1、第三章 矩阵的初等变换 与线性方程组,第一节 矩阵的初等变换,第二节 矩阵的秩,第三节 线性方程组的解,本章先引进矩阵的初等变换，建立 矩阵的秩的概念,并利用初等变换讨论矩 阵的秩的性质然后利用矩阵的秩讨论线 性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的 充分必要条件，并介绍用初等变换解线性 方程组的方法,第一节 矩阵的初等变换 (Elementary Operations of Matrix),一、消元法解线性方程组,二、矩阵的初等变换,三、小结,引例,一、消元法解线性方程组,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,（2）,小结：,1上述解方程组的方
2、法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换,定义1,二、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”
3、换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,例如，两个线性方程组同解，,就称这两个线性方程组等价,用矩阵的初等行变换 解方程组（1）：,特点：,（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）、每个台阶 只有一行，,台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形,(Row echelon form and reduced row echelon form ),例如，,特点：,所有与矩阵
4、等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵.,行变换,定理1 设 与 为 矩阵，那么,（1） 的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 ，使,（2） 的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 ，使,（3） 的充分必要条件是存在 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵 ,使,推论：方阵可逆的充分必要条件是,利用初等变换求逆阵的方法：,解,例,即,初等行变换,例,解,解：,例4 设 的行最简形矩阵为 ，求 ，并求一个可逆矩阵 ，使,三、小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,3.矩阵等价具有的性质,4. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,第二节 矩阵的秩 (Ran
5、k of a matrix),一、矩阵秩的概念,二、矩阵秩的求法,三、小结,一、矩阵秩的概念,矩阵的秩,简单结论:,1、,(nonsingular matrix),(singular matrix),4、,2、,3、,例1,解,例2,解,例3,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？,二、矩阵秩的求法,推论 若可逆矩阵 使 则,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,则这个子式便是 的一个最高阶非零子式.,例5,解,分析：,例6
6、 设,已知 ，求 与 的值。,矩阵秩的的性质：,1、,2、,证明：,例7 设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E),例8 证明：若 且 ，则,四、小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,思考题,第三节 线性方程组的解 (solution of linear equations),一、线性方程组有解的判定条件,二、线性方程组的解法,三、小结、思考题,一、线性方程组有解的判定条件,问题：,（3）,线性方程组（3）如果有解，就称它是
7、相容的， 如果无解，就称它不相容。,故方程有惟一解。,（*）,解（*）称为线性方程组（3）的通解。,定理4 n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充 分必要条件是R(A)n.,定理5 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b).,定理6 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,B).,定理7 设AB=C，则,小结,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例1 求解齐次线性方程组,解,二、线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,三、小结,思考题,思考题解答,解,故原方程组的通解为,作 业,P78：习题三 1(1)(3),4,P78：习题三 10,12,P78：习题三 13(1)(3),14(1)(3),18,
