1、1第11章 平面直角坐标系11.1 平面上点的坐标第1课时 平面上点的坐标(一)教学目标【知识与技能】1.知道有序实数对的概念,认识平面直角坐标系的相关知识,如平面直角坐标系的构成:横轴、纵轴、原点等.2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系,能写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标.已知点的坐标,能在平面直角坐标系中描出点.3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系来描述点的位置.【过程与方法】1.结合现实生活中表示物体位置的例子,理解有序实数对和平面直角坐标系的作用 .2.学会用有序实数对和平面直角坐标系中的点来描述物体的位置.【情感、态度与价值观】通过引入有序实数对、平面直角坐标系
2、让学生体会到现实生活中的问题的解决与数学的发展之间有联系, 感受到数学的价值.重点难点【重点】认识平面直角坐标系,写出坐标平面内点的坐标, 已知坐标能在坐标平面内描出点.【难点】理解坐标系中的坐标与坐标轴上的数字之间的关系.教学过程一、创设情境、导入新知师: 如果让你描述自己在班级中的位置,你会怎么说?生甲:我在第 3排第5个座位.生乙:我在第 4行第7列.师: 很好! 我们买 的电影票上写着几排几号 ,是对应某一个座位,也就是这个座位可以用排号和列号两个数字确定下来.二、合作探究,获取新知师: 在以上几个问题中,我们根据一个物体在两个互相垂直的方向上的数量来表示这个物体2的位置,这两个数量我
3、们可以用一个实数对来表示, 但是,如果(5,3)表示5排3 号的话,那么(3,5) 表示什么呢?生:3排5号.师: 对 ,它们对应的不是同一个位置, 所以要求表示物体位置的这个实数对是有序的.谁来说说我们应该怎样表示一个物体的位置呢?生: 用一个有序的实数对来表示.师: 对 .我们学过实数与数轴上的点是一一对应的,有序实数对是不是也可以和一个点对应起来呢?生: 可以.教师在黑板上作图:我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴.水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向; 竖直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴交点为原点 .这样就构成了平面直角坐标系, 这个平面叫做坐标平面 .师:
4、 有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序实数对来表示了.现在请大家自己动手画一个平面直角坐标系.学生操作,教师巡视 .教师指正学生易犯的错误.教师边操作边讲解:如图, 由点 P分别向x 轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3, 垂足N 在y 轴上的坐标是5,我们就说P点的横坐标是 3,纵坐标是5,我们把横坐标写在前,纵坐标写在后 ,(3,5)就是点P的坐标.在x轴上的点, 过这点向 y轴作垂线, 对应的坐标是0,所以它的纵坐标就是0;在y轴上的点,过这点向x轴作垂线, 对应的坐标是0, 所以它的横坐标就是0;原点的横坐标和纵坐标都是0, 即原点的坐标是(0,0).教师多媒体出示:3师
5、: 如图,请同学们写出A、B 、C、D 这四点的坐标.生甲:A点的坐标是(-5,4).生乙:B点的坐标是 (-3,-2).生丙:C点的坐标是 (4,0).生丁:D点的坐标是 (0,-6).师: 很好! 我们已经知道了怎样写出点的坐标, 如果已知一点的坐标为(3,-2),怎样在平面直角坐标系中找到这个点呢?教师边操作边讲解:在x轴上找出横坐标是 3的点, 过这一点向 x轴作垂线, 横坐标是 3的点都在这条直线上;在y轴上找出纵坐标是-2 的点, 过这一点向 y轴作垂线, 纵坐标是-2的点都在这条直线上;这两条直线交于一点,这一点既满足横坐标为3, 又满足纵坐标为-2,所以这就是坐标为 (3,-2
6、)的点.下面请同学们在方格纸中建立一个平面直角坐标系,并描出A(2,-4),B(0,5),C(-2,-3),D(-5,6)这几个点.学生动手作图,教师巡视指导.三、深入探究,层层推进师: 两个坐标轴把坐标平面划分为四个区域,从x轴正半轴开始,按逆时针方向,把这四个区域分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限.注意:坐标轴不属于任何一个象限.在同一象限内的点,它们的横坐标的符号一样吗?纵坐标的符号一样吗?生: 都一样.师: 对 ,由作垂线求坐标的过程, 我们知道第一象限内的点的横坐标的符号为+,纵坐标的符号也为+. 你能说出其他象限内点的坐标的符号吗?生: 能 .第二象限内的点的坐标的符号
