1、1,第九章 导 热 Heat Conduction,2,作业 （1）,教材 91，94，95，97 补充 已知两表面的温度分别为tw1、tw2， （1）用对傅里叶定律直接积分的方法求空心球壁稳态导热的温度分布、热流量。 （2）由傅里叶定律直接积分推导任意形状物体一维稳态导热的温度分布、热流量。假设横断面积随 x 的变化已知，为A(x) =f(x) 。,3,热传导：由温度梯度而产生的能量传输。原子或分子的随机活动。 傅里叶定律,深刻理解傅里叶定律、推导热传导方程 稳态导热 瞬态导热 导热的数值解法,内容提示（一）,4,9-1 导热的基本概念、基本定律,研究方法 由连续介质假设出发、从宏观的角度来
2、讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系及导热的计算方法。 (分子、自由电子、声子)平均自由程与物体的宏观尺寸相比不能忽略的情形不在本章研究范畴之内 。,5,一、导热的基本概念,1、温度场(temperature field)某一时刻，物体内所有各点的温度分布称为 该物体在时刻的温度场。温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标 系中，温度场可表示为,t表示温度，x, y, z为空间直角坐标。,6,当温度场与时间有关时，称为非稳态温度场。稳态导热的温度场称为稳态温度场。,根据在空间的变化情况温度场可分为:,一维温度场,二维温度场,三维温度场,7,2、等温面与等温线 同一时刻温度场中温
3、度相同的点所连成的曲面称为等温面。任何一个二维截面上，等温面表现为等温线。温度场可用等温面或等温线来表示。等温面和等温线的特征： 同一时刻，等温面或等温线不相交； 连续介质假设下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。,?,?,8,2、等温面与等温线,9,定义：等温面法线方向的温度变化 等温面法线方向温度变化率；n 等温面法线方向的单位矢量。 温度梯度是矢量, 其方向沿等温面的法线指向温度增加的方向,3、温度梯度(temperature gradient),10,温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。 直角坐标系中，温度梯度可表示为分别
4、为x、y、z 方向的偏导数；i、j、k为x、y、z 方向的单位矢量。,11,4、热流密度(heat flux)垂直通过等温面t上的微元面积dA的热流量为d，则dA上的热流密度为：,热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q 表示：,在直角坐标系中, 热流密度矢量可以表示为,12,二、导热基本定律,1、均质各向同性材料导热的Fourier定律标量形式的Fourier定律表达式为 :,热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反； 要计算通过物体的导热热流量, 除了物体材料的导热系数之外, 还必须知道温度场。所以,求解温度场是导热分析的主要任务。,13,Fourier定律的适用
5、条件,适用于均质连续介质，工程上许多材料不满足此条件，但所取微元体内的性质基本均匀一致时亦可用，如砖、混凝土等；各向同性材料，导热系数与方向无关。此时，由Fourier定律知：q与gradt共线、反向，均垂直于等温面（线）；,14,Fourier定律的适用条件,不适用于极低温导热问题、极短时间的瞬态导热问题、微纳米尺度导热问题Fourier定律假定热扰动以无限大的速度传播，当传播速度有限时,a：热扩散率；c：热传播速度,15,2、各向异性介质的导热,各向异性介质：导热系数随方向变化。如木材、石英、沉积岩、经过冷冲压处理的金属、层压板、强化纤维板等。热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与导热
6、系数的方向性有关, 因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。,16,2、各向异性介质的导热,导热系数矩阵：一般，各向异性材料的导热系数是二阶张量，写成矩阵形式为：,17,各向异性介质的导热定律,本课程不涉及各向异性介质材料导热的具体分析计算过程。,18,三、导热系数(Thermal Conductivity),导热系数是物质的重要热物性参数, 表示该物质导热能力的大小。根据傅里叶定律, 有：绝大多数材料的导热系数值都根据上式通过实验测得。材料的导热系数差别很大。,19,几种典型材料的导热系数,20,1、物质的导热机理,气体：分子的相互作用或碰撞； 非导电固体：晶格结构的振动，振动的传递
