1、勾股定理检测题（总分：120 分，时间：90 分钟）一、认真选一选，你一定很棒！（每题 3 分，共 30 分）1，分别以下列五组数为一个三角形的边长：6，8，10；13，5，12 1，2，3；9，40，41；3 ，4 ，5 .其中能构成直角三角形的有（ ）组 21A.2 B.3 C.4 D.52，已知ABC 中，A B C，则它的三条边之比为（ ） 3A.11 B.1 2 C.1 D.141 233，已知直角三角形一个锐角 60，斜边长为 1，那么此直角三角形的周长是（ ） A. 52 B.3 C. +2 D. 234，如果梯子的底端离建筑物 5 米，13 米长的梯子可以达到建筑物的高度是（
2、）A.12 米 B.13 米 C.14 米 D.15 米5，放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是 40 米/分，萍萍用 15 分钟到家，晓晓用 20 分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600 米 B. 800 米 C.1000 米 D.不能确定6，如图 1 所示，要在离地面 5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成 60角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的 L15.2 米 ，L 26.2 米，L 37.8 米，L 410 米四种备用拉线材料中，拉线 AC 最好选用（ ）A.L1 B.L2 C.L3 D.L47，如图 2
3、，分别以直角ABC 的三边 AB，BC ，CA 为直径向外作半圆 .设直线 AB 左边阴影部ABC图 25mBCA D图 1BCAED图 3分的面积为 S1，右边阴影部分的面积和为 S2，则（ ）A.S1S 2 B.S1S 2 C.S 1S 2 D.无法确定8，在ABC 中，C90，周长为 60，斜边与一直角边比是 135，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5，4，3 B.13，12，5 C.10，8，6 D.26，24，109，如图 3 所示，ABBCCD DE 1，ABBC，AC CD，ADDE，则 AE（ ）A.1 B. C. D.22310，直角三角形有一条直角边长为 13，另外两条边
4、长都是自然数，则周长为（ ）A.182 B.183 C.184 D.185二、仔细填一填，你一定很准！（每题 3 分，共 24 分）11，根据下图中的数据，确定 A_，B_，x_.12，直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_.13，直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为_.14，如图 5，一根树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离底部 12 米处.树折断之前有_米. 15，如果一个三角形的三个内角之比是 123，且最小边的长度是 8，最长边的长度是_.16，在ABC 中，AB 8cm，BC 15cm ，要使B90，则 AC 的长必为_ _cm.17，如图是我国古
5、代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若， ，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 2 所示的6AC5B“数学风车” ，则这个风车的外围周长是 图 5图 4ABC18，甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以 16 海里/时的速度向北偏东 75的方向航行，乙以12 海里/时的速度向南偏东 15的方向航行，若他们出发 1.5 小时后， 两船相距海里. 三、细心做一做，你一定会成功！（共 66 分）19，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后用桩钉成如图所示的 一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据.20，从旗杆
6、的顶端系一条绳子，垂到地面还多 2 米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部 8 米，小敏马上计算出旗杆的高度， 你知道她是如何解的吗？图 621，如图 7，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？22， （1）四年一度的国际数学家大会于 2002 年 8 月 20 日在北京召开，大会会标如图 8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是 5，求中间小正方形的面积
7、.（2）现有一张长为 6.5cm，宽为 2cm 的纸片，如图 9，请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图 9 中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）AB小河东北牧童小屋图 7图 8 图 923，清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王近日，西安发现了 他的数学专著，其中有一文积求勾股法 ，它对“三边长为 3、4、5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边 长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积） ，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即 得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是：“若直角三 角形的三边长分别为 3、4、5 的整数倍，设其面积为 S
8、，则第一步： m ；第二步： k；第三步：分别用 3、4、5 乘以 k，得6S三边长”.（1）当面积 S 等于 150 时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“ 积求勾股法”的正确性吗？请写出 证明过程.24，学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图 10，小明从路口 A 处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从 A 处出发，沿 西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为 39 米分，小华步行速度为 52 米分，恰好在出发后 30分时信号开始不清晰.（1）你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰
9、为界限）（2）通过计算，你能找到题中数据与勾股数 3、4、5 的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法.北A图 10参考答案：一、1，B；2，B；3，D；4， A；5，C.点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角；6，B.点拨：在 Rt ACD 中，AC2AD ，设 ADx，由 AD2+CD2AC 2，即 x2+52(2x)2，x 2.8868，所以 2x5.7736；7，A；8，D .点拨：设斜边为 13x，则一直角边长为 5x，另53一直角边为 12x，所以 13x+5x+12x60，x2，即三角形分别为(1)10、24、26；9，D.点拨：AE 2E21CA21BCA2；10，A.二、1
10、1，15、144、40；12， ；13，6、8、10；14，24；15，16；16，17；17， ：76130；18，30.三、19，设相邻两个结点的距离为 m，则此三角形三边的长分别为 3m、4m、5m，有(3m )2+(4m)2(5 m)2，所以以 3m、 4m、5m 为边长的三角形是直角三角形.20，15m.21，如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A，连接 AB 交 MN 于点 P，则 AB 就是最短路线.在RtA DB 中，由勾股定理求得 AB17km.22， （ 1）设直角三角形的两条边分别为 a、b（ab） ，则依题意有 2513ab由此得ab6，( ab) 2(a+b) 2
11、4ab1，所以 ab1，故小正方形的面积为 1.（2）如图：ABDP NAM23， （1）当 S150 时，k 5，所以三边长分别为：m1026S3515，4520，55 25 ；（2）证明：三边为 3、4 、5 的整数倍，设为 k 倍，则三边为3k，4k，5k， 而三角形为直角三角形且 3k、4k 为直角边 .其面积 S (3k)(4k)6k 2，所以 k212，k （取正值） ，即将面积除以 6，然后开方，即可得到倍数.6S24， （1）利用勾股定理求出半径为 1950 米；（2）小明所走的路程为 393031330 ，小华所走的路程为 523041330，根据前面的探索，可知勾股数 3、4、5 的倍数仍能构成一组勾股数，故所求半径为 51330=1950（米）.