7、为(-,+),第三象限内的点的坐标的符号为(-,-),第四象限内的点的坐标的符号为(+,-).师: 很好! 我们知道了一点所在的象限, 就能知道它的坐标的符号.同样的,我们由点的坐标也能知道它所在的象限.一点的坐标的符号为(-,+),你能判断这点是在哪个象限吗?生: 能 ,在第二象限.四、练习新知师: 现在我给出几个点,你们判断一下它们分别在哪个象限.教师写出四个点的坐标:A(-5,-4),B(3,-1),C(0,4),D(5,0).生甲:A点在第三象限.生乙:B点在第四象限 .4生丙:C点不属于任何一个象限,它在y轴上.生丁:D点不属于任何一个象限,它在x轴上.师: 很好! 现在请大家在方格
8、纸上建立一个平面直角坐标系,在上面描出这些点.学生作图,教师巡视 ,并予以指导 .五、课堂小结师: 本节课你学到了哪些新的知识?生: 认识了平面直角坐标系,会写出坐标平面内点的坐标, 已知坐标能描点, 知道了四个象限以及四个象限内点的符号特征.教师补充完善.教学反思物体位置的说法和表述物体的位置等问题,学生在实际生活中经常遇到,但可能没有想到这些问题与数学的联系.教师在这节课上引导学生去想到建立一个平面直角坐标系来表示物体的位置, 让学生参与到探索获取新知的活动中, 主动学习思考 ,感受数学的魅力.在教学中我让学生由生活中的实例与坐标的联系感受坐标的实用性,增强了学生学习数学的兴趣.第2课时
9、平面上点的坐标(二)教学目标【知识与技能】进一步学习和应用平面直角坐标系,认识坐标系中的图形.【过程与方法】通过探索平面上的点连接成的图形,形成二维平面图形的概念,发展抽象思维能力.【情感、态度与价值观】培养学生的合作交流意识和探索精神,体验通过二维坐标来描述图形顶点,从而描述图形的方法.重点难点【重点】理解平面上的点连接成的图形,计算围成的图形的面积.【难点】不规则图形面积的求法.教学过程一、创设情境,导入新知师: 上节课我们学习了平面直角坐标系的概念,也学习了已知点的坐标,怎样在平面直角坐标系中把这个点表示出来.下面请大家在方格纸上建立一个平面直角坐标系,并在上面标出A(5,1),B(2,
10、1),C(2,-3)这三个点.学生作图.5教师边操作边讲解:二、合作探究,获取新知师: 现在我们把这三个点用线段连接起来,看一下得到的是什么图形?生甲:三角形 .生乙:直角三角形.师: 你能计算出它的面积吗?生: 能 .教师挑一名学生:你是怎样算的呢?生:AB的长是5-2=3,BC的长是1-(-3)=4,所以三角形ABC 的面积是34=6.师: 很好!教师边操作边讲解:大家再描出四个点:A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2),并将它们依次连接起来看看形成的是什么图形?学生完成操作后回答:平行四边形.师: 你能计算它的面积吗?生: 能 .教师挑一名学生:你是怎么计算的呢?
11、生: 以 BC为底,A到BC的垂线段AE为高,BC 的长为4,AE的长为3,平行四边形的面积就是43=12.师: 很好! 刚才是已知点 ,我们将它们顺次连接形成图形,下面我们来看这样一个连接成的图形:教师多媒体出示下图:6师: 如果我们取x 轴正半轴上的点为起始点,按逆时针顺序, 你能说出这个图形是由哪些点顺次连接成的吗?生: 能 .(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4)师: 很好! 你怎样向另一个同学描述这样一个八角星, 让他画出来呢?生: 在坐标系里画出点(6,0),(4,2),(4,4),(2,4),(0,6),(-2,4),(-4,4),
12、然后把它们顺次连接成一个封闭的图形.三、练习新知师: 我们现在已经建立了点与图形之间的联系,能用点来表示图形了.我们来看这样一个例子,已知 ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(4,1),C(6,4),求 ABC的面积.教师找一名学生板演,其余学生在下面做, 然后集体订正得到:由图可知, ABC的面积S=53=7.5.四、课堂小结师: 我们今天学习了哪些新知识?有什么收获?生: 我们今天学了由点连接成的图形,求封闭图形的面积.教师补充完善.教学反思本节课开始时我给出三点的坐标,让学生自己建立平面直角坐标系,并且在其中描出这些点,既复习了上节课的内容,又引出了本节课所要讲的知识.在画出三