7、称为弹性声波，弹性波能量的量子化称为“声子”； 导电固体：主要靠自由电子，声子也有微小贡献； 液体：目前的认识尚不很清楚，有两种代表性说法：(1) 稠密气体；(2)非导电固体。目前以后一种说法为较多人认同； 高温固体或有缺陷、空隙的固体：辐射影响不可忽略，热载体为光子。,21,2、导热系数的数学描述,由以上分析知：物质的导热可归结为自由电子、声子、分子以及光子四种载体的运动和相互作用。研究表明：,每一载体单独作用时：,载体的体积热容 载体的平均速度 平均自由程,两种或两种以上载体同时存在时：,22,(1)同一种物质的固态导热系数最大,气态导热系数最小； (2)金属导热系数大于非金属的导热系数(
8、相差12个数量级)； (3)导电性能好的金属,导热性能也好（Wiedemann-Franz定律）。银是最好的导电体, 也是最好的导热体; (4)合金中杂质(或其他金属)破坏了晶格的结构,纯金属的导热系数大于它的合金。 (5)各向异性物体的导热系数与方向有关； (6)同一种物质, 晶体的导热系数大于非晶体的。,3、物质导热系数的特点,23,4、影响导热系数的因素,(1) 温度,一般地说, 所有物质的导热系数都是温度的函数,不同物质的热导率随温度的变化规律不同。,纯金属的导热系数随温度的升高而减小。,一般合金和非金属的导热系数随温度的升高而增大。,24,大多数液体（水和甘油除外）的导热系数随温度的
9、升高而减小。,所有气体的导热系数均随温度升高而增大。,25,(2) 压力 气体：随压力增加而增大。稀薄气体(P100Pa)导热系数与压力近似成正比；低压气体(100Pa-1MPa)压力影响可忽略不计；高压气体压力影响明显，尤其是临界区。 液体：压力影响可忽略不计。 固体晶体：压力达到足以使晶格变形时，导热系数随压力增大而减小；非晶体：压力增大促使导热系数增大。,26,(3)化学成分与杂质第二种组分或杂质的介入，或固溶体的形成，都破坏了晶体的完整性，引起晶格的扭曲、畸变和错位，引起导热系数的减小。,(4)其他影响 晶体结构、缺陷、尺寸效应,27,对特定物质作导热分析计算时，通常只需考虑温 度对导
10、热系数的影响。所研究的温度范围较小时， 材料的导热系数可以近似认为随温度线性变化:,0为按上式计算0下的导热系数值，并非材料在0 下的导热系数真实值，如图所示；b为由实验确定的实常数，与物质的种类有关。,28,5、多孔材料的导热系数 绝大多数建筑材料和绝热材料都具有多孔或纤维结构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等), 不是均匀介质。应用傅里叶定律的条件：孔隙大小与物体总体几何尺寸相比非常小，近似看作均匀介质。,多孔材料的导热系数是指它的表观（有效）导热系数, 或称作折算导热系数，它相当于和多孔材料物体具有相同的形状、尺寸和边界温度, 且通过的导热热流量也相同的某种均质物体的导热系数。最简单的表观导热
11、系数的计算式为：,effective thermal conductivity,porosity,29,多孔材料导热系数的特点,多孔材料的导热系数随温度的升高而增大 孔隙中气体的导热系数随温度的升高而增大； 孔隙内壁面间的辐射传热加强；多孔材料导热系数与密度关系 一般密度愈小, 多孔材料的空隙率愈大, 导热系数愈小； 密度小到一定程度后, 由于孔隙较大, 空隙中的空气出现宏观流动, 由于对流换热的作用反而使多孔材料的表观导热系数增大；,30,多孔材料导热系数的特点,多孔材料的导热系数受湿度的影响较大 例如：干砖导热系数 0.35 W/(mK), 水的导热系数 0.60 W/(mK)，湿砖导热系
12、数 1.0 W/(mK) 多孔介质是典型的保温材料（或绝热材料） 膨胀塑料、膨胀珍珠岩、矿渣绵， 我国国标规定，0.12 W/m.K (t350 C)的材料为保温材料。,31,典型材料导热系数的数值范围,纯金属 50-415 W/mK 合金 12-120 W/mK 非金属固体 1-40 W/mK 液体(非金属) 0.17-0.7 W/mK 隔热材料 0.03-0.12 W/mK 气体 0.007-0.17 W/mK,32,四、导热问题的数学描述 （数学模型）,导热微分方程式+单值性条件,建立数学模型的目的： 求解温度场,导热数学模型的组成：,33,导热微分方程式的导出,假设：,1）物体由各向同
13、性的连续介质组成；,2）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m3 。,1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的微元体作为研究对象；,步骤：,2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式；,3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程进行归纳、整理。,34,导热过程中微元体的热平衡：,单位时间内，净导入微元体的热流量与微元体内热源的生成热V之和等于微元体热力学能的增加dU, 即, + V = dU, = lx + ly + lz,lx = x x+dx,= qx dydz qx+dx dydz,35,同理可得从y和z方向净导入微元体的热流量分别为,于是, 在单位时
