1、第四章 整数规划,线性规划的扩展,整数规划 Integer Programming IP 模糊线性规划 fuzzy linear programming 非线性规划 Nonlinear Programming NP 组合优化 Combinatorial optimization 图论 参数规划 多目标规划 随机过程 stochastic programming,线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。 例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。 要求全部或部分决策变量的取值为整数的线性规划问
2、题，称为整数线性规划，简称整数规划(Integer Programming)。 全部决策变量的取值都为整数，则称为全整数规划(All IP)； 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规划(Mixed IP)； 要求决策变量只能取0或1值，则称为0-1规划(0-1 Programming)。,第一节 整数规划问题,为了满足整数要求，似乎可以把线性规划的小数最优解进行“舍入化整”以得到与最优解相近的整数解。 “舍入化整”一般是不可行的： 化整后的解有可能成为非可行解； 虽是可行解，却不是最优解。 例如,一、问题的提出,问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。,解：设x1为甲产品的台数，
3、 x2为乙产品的台数。 maxZ= 6x1 +5 x22x1 + x2 95x1+7 x2 35x1, x2 0x1, x2取整数 不考虑整数约束则是一个LP问题，称为原整数规划的松弛问题。 不考虑整数约束的最优解：x1 *=28/9， x2 * =25/9，Z * =293/9 舍入化整 x1 =3， x2 =3，Z =33，不满足约束条件5x1 +7 x2 35，非可行解； x1 =3， x2 =2，Z =28，满足约束条件，是可行解，但不是最优解； x1 =4， x2 =1，Z =29，满足约束条件，才是最优解。,步骤： 在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值，求出这些变量所
4、有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的解就是整数规划的最优解。 实用性： 只有两个决策变量， 可行的整数解较少。, (3,3),二、 整数规划的图解法,设备购置问题：某厂拟用M元资金购买m种设备，设备i 的单价为pi；现有n个地点可装置这些设备，第j 处最多可装置bj 台；设备i 装置在j 处可获利cij元。如何购置，总利润最大？假设：购买第i 种设备yi台数，将第i 种设备安装在第j 处的台数xij该问题的数学模型,三、 整数规划问题举例,投资决策问题：某厂拟用b元资金投资n个项目，项目j 需资金aj元，可获利cj元。应选择那些项目，获利最大？假设：xj =1表
5、示投资项目j ； xj =0表示不投资项目j 该问题的数学模型,工厂选址问题：某商品有n个销地，各销地的需求量为bj吨/天；现拟在m个地点中选址建生产厂，一个地方最多只能建一个工厂；若选i 地建厂，生产能力为ai吨/天，固定费用为di元/天；已知i 址至销地j 的运价为cij元/吨。如何选址和安排调运，总费用最小？假设：yi=1，选择第i 址建厂， yi=0，不选择第i 址建厂；从厂址i 至销地j 运量为xij 。该问题的数学模型,例1：某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻探，使总的钻探费用最少。若10个井的代号分别为s1,s2,，s10；相应的费用为c1,c2,，c10；满足下列
6、条件： 1）或选择s1和s7，或选择s8 2）选择了s3或s4就不能选择s5，反过来也一样 3）在s5，s6，s7 ，s8 中最多只能选择两个。 试建整数规划模型。,若：选择s2必须选择s6 ，否则都不选。,第二节 分枝定界法,分枝定界法(Branch and Bound Method) 基本思想： 先求出整数规划相应的LP(即不考虑整数限制)的最优解； 若求得的最优解符合整数要求，则是原LP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。 然后，再在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优解，这样通过求解一系列线性规划问题，最终得到原
7、整数规划的最优解。,定界的含义： 整数规划是在相应的线性规划的基础上增加变量为整数的约束条件，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。 对极大化问题来说，相应线性规划的目标函数最优值是原整数规划函数值的上界； 对极小化问题来说，相应线性规划的目标函数的最优值是原整数规划目标函数值的下界。,例 maxZ= 6x1 +5 x22x1 + x2 95x1+7 x2 35x1, x2 0x1, x2取整数 第一步：不考虑变量的整数约束,求相应LP(问题1)的最优解：x1=28/9，x2 =25/9，Z1=293/9 第二步：定界过程 这个解不满足整数约束，这时目标函值Z1是整数规划的目标上界；
8、因为x1=x2=0是整数规划问题的可行解，所以下界为0。 第三步：分枝过程将不满足整数约束的变量x1进行分枝，x1称为分枝变量，构造两个新的约束条件：x1 28/9=3， x1 28/9 +1=4 ,这样就把相应的线性规划的可行域分成两个部分，如图所示。,问题2：maxZ= 6x1 +5 x2 问题3： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 2x1 + x2 95x1 +7 x2 35 5x1 +7 x2 35x13 x1 4x1, x2 0 x1, x2 0x1, x2取整数 x1, x2取整数,求解相应的线性规划的最优解 问题2相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20