13、角形和平行四边形后,我引导学生去利用网格计算封闭图形的面积.通过八角星的例子引导学生自己去学习找点的位置和它们的坐标之间的关系,形成数形结合的思想, 用数字特征去描述它们之间的关系.11.2 图形在坐标系中的平移教学目标【知识与技能】研究在同一坐标系中,图形的平移与点的坐标变化之间的关系,发展学生的数形结合思想和意识.7【过程与方法】经历图形的平移过程,探究图形的平移与点的坐标变化之间的关系.【情感、态度与价值观】让学生体验探究图形的平移与坐标变化之间的关系,感受数学与图形的平移、物体的运动等有实际意义的事情之间的关联,体会数学在现实生活中的用途.重点难点【重点】经历图形平移和坐标变化的过程,
14、发展学生的数形结合思想和意识.【难点】归纳出图形平移与坐标变化之间的关系.教学过程一、创设情境,导入新知师: 在上一节课,我们把平面直角坐标系中的点连接成了封闭的图形,现在已知A(-2,4),B(-4,3),C(1,1),用线段把这三点连接成一个封闭图形,是什么形状的图形?生: 三角形.师: 对 .这节课我们把这个图形在同一坐标系中平移,探究平移后的顶点坐标与原顶点坐标之间的关系.教师板书课题.二、合作探究,获取新知教师边操作边讲解:我们把这个三角形在平面直角坐标系中向右平移2个单位, 看看得到的图形与原图形的顶点坐标之间会有什么关系.生: 横坐标增加了2,纵坐标不变.师: 对 .若是向左平移
15、2个单位呢 ?坐标会有什么变化?生: 横坐标减2, 纵坐标不变.师: 很好! 若把这个三角形向上平移3个单位,这个三角形的顶点坐标又有什么改变?生: 横坐标不变,纵坐标加3.师: 对 .向下平移3个单位呢?生: 横坐标不变,纵坐标减3.师: 同学们回答得很好! 已知一个图形的顶点坐标和它发生的位移,即它移动的方向和距离,我们根据刚才得出的结论,可以写出它位移后的顶点的坐标,画出它位移后的图形.如果已知位移前的图形和位移后的图形,你能写出它的位移过程吗?教师边操作边讲解:8已知平移前的三角形三个顶点的坐标分别是(-3,4),(-2,7),(1,2),平移后顶点的坐标是(0,2),(1,5),(4
16、,0),请同学们写出它平移的过程 .教师找一名学生板演,其余同学在下面写.师: 我们可以分别看横、纵坐标的变化,横坐标都增加了3,所以在沿x轴方向上发生了怎样的位移?生: 向右平移了3 个单位.师: 对 ,你们观察一下纵坐标的变化, 说一说它在沿y 轴方向上发生了怎样的位移 ?生: 纵坐标减少了2,向下平移了2个单位.师: 对 .所以我们得出它位移的过程是先向右平移3个单位再向下平移 2个单位,或者是先向下平移2 个单位再向右平移3个单位.三、例题讲解【例】 如图,将ABC先向右平移 6个单位,再向下平移2个单位得到A 1B1C1.写出各顶点变动前后的坐标.解: 用箭头代表平移,则有:A(-2
17、,6)(4,6)A1(4,4),B(-4,4)(2,4)B1(2,2),C(1,1)(7,1)C1(7,-1).教师多媒体出示:点(x,y)向平移 a(a0)个单位平移后的坐标为师: 任意一点(x,y)向某一个方向平移后点的坐标会是怎样的呢? 请同学们思考以上四个小题.学生思考交流后,得到结论:点(x,y)向左平移a(a0) 个单位 平移后的坐标为(x-a,y);点(x,y)向右平移a(a0) 个单位 平移后的坐标为(x+a,y);点(x,y)向上平移a(a0) 个单位 平移后的坐标为(x,y+a);9点(x,y)向下平移a(a0) 个单位 平移后的坐标为(x,y-a).四、练习新知师: 我们
18、现在来做一道题目,练习一下.教师多媒体出示:已知三角形ABC,它的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-5,3),(-2,4),(0,2),它平移后的三角形为ABC,A点的坐标是(3,-1),求B 点和C 点的坐标.教师找一名学生板演,其他同学在下面做, 然后集体订正得到:B点的坐标为(6,0),C的坐标为(8,-2).五、课堂小结师: 你今天学习了哪些新知识?有什么收获?生: 学习了图形的平移和位移变化之间的关系.师: 你还有哪些疑问?学生提问,教师解答 .教学反思图形由静到动,静时我们用顶点坐标来描述它, 动后我们也可以描述这个过程.在学生的前置性学习部分,通过让学生观察把一个已知的三角形向右