14、间内净导入微元体的热流量为,单位时间内微元体内热源的生成热：,单位时间内微元内能的增加：,根据微元体的热平衡表达式 + V = dU 可得,36,导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。,当导热系数为常数时, 导热微分方程式可简化为,式中，,37,例9-1,无内热源、常物性二维导热物体在某一瞬时的温度分布 为 ，试分析该物体在x=0, y=1处温度随时间的变化 趋势。,解：,所以，该点温度随时间增加而升高。,38,热扩散率(导温系数, thermal diffusivity),是对非稳态导热过程有重要影响的热物性参数，其大小反映瞬态加热或冷却时物体内温度变化的快慢。
15、表征物体内温度趋于一致的能力。热扩散率愈大，对突然加热与冷却，物体内达到热平衡愈快。单位为m2/s。,例： 木材热扩散率约为a =1.510-7 m2/s , 纯铜热扩散率约为a = 5.3310-5 , 是木材的355倍。,物质的储热能力,39,导热微分方程式的简化,(1) 物体无内热源：,(2) 稳态导热：,(3)稳态导热、无内热源：,2t = 0，即,40,如果为常数：,圆柱坐标系下的导热微分方程式,41,球坐标系下的导热微分方程式,为常数时，,42,导热微分方程式的单值性条件,导热微分方程式适用于无穷多个导热过程, 有无穷多个解。 完整的描写具体导热过程，必须说明导热过程的具体特点,
16、即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。 导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导热过程完整的数学描述。 单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。,43,1.几何条件,说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。,2.物理条件,说明导热物体的物理性质, 例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(、c、a等)的数值及其特点等。,3.时间条件,说明导热过程时间上的特点, 是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热, 应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：,44,4.
17、边界条件,说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用, 例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。,常见的边界条件分为以下三类:,(1) 第一类边界条件,给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：,(2) 第二类边界条件,给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：,45,(3) 第三类边界条件,给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h 。,如果物体的某一表面是绝热的, 即qw = 0 , 则,物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。,根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得,第三类边界条件建立了物体内部温度在边界
18、处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。,46,上式描述的第三类边界条件为线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。,如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热, 边界面的热平衡表达式为,qr 为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热流密度。这种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件是非线性的边界条件。,47,具体导热过程完整的数学描述（数学模型）应该包括,(1)导热微分方程式;,(2)单值性条件。,对数学模型进行求解, 就可以得到物体的温度场进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。,建立合理的数学模型, 是求解导热问题的第一步, 也是最重要
