑道的长度？（3）根据速度比 m:n,设路程为 m+n 份【例 4】甲、乙两车分别从 AB 两地出发，在 AB 之间不断的往返行驶，已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千米，并且甲、乙两车第 3 次与第 4 次相遇点恰好为 1
3、00 千米，那么 AB 两地之间的距离是多少千米？【例 5】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，在 A、B 两地之间不断往返行驶。甲、乙两车的速度比为 3：7，并且甲、乙两车第 1996 次相遇的地点和 1997 次相遇的地点恰好相距 120 千米（这里指面对面的相遇），那么 A、B 两地之间的距离是多少千米？（4）n 次相遇-画平行线并结合周期性分析【例 6】甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒钟 3 米，乙的速度是每秒钟 2 米。如果他们同时分别从直路的两端出发，10 分钟内共相遇了几次？(平行线+周期性分析)【例 7】A、B 两地相距 1000 米，甲从 A 地、
4、乙从 B 地同时出发，在 A、B 间往返锻炼。甲跑步每分钟行 150 米，乙步行每分钟 60米。在 30 分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 A 地最近六年级行程问题之多次相遇解析一六年级行程问题之多次相遇解析二六年级行程问题之相遇次数解析六年级行程问题之相遇次数解析六年级行程问题之行程综合讲解行程问题之相遇问题例题解析二从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米，在第二段上，汽车速度是每小时 90 千米，在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时 20 分后，在第二
5、段的解一：画出如下示意图：当从乙城出发的汽车走完第三段到 C 时，从甲城出发的汽车走完第一段的到达 D 处，这样，D 把第一段分成两部分时 20 分相当于因此就知道，汽车在第一段需要第二段需要 30390（分钟）；甲、乙两市距离是答：甲、乙两市相距 185 千米.把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间“使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例 8、例 13 也是类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配“方法求出各段所用时间.第一段所用时间第三段所用时间=52.时间一样.第一段所用时间第二段所用时间=59.因此，三段路程所用时间
6、的比是592.汽车走完全程所用时间是 802160（分种）.多次相遇和追击问题例题上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发， 8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8千米。问这时是几点几分？【分析】先画出示意图图 37-1 如下（图 37-1 中 A 点表示爸爸第一次追上小明的地方，B 点表示他第二次追上小明的地方）。从图 37-1 上看出，在相 同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从 A 点到 B 点，行完（8-4=）4 千米；爸爸先从 A 点到家，再从家到 B 点，行完（8+4=）
7、12 千米。可见， 爸爸的速度是小明的（124=）3 倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到 A 点），小明所用的时间就是爸爸的 3 倍。由于小明从家出发 8 分钟后爸爸去追他，并且在 A 点追上，所以，小明从家到 A 点比爸爸多用 8 分钟。这样可以算出，小明从家到 A 所用的时间为8（3-1）3=12（分）【解】8（3-1）3X2=24（分）典型多次相遇追击问题解析甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 36 干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距 40
8、 千米。A、B 两地相距多远？【分析】我们同样还是画出示意图 37-2（图 37-2 中 P、M、N 分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）：设 AB 两地的距离为“1”。由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了 3 个全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇时，它们一共行完了 5个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。下面，我们只要找出与“40 千米”相对应的分率（也就是 MN占全程的几分之几）。【解】行程问题之多次相遇追练习题一1、两辆汽车同时从东、西两站相对开出，第一次在离车站 60千米的地方相遇，之后两车继续以原来速度前进，
9、各车到站后立即返回，又在离中点 30 千米处相遇，两站相距多少千米？2、甲、乙两车分别从东、西两站同时相对开出。第一次相遇时，甲车行了 80 千米，两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，第二次相遇地点在第一次相遇地点东侧 40 千米处。东、西两站相距多少千米？3、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？4、一个自行车选手在相距 950 千米的甲、乙两地之间训练。从甲地出发，去时每 90 千米休息一次；到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每 100 千米休息一次；他发
10、现恰好有一个休息的地点与去时的一个休息地点相同，那么这个休息地点距甲地有多少千米？行程问题之多次相遇追练习题二5、一个圆的周长为 1.26 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒分别爬 5.5 厘米和 3.5 厘米。它们每爬行 1 秒，3 秒、5 秒（连续的奇数），就调头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？6、在一条公路上，甲、乙两个地点相距 600 米。张明每小时行走 4 千米，李强每小时行走 5 千米。8 点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1 分 钟后他们都调头反向而行，再过 3 分钟，他们又调头相向而行，依次按照 1，3，5，7，（连续的奇
11、数）分钟调头行走，那么，张李两人相遇时是 8 点几分？7、一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20；可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25则可提前 40 分钟到达。那么，甲、乙两地相距多少千米？8、甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千米，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米，那么 A、B 两地之间的距离等于多少千米？行程问题之多次相遇追练习题三9、从甲市到乙市有一条公路，它分成三段，在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米
