1、中档大题规范练中档大题规范练 1 三角函数1.(2016浙江)在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc 2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC 的面积 S ，求角 A 的大小.a24(1)证明 由正弦定理得 sin Bsin C 2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(A B)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB). 又 A，B(0，)，故 0AB ，所以 B(AB) 或 BAB，因此 A(舍去 )或 A2B，所以 A2B.(2)解 由 S 得 absin C ，a24 12 a
2、24故有 sin Bsin C sin A sin 2Bsin Bcos B，12 12由 sin B0，得 sin Ccos B.又 B，C(0，) ，所以 C B.2当 BC 时，A ； 2 2当 CB 时，A .2 4综上，A 或 A .2 42.(2016北京)已知函数 f(x)2sin xcos xcos 2x( 0)的最小正周期为 .(1)求 的值；(2)求 f(x)的单调递增区间 .解 (1)f(x) 2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2x sin ，2(22sin 2x 22cos 2x) 2 (2x 4)由 0，f( x)的最小正周期为 ，得 ，解得 1.
3、22(2)由(1)得 f(x) sin ，2 (2x 4)令 2k2x 2k ，kZ，2 4 2解得 k x k ，kZ，38 8即 f(x)的单调递增区间为 (kZ). 38 k，8 k3.已知函数 f(x)2cos x(sin xcos x) 1，x R.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)将函数 yf(x )的图象向左平移 个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，4纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)的最大值及取得最大值时 x 的集合.解 (1)f(x) 2cos x (sin xcos x)1sin 2x cos 2x sin(2x )，24令 2
4、k 2x 2k (kZ)，2 4 2解得 k xk (kZ )，8 38故函数 f(x)的单调递增区间为k ，k (kZ ).8 38(2)由已知，得 g(x) sin(x )，24当 sin(x )1，即 x 2k (kZ )，4 4 2也即 x2k (kZ)时，g(x) max .4 2当x| x2k (kZ )时，g(x)的最大值为 .4 24.(2016四川)在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 .cos Aa cos Bb sin Cc(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若 b2c 2a 2 bc，求 tan B.65(1)证明 根据正弦定理，
5、可 设 k (k0)，asin A bsin B csin C则 aksin A，bk sin B，cksin C .代入 中，有cos Aa cos Bb sin Cc ，变形可得cos Aksin A cos Bksin B sin Cksin Csin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB ).在ABC 中，由 ABC，有 sin(AB)sin( C )sin C.所以 sin Asin Bsin C .(2)解 由已知， b2c 2a 2 bc，根据余弦定理，有65cos A .b2 c2 a22bc 35所以 sin A .1 cos2A45由(1)，si
6、n A sin Bsin Acos B cos Asin B，所以 sin B cos B sin B.45 45 35故 tan B 4.sin Bcos B5.已知向量 m( sin x，cos x)，n (cos x，cos x)，xR，设 f(x)mn .3(1)求函数 f(x)的解析式及单调递增区间；(2)在ABC 中， a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 a1，bc2，f(A) 1，求ABC 的面积.解 (1)f(x) mn sin xcos xcos 2x3 sin 2x cos 2x32 12 12sin(2x ) ，6 12由 2k2x 2k ，kZ，2 6 2可得， kx k ，k Z，3 6函数 f(x)的单调递增区间为 k， k ，kZ .3 6(2)f(A)1，sin(2A ) ，6 120A， 2A ，6 61362A ，A .6 56 3由 a2b 2c 22bc cos A，得 1b 2c 22bc cos 43bc，3bc1，S ABC bcsin A .12 34