19、的一步。,目前应用最广泛的求解导热问题的方法:(1)分析解法;(2)数值解法;(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。,48,深刻理解傅里叶定律、推导热传导方程 稳态导热 瞬态导热 导热的数值解法,内容提示（二）,49,9-2 稳态导热 Steady-State Conduction,温度只在一个空间方向变化的导热问题 无限大平壁导热 圆筒壁导热 同心球壁导热 任意形状、周边绝热的导热问题 肋壁导热的一维处理,一维稳态导热,50,一、通过平壁的稳态导热,当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。,假设：,表面面积为A、厚度为、为常数、无内热源，两侧表面分
20、别维持均匀恒定的温度tw1、tw2，且tw1 tw2 。,选取坐标轴x与壁面垂直,如图。,1、通过单层平壁的稳态导热,51,数学模型,求解结果：,可见，当为常数时, 平壁内温度分布曲线为直线，其斜率为,由傅立叶定律可得,通过整个平壁的热流量为,52,2、多层平壁的稳态导热,以三层平壁为例，假设：,（1）各层厚度分别为1、2、3，各层材料的导热系数分别为1、2、3 , 且分别为常数；,（2）各层之间接触紧密, 相互接触的表面具有相同的温度；,（3）平壁两侧外表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw4。,通过此三层平壁的导热为稳态导热, 各层的热流量相同。,53,总导热热阻为各层导热热阻之和，由单层
21、平壁稳态导热的计算公式可得,三层平壁稳态导热的热阻网络,n层平壁的稳态导热,利用热阻的概念, 可以很容易求得通过多层平壁稳态导热的热流量, 进而求出各层间接触面的温度。,54,第一类边界条件： 第二类边界条件： 第三类边界条件：,思考？,55,例9-2,如图所示的双层平板中，导热系数1、2为定值，假定过程为稳态，试分析图中温度分布曲线所对应的1、2的相对大小。,解：由于为稳态导热，三种情况热流量分别为常数，即,56,3、有内热源平壁的一维稳态导热,如果平壁两侧表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw2，平壁内具有均匀分布的内热源, 强度为 ,平壁材料的导热系数 为常数,则平壁一维稳态导热的数学模
22、型为,可见, 壁内的温度分布为抛物线。,57,通常 ，所以温度分布曲线向上弯曲, 并且 愈大, 弯曲得愈厉害, 当大于一定数值后, 温度分布曲线在壁内某处xmax具有最大值tmax , 壁内热流的方向从xmax处指向两侧壁面。,根据傅里叶定律，,可见，热流密度不再像无内热源那样等于常数, 而是x的函数, 并且热流的方向不一定指向一个方向, 这取决于壁面温差(tw1tw2) 以及内热源强度 的大小。,如果 tw1 tw2？,58,1,2,3,59,4、变导热系数问题,类似于前述方法，可求解此问题。也可采用对Fourier 定律直接积分的方法：,60,分离变量积分：,在x处(0x):,61,可见,
23、 当平壁材料的导热系数随温度线性变化时, 平壁内的温度分布为二次曲线。,由于 ， 所以：,整理可得：,62,讨 论,平板导热的温度分布b0 为上凸曲线;b=0 =c 为直线;b0 为下凹曲线。 稳态导热求解方法：(1)微分方程的边值问题；(2) Fourier定律直接积分。,63,二、通过圆筒壁的稳态导热,1、单层圆筒壁的稳态导热长圆筒壁，长度为l， 导热系数为常数， 无内热源（v = 0）， 内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1，tw2 , 且 tw1 tw2。,为什么是下凹的曲线？,64,导热微分方程式为：,第一类边界条件:r = r1 : t = tw1 r = r2 : t = tw2,
24、进行两次积分, 可得导热微分方程式的通解为：,65,温度沿r 方向的变化率为：,根据傅立叶定律,沿圆筒壁r 方向的热流密度为：,可见,径向热流密度不等于常数, 而是r的函数, 随着r的增加, 热流密度逐渐减小。,66,对于稳态导热, 通过整个圆筒壁的热流量不变。R为整个圆筒壁的导热热阻, K/W。,单位长度圆筒壁的热流量：,式中Rl为单位长度圆筒壁的导热热阻，mK/W,实际上，根据傅立叶定律，将该式分离变量积分，同样可求得上面的公式。,67,2、多层圆筒壁的稳态导热,以三层圆筒壁为例，无内热源，各层的1、2、3分别为常数，内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1、tw2。通过各层圆筒壁的热流量相等，
25、总导热热阻等于各层导热热阻之和，,68,对于n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热，显然有,69,第二、三类边界条件有内热源（单层，多层）变导热系数,思考？,对于圆筒壁的稳态导热问题：,70,三、肋片的稳态导热 Steady-state Conduction through Fins,根据牛顿冷却公式： = A h( twtf ),增大对流换热量有三条途径：1. 加装肋片，增加换热面积A ；2. 加大对流换热表面传热系数h ；3. 加大换热温差( twtf ) 。,传热过程中，当两侧流体换热能力不匹配时，有必要强化换热能力较差一侧流体的换热，最终实现传热过程的强化。,71,72,毛细热管换热器