19、平移后得到新的三角形,并比较平移前后三个顶点的坐标的变化,使学生亲身经历了知识的形成过程,不但改变了学生死记硬背的学习方式,还培养了他们自主探究、合作交流等学习习惯, 进一步激发了学生学习数学的兴趣.本节课是在学生学习了平移的概念和性质的基础上,探究图形在坐标系内平移的变化规律的.主要是引导学生运用分类思想,依次经过点和图形的平移的观察、画图、猜想、验证、归纳、比较、分析等活动, 最终探究出点的坐标变化与点平移的关系以及图形上各个点的坐标变化与图形平移的关系.第12章 一次函数12.1 函 数第1课时 函 数(一)教学目标【知识与技能】1.掌握常量、变量的概念.2.能辨别一个关系中的常量和变量
20、、自变量和因变量.3.能识别一个关系式是不是函数.【过程与方法】1.经历观察、分析、思考、总结的过程,发展观察推理能力和清晰地表达自己观点的能力 .2.感知变量对数学问题的描述、研究的作用.3.理解一个简单的实际应用问题的数学表达方式,使学生将实际问题和数学相联系 .【情感、态度与价值观】1.通过让学生共同思考实际生活中的例子让学生参与到教学活动中来, 培养学生的集体意识.2.让学生自己思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.103.让学生感受数学与生活息息相关.4.通过变量、常量概念的引入,让学生意识到数学是在不断发展的 ,意识到事物是不断发展变化的.重点难点【重点】理解常量、变量的概念,判
21、断一个数量关系是否是函数.【难点】理解函数的概念.教学过程一、创设情境,导入新知师: 你还记得汽车在匀速行驶时,路程和速度、时间之间的关系吗?生: 记得,路程=速度时间.师: 好 .我们现在来看这样一个问题.教师多媒体出示(问题1):汽车以50 千米/时的速度匀速行驶,它行驶的路程用s表示, 时间用t表示,根据刚才那个公式, 你能得到 s和t的什么数量关系?生:s=50t.师: 对 .这里面有哪些量?生: 路程、速度和时间.师: 这道题中,速度是具体的一个量, 是多少呢?生:50.师: 对 .这里面有三个量: 路程、50和时间.二、合作探究,获取新知教师多媒体出示(问题2):时间t/min 0
22、 1 2 3 4 5 6 7 海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 同学们看这个图和相应的表格,上面反映的有几个量?学生思考后回答:两个.师: 哪两个?生甲:时间 .生乙:气球上升到达的海拔高度.师: 同学们回答得很好! 你们再观察一下 ,热气球在这个上升过程中,平均每分钟上升了多少米?11生:30米.师: 你能计算出当t=3min和t=6min时热气球到达的海拔高度吗?生: 能 ,3分钟时为1 890米,6分钟时为 1 980米.师: 很好.教师多媒体出示(问题3):师: 在这个问题中,有哪几个量?生: 两个,时间和负荷.师: 你能说
23、出这一天中任意一个时刻的负荷是多少吗?如果能的话,4.5h时和20h时的负荷分别是多少?学生测量后回答:能.4.5h 时是1010 3兆瓦,20h时是1710 3兆瓦.师: 用科学记数法怎样表示?生:4.5h 时是1.010 4兆瓦,20h时是 1.7104兆瓦.师: 同学们回答得很好! 你们是怎么找到对应的数据的呢 ?生: 根据时间对应的负荷得到的.师: 很好! 这一天的用电高峰和用电低谷时的负荷分别是多少?它们各是在什么时刻达到的?学生测量后回答:用电高峰时的负荷是1.810 4兆瓦, 在13.5h时达到;用电低谷时的负荷是1.0104兆瓦,在4.5h 时达到.师: 我们再来看这样一个例子
24、.教师多媒体出示(问题4):汽车在行驶过程中由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住.某型号的汽车在路面上的刹车距离sm与车速vkm/h 之间有下列经验公式:s=这个式子中涉及了哪几个量?生甲:刹车距离、车速.生乙:256.师: 当车速为60km/h 时的刹车距离是多少呢? 结果保留一位小数.学生计算后回答:14.1km.师: 在第一个问题中,速度一直是50 千米/时,我们把不变的50称为常量;变化的s和t称为变量,其中t 是自变量,s 是随着时间t的变化而变化的,s是因变量.下面我们看看其他三个问题中,哪些是常量, 哪些是自变量, 哪些是因变量 ?生甲:第二个问题中,30是常量,时间是自