12、；在第二段上，汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速度是每 小时 50 千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍，现在有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后在第二段的 1/3 处（从甲到乙 方向的 1/3处）相遇。那么，甲、乙两市相距多少千米？10、小张、小王和小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。小张速度是每小时 5.4 千米，小王速度是每小时 4.2 千米，他们两人同方向而行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过 5 分钟，小李与小王相遇。那么，绕湖一周的行程是多少千米？11、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他
13、们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。开始后 1 小时，甲与乙在高山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？12、甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行。每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开 来的一辆电车；小张每隔 5 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知电车行驶全程是 56 分钟，那么小张与小王在途中相遇时 他们已行走了多少分钟？五年级行程问题：多次相遇、追及问题一讲解： 五年级行程问题：多次相遇、追及问题一难度：中难度
14、甲、乙两车分别从 A，B 两地出发，并在 A，B 两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是 25 千米/时，乙车的速度是 15 千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差 100 千米。求 A，B 两地的距离？解答：解题思路：多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑【分析】甲乙的速度比是 25：15=5：3，第一次相遇两车共行了一个全程，其中乙行了五年级行程问题：多次相遇、追及问题二难度：中难度甲、乙二人分别从 AB 两地同时相向而行，乙的速度是甲的 2/3 ，二人相遇后继续行进，甲到 B 地，乙到 A 地后立即返回。已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是 20 千米，那么，AB两
15、地相距多少千米？五年级行程问题：多次相遇、追及问题二讲解：五年级行程问题：多次相遇、追及问题三难度：中难度A、B 两地间有条公路，甲从 A 地出发，步行到 B 地，乙骑摩托车从 B 地出发，不停地往返于 A、B 两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100 分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达 B 地时，乙追上甲几次？五年级行程问题：多次相遇、追及问题三讲解：解答：由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在 100-80=20（分钟）内所走的路程恰等于线段 FA 的长度再加上线段 AE 的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的 9 倍（=180
16、20），则 BF 的长为 AF 的 9 倍， 所以，甲从 A 到 B，共需走 80（1+9）=800（分钟），乙第一次追上甲时，所用的时间为 100 分钟，且与甲的路程差为一个 AB 全程.从第一次追上甲 时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个 AB 全程，因此，追及时间也变为 200 分钟，所以，在甲从 A 到 B 的 800 分钟内，乙共有 4 次追上甲，即在第 100 分 钟，300 分钟，500 分钟和 700分钟.2006 年“ 希望杯”全国数学大赛决 赛 题 （小 六 ）（时 间 ：90 分 钟 满 分 ：120 分 ）一、填空题。 （每题 6 分，共 72 分。 ）1计算： 。2计
17、算： 。34 316 364 3256 31024 340963若 10.5x 10 36 3y 14 ,则 x ，y 。4有一类自然数，从第四个数字开始每个数字都恰好等于它前面三个数字的和，直到不能再写为止，如 2169，21146 等等。那么这类数中最大的一个数是_。5下面是一串字母的若干次变换。其中：题 号 一 二13 14 15 16总 分得 分得分评卷人 xA B C D E F G H I J第一次变换后为B C D A F G H I J E第二次变换后为C D A B G H I J E F第三次变换后为D A B C H I J E F G第四次变换后为A B C D I J
18、 E F G H至少经过 次变换后才会再次出现“A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I、J ”。6把一个棱长为 2 厘米的正方体在同一平 面上的四条棱 的中点用线段连接起来（如右图所示） ，然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉。那么最后所得的立方体的体积是 立方厘米。7有一列数，第一个数是 5，第二个数是 2，从第三个数起每个数都等于它前面两个数中较大数减去较小数的差。则这列数中前 100个数之和等于 。8在钟面上，当指 针指示为 620 时， 时针与分针所组成的较小的夹角为度。9小明把五颗完全相同 的骰子拼 摆成一排（如右图所示） ，那么这五颗骰子底面上的点数之和是 。10. 有
19、四个房间，每个房间里不少于 4 人。如果任意三个房间里的总人数不少于 14 人，那么这四个房间里的总人数至少有 人。11如果用符号“a”表示数字 a 的整数部分,例如5.15, 1，那53么 。12雨，哗哗不停的下着。如果在地上放一个如图（1）那样的长方体形状的容器，那么雨水将它注满要用 1 小时。另有一个如图（2）形状的容器，那么雨水将它注满要用 分钟。（图 1） （图 2）二、解答题。 （每题 12 分，共 48 分。 ）13规定一种运算“ ”：a b 表示求 a、b 两个数的差，即用 a、b 中较大的数减去较小的数，例如：54541， 14413，66660。那么，请按规定把下式化简。（