9、/7，Z2=226/7 问题3相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29 第四步，定界过程 LP3的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是29，大于原有下界0，则新的下界为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为226/7。 LP2的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值226/7大于现有下界，则应继续分枝。 第五步，分枝过程将不满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件：x2 20/7=2， x2 20/7 +1=3,问题4：maxZ= 6x1 +5 x2 问题5： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 2x1 + x2 95x1
10、+7 x2 35 5x1 +7 x2 35x13 x1 3x22 x2 3x1, x2 0 x1, x2 0x1, x2取整数 x1, x2取整数,求解相应的线性规划的最优解 问题4相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题5相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5 第六步，定界过程 LP4的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是28，小于原有下界29，则下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为159/5。 LP5的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值159/5大于现有下界29，则应继续分枝。 第七步，分枝过程将不
11、满足整数约束的变量x1进行分枝，构造两个新的约束条件：x1 14/5=2，x1 14/5 +1=3,问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 2x1 + x2 95x1 +7 x2 35 5x1 +7 x2 35x13 x1 3x2 3 x2 3x12 x1 3x1, x2 0 x1, x2 0x1, x2取整数 x1, x2取整数,求解相应的线性规划的最优解： 问题6相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =25/7，Z6=209/7 问题7相应的线性规划的最优解：无最优解 第八步，定界过程 LP7的无最优解，不必再分枝，下界仍
12、为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为209/7。 LP6的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值209/7大于现有下界29，则应继续分枝。 第九步，分枝过程将不满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件：x2 3， x2 4,问题8：maxZ= 6x1 +5 x2 问题9： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 2x1 + x2 95x1 +7 x2 35 5x1 +7 x2 35x13 x1 3x2 3 x2 3x12 x12x23 x2 4x1, x2 0 x1, x2 0x1, x2取整数 x1, x2取整数,求解相应的线性规划的最优解 问题
13、8相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =3，Z8=27 问题9相应的线性规划的最优解：x1=7/5，x2 =4，Z9=142/5 第十步，定界过程 LP8的最优解，满足整数约束，不必再分枝，下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为29。 虽然LP9的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值142/5小于现有下界29，则不再继续分枝。 上界=下界，得整数规划问题的最优解： x1=4，x2 =1，Z=29,分枝定界过程,x13,x1 4,x22,x2 3,x12,x1 3,x23,x2 4,割平面法（P116） 屠夫杀猪，一刀下去，又准又狠 这一刀不能虚，也不能杀错位置
14、1.原理：,.,.,X1,X2,指派问题（分配问题）,一、指派问题及其标准形式,指派问题的标准形式（以人和事为例）：设有n个人和 n 件事，已知第i人做第j事的费用为 ， 要求一个人和事之间一一对应的指派方案，使完成这n件事的总费用最少。,一般称矩阵,为指派问题的系数矩阵（coefficient matrix）。,为了建立标准指派问题的数学模型，引入n2个0-1变量,问题的数学模型可写成,01整数规划应用指派问题,注意到： 1 从人来看，如果乙不作日语，损失特别大6 2 从事来看，如果英语不分配给甲，损失特别大5,01整数规划应用指派问题 原理：从人的角度思考考虑人最适合的工作从工作的角度思考