26、,毛细热管,73,多通路微细通道带管式换热器,Department of Mechanical Engineering University of Maryland,74,制冷系统肋片管式换热器,75,火电站风冷冷凝器结构,铝及其合金换热器，叉流形式,76,微肋管（Microfin Tubes）,77,微肋管（Microfin Tubes）,78,三、肋片的稳态导热 Steady-state Conduction through Fins,当两侧流体对流换热系数相差较多时，换热表面加装肋片是强化传热的主要措施之一。 典型的肋片形式见下图：,79,1、等截面直肋的稳态导热,肋高度为H 厚度为 宽
27、度为l 与高度方向垂直的横截面积为A = l 横截面的周长P=2(l+) 2l,一维近似，近似程度与导热系数有关。,80,假设： 肋片材料均匀，导热系数为常数； 肋根部与肋基接触良好，温度一致； 肋片厚度方向的导热热阻/与肋表面对流换热热阻1/h相比很小，可以忽略。肋片的温度只沿高度方向发生变化, 即可以近似为一维导热； 肋表面各处与流体之间对流换热系数h都相同； 忽略肋片端面的散热量，即认为肋端面绝热。,热量从肋基导入肋片，然后从肋根导向肋端，沿途不断有热量从肋的侧面以对流换热的方式散给周围的流体，这种情况可以当作肋片具有负内热源（热沉）来处理（将微元体表面的对流换热等效为微元体的热沉，见教
28、材）。,81,导热微分方程,边界条件为: x = 0, t = t0 x = H,82,令,称为过余温度。,数学模型变为,双曲余弦函数,83,肋片的过余温度从肋根开始沿高度方向按双曲余玄函数的规律变化。,肋片的过余温度沿高度方向逐渐降低，mH较小时，温度降低缓慢；mH较大时，温度降低较快。,一般取0.7 mH 2,84,肋端的过余温度,肋端过余温度随mH增加而降低。,在稳态情况下, 肋片散热量应该等于从肋根导入的热量,随着mH增大，散热量增加，开始增加迅速，后来越来越缓慢，逐渐趋于一渐近值（增加肋高的经济性）,85,2、肋片效率,：,定义：肋片的实际散热量与假设整个肋片都具有肋基温度时的理想散
29、热量0之比,式中tm、m分别为肋面的平均温度和平均过余温度，t0、0分别为肋基温度与肋基过余温度。,由于m 0 ，所以肋片效率f 小于1。,求解过程设肋表面各处h都相等，等截面直肋的平均过余温度可按下式计算：,可见，肋片效率是mH的函数。,86,矩形和三角形肋片效率随mH的变化规律如图。,影响肋片效率的因素：,（1）肋片材料的热导率，,（2）肋片高度H，,（3）肋片厚度，,（4）肋片与周围流体间对流换热的表面传热系数h ，,mH愈大，肋片效率愈低。,87,（1）上述分析结果同样适用于其它形状的等截面直肋，如圆柱、圆管形肋的一维稳态导热问题；,（2）如果必须考虑肋端面的散热，可以将肋端面面积折算
30、到侧面上去，相当于肋加高为H+H，其中,对于矩形肋,几点说明：,（4）对于肋片厚度方向的导热热阻/与表面的对流换热热阻1/h相比不可忽略的情况，肋片的导热不能认为是一维的，上述公式不再适用；,（5）上述推导没有考虑辐射换热的影响，对一些温差较大或表面传热系数较小的场合，必须加以考虑。,（3）上述分析结果既适用于肋片被加热的情况，也适用于肋片被冷却的情况；,88,矩形环肋肋效率,89,变截面肋片,在一定散热量条件下，什么几何形状肋的材料消耗量最少？,理论分析证明，在一定散热量的条件下，具有凹抛物线剖面的肋片最省材料。工程上常采用工艺简单、性能接近凹抛物线型肋片的三角肋或者梯形肋。,工程上常采用工
31、艺简单、性能接近凹抛物线型肋片的三角肋或者梯形肋。,90,例9-3 套管导热对热电偶测温精度的影响,热电偶测量的是套管端部的温度tH。,在稳态情况下，套管端部温度不等于空气的温度，测温误差就是套管端部的过余温度 。,忽略套管横截面上的温度变化，并认为端部绝热，则套管导热可以看成是等截面直肋的一维稳态导热问题。,如何减小测温误差？,91,例9-4,两几何尺寸相同的等截面直肋，在相同的对流环境下，沿肋高方向的温度分布曲线如图，请判断两种材料导热系数的大小及肋效率的高低。,解：对一维肋，导热系数越高，沿肋方向的热阻越小，因而沿肋高方向的温度变化越小。因此，曲线1对应的是导热系数大的材料，曲线2对应导热系数小的材料。由肋效率的定义，由于1平均温度高，故肋效率高于曲线2对应的肋效率。,H,92,四、 接触热阻,定义：由于固体表面之间不能完全接触而对两个固体间的导热过程产生的热阻，用Rc表示。,由于存在接触热阻，使两个接触表面之间出现温差,接触热阻的主要影响因素：,(1) 相互接触的物体表面的粗糙度；,(2) 相互接触的物体表面的硬度；,(3) 相互接触的物体表面之间的压力等。,减小接触热阻的措施：抛光、加压、添加薄膜等。,