25、变量, 海拔高度是因变量.生乙:第三个问题中,没有常量, 时间是自变量,负荷是因变量 .生丙:第四个问题中,256是常量 ,车速是自变量,刹车距离是因变量.师: 很好! 自变量和因变量之间有没有对应的关系呢?生: 有 .师: 由前面的探究,我们能得出自变量和因变量在数量上有怎样的对应关系?12生: 自变量取一个值,根据它们之间的关系, 因变量就有相应的一个值.师: 很好!教师板书并口述定义:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许的取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应 ,那么就称x是自变量,y是x 函数 .师: 在这个定义中,我们要注意“ 唯一确定”这四个字,
26、“唯一”要求只有一个,“确定” 要求它们的关系是确定的, 不能是未明确的、模糊的.根据函数的定义,你能说出以上四个问题中哪一个量是哪一个量的函数吗?生甲;问题 1中行驶路程s 是行驶时间t的函数.生乙:问题 2中热气球到达的海拔高度h是时间t的函数.生丙:问题 3中负荷y是时间t的函数 .生丁:问题 4中刹车距离s 是车速v的函数.师: 大家回答得很好!三、练习新知师: 我们现在来看这样一个例子.教师多媒体出示并口述:下列等式中,y是x的函数的有 . x+y=0;y=;y=x 2;x=y 2;y=|x|; x=|y|;y=;y 2=4x.学生思考后回答,然后集体订正.y是x的函数的有.四、课堂
27、小结师: 你今天学习了哪些新知识?有什么收获?生: 学习了常量、变量、自变量、因变量、函数.教师补充完善.教学反思课程改革的关键是教师观念的改变,重视学生的主体作用,强调让学生经历学习的过程,让学生真正成为学习的主人.教师不应该仅仅是课程的实施者,而且应该成为课程的创造者和开发者.通过让学生回顾小学学过的一个公式,引入本节课, 同时带领学生更深入地认识两个量之间的关系,并引入常量、变量、自变量、因变量等概念.而函数是两个变量之间的关系,它们之间是怎样的一种关系呢?对自变量取的一个值 ,因变量有唯一确定的值与之对应.这点要向学生讲清楚, 学生理解了就能判断一个变量是不是另一个变量的函数.第2课时
28、 函 数(二)教学目标【知识与技能】1.会用列表法表示函数.2.会将一个简单的实际应用问题抽象成函数.3.会求函数自变量的取值范围.4.给定自变量,能求出函数值 .【过程与方法】131.经历用列表法和解析法表示函数的过程.2.通过将一个简单的实际应用问题抽象成数学问题使学生将理论和实际相联系.【情感、态度与价值观】1.通过让学生选用合适的方法表示两个变量之间的关系,让学生发挥主观能动性 ,独立思考.2.让学生参与到教学活动中来,激发学生的参与感和集体意识 .3.让学生观察、描述发现的问题,培养学生表述自己思想和归纳概括、收集信息的能力 .4.让学生思考贴近生活的例子,激发学生的学习兴趣.重点难
29、点【重点】用解析法表示函数,求函数自变量的取值范围.【难点】建立一个实际问题的数学模型.教学过程一、创设情境,导入新知师: 上节课,我们学习了一个重要的概念函数,同学们还记得它的内容吗?学生回答.师: 大家说得很好,函数是一个重要的数学概念, 这节课我们将更深入地研究它.二、合作探究,获取新知教师多媒体出示上节课的问题2:上节课我们在问题2中用表格表示热气球上升到的海拔高度与时间数值之间存在的关系,这种通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.学生熟记.教师多媒体出示上节课的问题4.这是另一种表示函数的方法,是用s 和v 之间的函数关系式来表示的,这种用数学式子表示
30、函数关系的方法叫做解析法.你从中读出了什么信息?你能把问题2 中表格反映的情况用语言叙述一下吗?学生思考后回答:能.热气球的初始海拔高度是1 800米, 每分钟上升30 米.师: 很好! 它是匀速上升的吗 ?生: 是 .教师多媒体出示上节课中的问题1.你能仿照这个匀速运动的例子写出热气球到达的海拔高度h和时间t之间的关系吗?注意: 这里h是初始高度和上升高度的和, 上升高度相当于热气球上升的路程.学生思考后回答:能.h=1 800+30t.师: 很好! 一般地 ,我们按自变量的降幂排列,就是写成h=30t+1 800.这说明同样一个问题,它的描述方式可以不止一种,我们可以选用适当的方式来表示,
31、也可以把一种表示方式描述的问题用另一种表示方式来写.教师多媒体出示上节课介绍的函数的定义:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y14都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.师: 同学们,这里要求在自变量的允许范围内, 就是说自变量是有范围的, 在哪些情况下自变量不是所有实数都可以取呢?谁能说说我们学习过的式子中哪些式子的取值有限制?生: 分母不能为零,开平方时被开方数应该大于等于零.师: 对 .所以我们在用解析法表示时,要考虑自变量的取值范围.在实际应用中,除了要保证这个式子有意义, 还要求它有实际意义.三、练习新知教师多媒体