15、.考虑工作最适合的人,各行都减去这一行的最小值，得到的0表示这个0所在的行对应的人最适合的工作是这个0所在的列对应的事,这一列有三个0，表示这一列的事有三个人适合做,行最小值,指派问题第一步:各行元素该行行最小各列元素该列列最小本题有n个独立的0元素则已得最优解,各列都减去这一列的最小值，得到的0表示这个0所在的列行对应的事最适合的人是这个0所在的行对应的人,甲 俄 乙 日 丙 英 丁 德,列最小值,有三个人适合英文 为什么确定丙英,指派问题的匈牙利法： 第一步:各行元素该行行最小， 各列元素该列列最小若有n个独立的0元素则已得最优解，本题有n个独立的0元素,列仅一个零表示这个工作只适合一个人
16、,行仅一个零表示这个人只适合一个工作,甲 俄 乙 日 丙 英 丁 德,颜色表示“确定”,指派问题的匈牙利法a. 基本思路：修改系数矩阵的行、列至少有一个0元素;b. 理论依据：若从系数矩阵的某行（或列）减去或加上一个数，则新的矩阵能得到与原问题相同的最优解。c. 匈牙利法的要求： 系数矩阵必须是方阵； 系数矩阵所有的元素均非负； 目标函数是求最小值。,解题步骤： 写出系数矩阵，并使每行（或列）至少有一个0元素； 试求最优解； 调整方案，变换矩阵：所有未划去的元素中取最小元素并减去之，然后在所划直线的交叉点加上该元素。,指派问题的匈牙利法 第一步:各行元素该行行最小， 各列元素该列列最小若有n个
17、独立的0元素则已得最优解，否则转第二步 第二步:1，从只有一个0元素的行（列）开始，把0元素记为 ，表示“确定”，然后划去所 在行 （列）的其他0元素，记为0表示“不考虑”2. 划去行（列）的新矩阵再回到:13. 若仍有没划圈的0元素，且同行（列）至少有两个0元素，则从0元素最少的行（列）开始，试探若 “确定”的数目m等于矩阵的阶n，则最优解得到 第三步1 对没有 的行打 （对应的人没找到合适的工作）2 对已打 的行中的所含0的列打 （没找到工作的人最适合的工作）3 对打 的列中的所含0的行打 （没有工作的人所适合的工作分给谁了），重复2 3 对没有打 的行划线（所有找到合适工作的人）对打 的
18、列划线（没找到合适工作的人最适合的工作）如直线数任务数，转第四步,如直线数=任务数,最有解 第四步:没有被直线覆盖的行找“最小元素”打 的各行最小元素 , 打 的列+ 最小元素 得到的新矩阵有更多的0元素，若得到n个独立元素则求的最优解，否则回到第三步,例:,华东交通大学工业工程与物流管理系,运筹学,第一步，变换系数矩阵：,5,第二步，试指派：,找到 3 个独立零元素但 m = 3 n = 4,第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：,独立零元素的个数m等于最少直线数l，即lm=3n=4；,第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打各行都减去1；打各列
19、都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：,得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：,相关问题：,非标准型的转化 （1）maxZ= cijxij minZ= (-cij)xij minZ = (M- cij) xij = bij xij M是足够大的常数， 新问题的最优解就是原问题的最优解 （2）指派问题的计算机求解,练习：,11,5,7,6,4,戊,6,9,6,3,7,丁,8,6,4,5,8,丙,9,11,7,12,9,乙,11,8,9,5,7,甲,E,D,C,B,A,费 工作 用 人员,-1,-2,l =m=4 n=5,l =m=4 n=5,此问题有多个最优解,28,用匈牙利法求解下列指
20、派问题，已知效率矩阵分别如下：,0-1规划的应用-项目投资预算,变量假设:,模型:,0-1规划的应用-工厂-销售点配置问题,问题: 为使经营成本最低,应开设那些工厂及销售点?,工厂-销售点配置问题-模型参数,现实生活之中，我们也经常遇到指派人员做某项工作的情况。指派问题的许多应用都用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工作指派人员的问题。其他的一些应用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂,The Assignment Problem 指派问题,还有哪些这样的问题呢？,指派问题的形式表述: 给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成任务的被指派者（assignees），所需要
21、解决的问题就是要确定出哪一个人 被指派进行哪一项任务,The Model for Assignment Problem 指派问题模型,指派问题的假设: 被指派者的数量和任务的数量是相同的 每一个被指派者只完成一项任务 每一项任务只能由一个被指派者来完成 每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本 目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小,The Model for Assignment Problem 指派问题模型,Variants of Assignment Problem 指派问题的变形,指派问题的变形: 有一些被指派者并不能进行某一些的任务 任务比被指派者多 被指派者比要完成的任务多 每个被指派者可以同时被指派给多于一个的任务 每一项任务都可以由多个被指派者共同完成,Applications of Assignment Problem 指派问题的应用,在各个地点分派设备 指派工厂生产产品设计学生入学区域,Assigning Machines to Locations 各个地点分派设备,Assigning Plants to Products 指派工厂生产产品,求佳产品公司问 题指派问题变形 的电子表格模型,Designing School Attendance Zones 设计学生入学区域,米德尔城学区问 题指派问题变形 的电子表格模型,