20、 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5）（2006665 2006665 2006665 2006665 2006665得分评卷人这是我们做调味包的原料，甲种有 378 克，乙种有 294 克，丙种有 168 克，丁种有 126 克。要配成相同的调味包，每包里的每种原料都恰好是整克数，而且没有剩余。6）200666514小明第一次去李阿姨的食品加工厂参观，就被李阿姨的问题给难住了。你能帮小明想想办法，算出答案吗？那最多能配成多少包呢？每包里面的每种原料各有多少克呢？2006 年“希望杯”全国青少年数学大赛决赛小 学 六 年 级 参 考 答 案 及 评 分 标 准一、填空题。 （每题 6
21、分，共 72 分。 ）题 号1 2 3 4 5答 案12 40954096 X4，y113 10011247 12题 号6 7 8 9 10 11 12答 案 623 77 70 16 19 100 40二、解答题。(每题 12 分,共 48 分。)题 号解 答 过 程 及 评 分 标 准13解：原式 1 2 34475157 475157 4751575 6 475157 475157 475157 5 分654321 3 分9 4 分14解：（1） （378，294，168，126）42(包) 6 分（2）甲原料：378429(克) 1 分乙原料：294427(克) 1 分丙原料：1684
22、24(克) 1 分丁原料：126423(克) 1 分答：最多能配成 42 包； 1 分每包里甲种原料有 9 克，乙种原料有 7 克，丙种原料有 4 克，丁种原料有 3 克。 1 分15解：（1）小圆经过每个顶点要转动的角度：360120909060 1 分小圆经过 6 个顶点要转动的角度：606360 2 分即，小圆经过 6 个顶点要转动 1 圈，1 分又，小圆经过 6 条边要转动 6 圈， 1 分所以，这个小圆滚动了 7 圈。 1 分（2） 3.14(12)2675.36（平方厘米） 2 分3.14(12)212.56（平方厘米） 2 分75.3612.5687.92（平方厘米） 1 分答：
23、这个小圆经过部分的面积是87.92 平方厘米。 1 分16解：（1）设计方案如下： 3 分说明（略） 。 3 分（2）左边一块地的周长较长些。 3 分理由（略） 。 3 分附注1解答题第 1315 题若采用其它解法的，只要方法合理，计算正确，均可参照给分。2解答题第 16 题若采用其它说理方法的，只要说理明白、表述清楚，均可参照给分。七、行程问题两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差时间=追及（或
24、领先的）路程对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。（3）甲的速度是 a，乙的速度是 b，在相同时间内，甲、乙一共行的【例 1】甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么 4 小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走 1 千米，那么 5 小时相遇。A、B 两地相距多少千米？【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走 1 千米）仍然
25、走 4 小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人 4 小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们 5 小时相遇，换句话说，再行1 小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。【解】142（5-4）5=40（千米）这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。【例 2】小王、小张步行的速度分别是每小时 4.8 千米和 5.4
26、千米。小李骑车的速度为每小时 10.8 千米。小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇 5分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？【分析】为便于分析，画出线段图 36-1：图中 C 点表示小张与小李相遇地点，D 点表示他们相遇时小王所在地点。根据题意，小王从 D 点、小李从 C 点同时出发，相向而行，经过 5 分钟相遇。因此，DC 的长为这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为1.3（5.4-4.8）60=130（分）这就是说，小张行完 AC 这段路（也就是小李
27、行完 CB 这段路）用了 130 分钟，而小李的速度是小张速度的 2（=10.85.4）倍，所以小李行完 AC 这段路只需小张的一半时间（65 分）。【解】（留给读者完成，答案是 195 分钟。）【例 3】上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发， 8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米。问这时是几点几分？【分析】先画出示意图图 37-1 如下（图 37-1 中 A 点表示爸爸第一次追上小明的地方，B 点表示他第二次追上小明的地方）。从图 37-1 上看出，在相同时间（从第一次追上到
28、第二次追上）内，小明从 A 点到 B 点，行完（8-4=）4 千米；爸爸先从 A 点到家，再从家到 B 点，行完（8+4=）12 千米。可见，爸爸的速度是小明的（124=）3 倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到 A 点），小明所用的时间就是爸爸的 3 倍。由于小明从家出发 8 分钟后爸爸去追他，并且在 A 点追上，所以，小明从家到 A 点比爸爸多用 8 分钟。这样可以算出，小明从家到 A 所用的时间为8（3-1）3=12（分）【解】8（3-1）3X2=24（分）【例 4】甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 36 干米。相遇以后继续以原来
29、的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距 40 千米。A、B 两地相距多远？【分析】我们同样还是画出示意图 37-2（图 37-2 中 P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）：设 AB 两地的距离为“1”。由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了 3 个全程（AB+BM+BA+AM）；第三次相遇时，它们一共行完了 5个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。下面，我们只要找出与“40 千米”相对应的分率（也就是 MN占全程的几分之几）。【解】注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。我们来讨论封闭线路的行程问题。解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。