32、出示:【例1】 求下列函数中自变量 x的取值范围:(1)y=2x+4; (2)y=-2x 2;(3)y=; (4)y=.解:(1)x为全实体实数.(2)x为全实体实数.(3)x2.(4)x3.【例2】 当x=3时,求下列函数的函数值:(1)y=2x+4; (2)y=-2x2;(3)y=; (4)y=.解:(1)当x=3时,y=2x+4=23+4=10.(2)当x=3时,y=-2x 2=-232=-18.(3)当x=3时,y=1.(4)当x=3时,y=0.【例3】 一个游泳池内有水 300m3,现打开排水管以每小时 25m3的排出量排水.(1)写出游泳池内剩余水量Qm 3与排水时间th间的函数关
33、系式;(2)写出自变量t的取值范围;(3)开始排水后的第5h末,游泳池中还有多少水?(4)当游泳池中还剩150m 3时,已经排水多少小时 ?解:(1)排水后的剩水量Q是排水时间t的函数, 有Q=300-25t=-25t+300.(2)由于池中共有300m 3水,每小时排 25m3,全部排完只需30025=12(h),故自变量t的取值范围是0 t12.(3)当t=5时,代入上式,得Q=-525+300=175(m 3),即第5h末,池中还有水175m 3.(4)当Q=150 时,由150=-25t+300,得t=6(h),池中还剩水150m 3时 ,已经排水6小时.四、课堂小结师: 今天你学习了
34、什么新的内容?生: 学习了函数的两种表示方法、自变量的取值范围、求函数值.教师补充完善.教学反思本节课通过让学生回顾上节课的两个例子,向学生介绍函数的两种表示方法:列表法和解析法.在解析法中强调了不是所有函数的自变量都可以取全体实数,特别是在应用题中,要考虑自变量的取值范围.还学习了已知自变量的一个值求相应的函数值.需要注意的是自变量取值范围的限制主要有分母不能为零和开平方时被开方数不能为负两种情况,有时两种情况会同时出现,这两个条件都要满足.教学设计中, 始终把对知识的学习与师生的共同活动、交流相结合,把对知识15的理解放置在具体情景中,采用了多种形式的学习活动, 给学生提供足够的、自主的空
35、间和活动机会, 让学生动手、动脑进行探索.第3课时 函 数(三)教学目标【知识与技能】1.会用图象法表示函数.2.知道画函数象的步骤,即列表、描点、连线 .【过程与方法】经历用图象法表示函数的过程,提高作图能力.【情感、态度与价值观】1.通过将函数用图象表示出来,将数和形结合起来, 使本章内容和上一章的内容也结合起来,让学生体会到数形结合思想和上一章知识的关联及数学知识环环相扣的特点.2.将函数用图象表示出来,使函数显得更生动形象 ,使学生易于接受.重点难点【重点】用图象法表示函数.【难点】理解几个点的连接与函数图象之间的关系.教学过程一、创设情境,导入新知师: 我们上一节课学习了函数的两种表
36、示法,你们还记得是什么吗?生: 记得,是列表法、解析法.师: 对 .但有些函数关系很难写出它们的函数关系式,而数据又多,用列表法显得繁琐又不够形象,因此我们用图象来表示.本节课我们就来探究一种表示函数的方法图象法.二、合作探究,获取新知师: 我们用图象法除了可以表示列表法和解析法不能表示的函数关系外,还能表示出它们能表示的、不太复杂的函数关系.比如这样一个解析式y=2x,我们现在用图象把它表示出来.请大家先填写下表.教师多媒体出示:x -3 -2 -1 0 1 2 3y学生填表.师: 我们在上一章讲过,有序实数对(x,y) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的 ,且学习了已16知点的坐标以及怎样
37、把它在坐标平面上描出来,现在请大家在方格纸上描出这些点.学生描点.师: 请同学们观察这些点,它们是怎样分布的呢?生: 大致在一条直线上.师: 很好,大家的观察能力很强! 我们现在把它们连接起来,用直线还是线段呢?生: 直线.师: 为什么?学生思考.师: 我提示一下,从自变量的取值范围去考虑.生: 自变量x的取值范围是全体实数,直线两端是无限延伸的,代表没有表示出来的还有很多点.师: 大家非常棒!教师边操作边讲:我现在用一条直线把这些点连接起来.教师板书作图的过程:师: 现在我们画出了函数y=2x 的图象.大家注意到没有? 我们用几步完成了这个过程 ?生: 三步.师: 哪三步? 同学们能不能把每
38、步用两个字概括一下?生: 列表、描点、连线.师: 大家说得很好! 描出的点越多 ,图象越精确,但一般我们只选取一部分点.现在我们作的图自变量取值范围是全体实数时, 一般在原点左右各选取两三个点,加上原点,用这几个点来画图.三、例题讲解【例1】 画出函数s=的图象 .(1)列表:因为这里v 0,我们分别取v=0 、10、20 、30、40,求出它们对应的s 值,列成表格:v/(kmh-1) 0 10 20 30 40 s/m 0 0.4 1.6 3.5 6.3 (2)描点:在坐标平面内描出(0,0),(10,0.4),(20,1.6),(30,3.5),(40,6.3) 等点.(3)连线:将以上
39、各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接,就得到了s=的图象, 如图所示.17【例2】 已知某弹簧的自然长度为 5cm,已知它所挂物体的质量每增加1kg, 弹簧就伸长0.25cm,设所挂重物的质量为xkg,弹簧的长度为ycm,允许挂重物不超过10kg,求y关于x的函数表达式,并画出图象 .教师找一名学生板演,其余同学在下面做, 然后集体订正.教师多媒体出示:y关于x的函数为:y=0.25x+5,0 x10.图象为:四、练习新知如图, 下列各曲线中哪些能够表示y是x的函数? 你能说出其中的道理吗?学生思考,讨论 .生甲:(1)不是.生乙:(1)是.师问生甲:(1)为什么不是函数?生甲:(1)在
40、x0时没有图象.师: 没有图象表示此函数在x0的范围内没有定义.而y是x 的函数要求对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,就是说我们只看它有定义的部分 .生甲:哦 ,那么(1)是函数.师:(2)是函数吗?生: 是 .师:(3)呢?生:师: 从函数的定义出发考虑.生: 不是.师: 为什么?生: 除了x轴上的两点, 自变量取值范围内的其他的每一个x值都有两个y与它对应.师: 你回答得很好!(4)呢?这个图象对应的是不是函数?18生: 不是.师: 为什么?生: 有一些x值有2个甚至更多个y值与它对应.师: 你回答得很好!五、课堂小结师: 今天你学习了什么新的内容?生: 学习
41、了函数表示法中的图象法、函数图象的画法.师: 画函数图象的步骤是什么?生: 列表、描点、连线.教学反思本节课通过让学生回顾本章第一节表示函数的另一种方法图象法,还向学生介绍了这种表示方法的优点, 并示范了作函数图象的过程, 指出了图象法的三个步骤:列表、描点、连线, 让学生掌握了表示函数关系的又一工具.在列表时要考虑到自变量的取值范围,在刻度的选取时要具体问题具体分析, 有的起始值较大且变化量小时, 前面一部分用折线表示;当x、y 只取正值时就不画x 轴及y 轴的负半轴 .第4课时 函 数(四)教学目标【知识与技能】能读出函数图象里的信息,会分析图象信息.【过程与方法】1.经历观察函数图象,读
42、出图中信息 ,提高阅读和提取信息的能力.2.体会和学习数形结合的数学思想.【情感、态度与价值观】1.通过让学生读出函数图象的信息,把数和形结合起来, 将图象“ 说出来”,让学生体会到了数形结合思想.2.通过“翻译” 图象的过程 ,让学生体验了坐标系的用途和数学的重要性,提高学生学习的主动性.重点难点【重点】读出图象里的信息【难点】分析函数图象中的信息.教学过程19一、创设情境,导入新知师: 在上节课中,我们学习了函数图象的画法, 你还记得有哪几个步骤吗?生: 记得. 列表、描点、连线.师: 很好! 如果给出了函数的图象, 我们也要能读出其中的信息.二、合作探究,获取新知教师多媒体出示教材思考题
43、中的图:师: 图中有哪两个变量?生: 时间和体温.师: 哪个是自变量? 哪个是因变量?生: 时间是自变量,体温是因变量.师: 在这一天中此人的最高体温是多少?最低体温是多少? 分别是在什么时刻达到的 ?学生用刻度尺测量后回答.生甲:最高体温是36.8 ,在18h时达到.生乙:最低体温是35.9 ,在4h时达到.教师多媒体课件出示课本上的几个练习题并找学生回答,共同纠正.三、举例探讨,深化理解教师多媒体出示:一艘轮船在甲港与乙港之间往返运输,只行驶一个来回, 中间停靠丙港,下图是这艘轮船离开甲港的距离随时间的变化而变化的曲线.学生观察图象.师: 轮船从甲港(O点)出发到达丙港(A点) 用了多长时
44、间?生:1个小时.师: 从丙港(A点)到达乙港(C 点) 用了多长时间?生:2个小时.师: 你们还能读出其他的信息吗?生甲:轮船在乙港停留了1 个小时.生乙:轮船从乙港到丙港用了4个小时.生丙:轮船从丙港到甲港用了2个小时.师: 很好!20教师多媒体出示:(1)你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快, 还是轮船返回时的平均速度快吗 ?(2)如果轮船往返的速度是一样的, 那么从甲港到乙港是顺水还是逆水 ?师: 你是怎样做第一个小题的?生: 因为往返轮船行驶的路程相同,所以只要比较去和返回时用的时间长短就行了.师: 往返的时间哪个长哪个短呢?生: 从甲港到乙港用了3 个小时,从乙港到甲港用了6个
45、小时,去时用的时间短,回来时用的时间长.师: 很好! 由此你能得到什么结论?生: 说明去的时候速度快.师: 很好! 现在请同学们看第二个问题.学生看思考.生: 从甲港到乙港是顺水.师: 你怎么得到的呢?生: 因为由上题知从甲港到乙港时速度更快.四、课堂小结师: 今天我们学习了什么知识?你有哪些收获?学生回答.师: 你还有哪些疑问?学生提问,教师解答 .教学反思在这个信息充斥的时代,我们身边有很多信息载体, 例如文字和图象.本节课我带领学生去读信息, 获取、分析图象上的信息 .在第一个例题的讲解中, 我向学生提出问题,引导他们去看图; 在第二个问题中, 我在提出两个问题后, 让学生自己去说说看到
46、了什么,让学生自己去想问题和答案,调动学生的积极性,锻炼他们的分析能力和语言表达能力.12.2 一次函数第1课时 一次函数(一)教学目标【知识与技能】认识正比例函数,掌握正比例函数解析式的特点.【过程与方法】经历用图象法表示正比例函数的过程,利用数形结合思想分析问题.【情感、态度与价值观】1.通过让学生用图象法表示正比例函数使学生参与到探究正比例函数的过程中来, 激发学生学习数学的积极性.2.将函数用图象表示出来使函数显得更为生动形象,使学生易于接受 .21重点难点【重点】正比例函数的解析式特点,正比例函数的图象表示法.【难点】由正比例函数的图象归纳其性质.教学过程一、创设情境,导入新知教师多
47、媒体出示:s=50t;h=50t+500;Q=-25t+300;y=2x.师: 观察这些函数,你能发现它们的共同点吗?生: 能 .它们的自变量的最高次数都是1.师: 很好! 不难看出 ,这些函数都是用自变量的一次式表示的,可以写成y=kx+b的形式.因为它们有这一共同特征,我们把它们归为一类.教师多媒体出示并口述:一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k 0)的函数,叫做一次函数 ,其中k 叫做比例系数,b 叫做常数.当b=0时,它会是怎样的呢?生: 当 b=0时, 它化简成了y=kx.师: 对 .我们把有这一特征的函数也归为一类.一般地,形如y=kx(k是常数,k0) 的函数, 叫做正比例
48、函数, 其中k 叫做比例系数 .二、边讲边练,共同探究师: 请同学们根据刚才介绍的一次函数及正比例函数的形式来判断一下下列函数,哪些是一次函数? 哪些是正比例函数 ?(1)y=-4x;(2)y=;(3)y=4x+8;(4)y=3x2-1;(5)y=-.学生讨论后回答,集体纠正.师: 我们现在已经知道了正比例函数的解析式的特点,那么它的图象又有什么特点呢? 在前面我们画了y=2x 、 s=-3t的图象,它们有什么共同点?生: 它们都是一条直线.师: 对 .通常我们把正比例函数y=kx(k 0)的图象叫做直线y=kx.教师多媒体出示:y=x,y=x,y=3x.师: 请大家在同一直角坐标系中画出下列
49、正比例函数的图象.我们知道两点确定一条直线,所以要画y=kx 的图象, 找出两个点即可.在y=kx中,无论k 取何值 ,x=0时y都为0,所以正比例函数的图象是一条经过原点的直线.我们再找一个容易计算的x的值,比如取x=1,求出相应的y的值.教师找三名学生板演,其余同学在下面做, 然后集体纠正得到:22三、继续探究,层层推进师: 它们除了都是正比例函数外,k都是大于0 的.它们的图象除了是经过原点的直线外,还有什么共同点?生: 它们都经过一、三象限.师: 除此之外,随着x值的增大,y的值是怎样变化的?学生观察后回答:增大.师: 很好! 它们还有没有其他的共同之处?学生继续观察,发现另一共同点:它们都是自左向右上升的.教师多媒体出示:y=-x,y=-x,y=-3x.师: 你们再画出这几个函数的图象,看看它们有什么共同点.学生作图后回答.生甲:它们都是过原点的一条直线.生乙:它们都经过二、四象限.生丙:y的值随着x 的增大而减小.生丁:它们都是自左向右下降的.师: 同学们回答得很好! 我们由这两个例子得到如下结论 :在正比例函数y=kx中, 当k0 时 ,y随x的增大而增大,图象经过一、三象限;当k0时,
