1、第3章 时域分析法,3.1 典型输入信号及时域性能指标 3.2 控制系统的稳定性 3.3 一阶系统的阶跃响应 3.4 二阶系统的阶跃响应 3.5 系统的稳态误差分析,对于线性系统，常用的分析方法有三种： 时域分析法； 根轨迹法； 频率特性法。,引言,时域分析方法，是一种直接分析方法，具有直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。,时域分析法：在典型输入信号作用下，通过拉普拉斯变换，求出系统的输出量的表达式，然后再进行拉普拉斯反变换，从而得到系统时间响应的全部信息。,3.1 典型输入信号及时域性能指标,系统的数学模型由本身的结构和参数决定； 系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形
2、式决定； 典型的输入信号有：阶跃信号、斜坡信号、恒加速信号、单位脉冲信号、正弦信号； 典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得。,3.1.1 典型输入信号,式中，A为阶跃值，当A=1时称为单位阶跃函数，记为1(t)。,定义3-1,拉氏变换：,1、阶跃信号(阶跃函数),2、恒速信号(斜坡函数),拉氏变换：,当A=1时，r(t)=t称为单位斜坡函数,它代表匀速信号。,定义3-2,3、恒加速信号(抛物线函数),定义3-3,拉氏变换：,当A=1时， 称为单位抛物线函数。,4、单位脉冲函数,单位脉冲函数的积分面积等于1， 如图3-4。,拉氏变换：,定义3-4,图3-4 单位脉冲函
3、数,5、正弦信号,定义3-5,分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。,式中，A为振幅，为角频率； 正弦信号主要用来求取频率响应。,拉氏变换：,3.1.2 输入量为单位阶跃函数的系统暂态性能指标,暂态性能：,评价系统的暂态性能，通常以系统对单位阶跃输入信号的暂态响应为依据，这时的系统暂态响应曲线称为单位阶跃响应。,图3-5 单位阶跃响应的性能指标,1、上升时间tr：指c(t)第一次上升到稳态值所需的时间。 2、峰值时间tp：c(t)第一次达到峰值所需的时间。 上述二个指标表征系统初始阶段的响应快慢。 3、调节时间ts：指c(t)和c()之间的偏差达到允许范围（2%-5%）
4、时的暂态过程时间。它表征系统过度过程的持续时间长短。上述三指标均表征系统的快速性。,图3-5 单位阶跃响应的性能指标,4、振荡次数；调节时间内，输出偏离稳态的振荡次数。 5、最大超调量(超调量)p%：c(tp)与c()之差与稳态值c()之比：,超调量p%及振动次数则反映暂态过程的稳定性。,动态性能指标：,稳态性能指标：稳态误差,图3-5 单位阶跃响应的性能指标,3.2 控制系统的稳定性,3.2.1 线性系统稳定性的概念 3.2.2 劳斯判据 1.劳斯判据的内容 2.劳斯判据的应用步骤 3.特例 4.劳斯判据的应用,3.2.1 线性系统稳定性的概念,图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为
5、A，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)就是不稳定的。,稳定性的定义,任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。,稳定性分析：,线性系统的稳定性是系统本身的固有特性，与扰动 作用的形式无关，它取决于扰动作用引起的暂态分 量是否衰减，即取决于系统闭环传递函数的极点在 s平面
6、分布情况： 1.如果系统所有极点都分布在s平面的左侧，系统的暂态分量随着时间的推移衰减为零，则系统稳定； 2.如果系统极点中有共轭极点分布在s平面的虚轴上，系统的暂态分量随着时间的推移作等幅震荡，则系统处于临界稳定状态； 3.如果系统极点中有极点分布在s平面的右侧，系统的暂态分量随着时间的推移呈发散状态，则系统不稳定；,线性系统稳定的充分必要条件：,系统特征方程式的全部根都是负实数或具有负实部。 由于特征方程的根是s平面上一点，所以系统稳定的充要条件是系统的所有极点均在s的左半平面,3.2.2 劳斯判据,由上面分析可以看出，上面的方法必须求出闭环传函的所有极点。 这对二阶以下的系统是有用的，但
7、是对于三阶以上系统，求解极点一般来说是比较困难的。 因此,人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接判断。 1877年，英国学者劳斯（Routh）提出了利用特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。,1. 劳斯判据的内容,控制系统稳定的充要条件：劳斯阵中左端第一列各项值均为正数。 如果劳斯阵左端第一列各项值中有负数，则系统不稳定； 且左端第一列各项值的正负符号的改变次数等于特征方程的根在s平面右侧的个数。,Routh稳定判据,根据特征方程的系数判断特征根是否为负实部，而不需要解微分方程。虚轴和右半平面视为不稳定。,定理：对特征方程,系统稳定的必要条件是：特征
8、方程各项系数为正，且不缺项。,2. 劳斯判据的应用步骤,1、列出系统特征方程：,上式中所有系数均为实数，并设,2、按系统特征方程列写劳斯行列表：,3、考察行列表,若第一列各数均为正数，则系统的所有特征根均在根平面的左半平面，此系统稳定。 若第一列中有负数则说明系统不稳定，第一列中符号变化的次数表示右半平面根的个数。,为了简化数值运算，可将一行中各数都乘以一个正数，不影响稳定性判断,3. 特例 两种特殊情况,1、劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为0，其余不为0或没有。这时可以用一个很小的正数来代替这个0，使运算继续下去。,2、劳斯行列表中第K行全部为0。说明有对称于原点的根。这时可以建立一个辅
9、助方程继续进行分析，方法是： （a）用K-1行构成辅助多项式； （b）对辅助多项式求导，系数代替K行。继续计算。 （c）对于对称于原点的根，可由辅助多项式等于0求得。,4.劳斯判据的应用,例3-1 设系统的特征方程为,S4 1 3 5 S3 2 4 0 S2 1 5 S1 6 S0 5,劳斯阵的第一列所有项的符号改变两次，即1-65，所以系统有两个根在s的右半平面(即有两个正根)，系统不稳定。,试用劳斯判据判断系统的稳定性。,4.劳斯判据的应用,例3-2 设系统的特征方程为,S4 1 1 1 S3 2 2 0 S2 0() 1 S1 S0 1,由于是非常小的正数，S1行的第一列的值是一个绝对值
10、非常大的负数。所以，劳斯阵中第一列的符号改变两次，说明有两个根位于s平面的右半侧，系统不稳定。,试用劳斯判据判断系统的稳定性。,4.劳斯判据的应用,例3-3 设系统的特征方程为,由新列写的劳斯阵第一列看出，各项没有符号改变，但由辅助方程解得系统有一对共轭虚根s1,2=j5,说明系统处于临界稳定状态。,试用劳斯判据判断系统的稳定性。,4.劳斯判据的应用,由劳斯阵的内容可知，为了使系统稳定，必须使k0, 6-k0即k6。因此，k的取值范围为0k6。,解 闭环系统的传递函数,例3-4 设闭环系统如图3-6所示，其中 ,试确定满足系统稳定的k值范围。,闭环系统的特征方程为,3.3 一阶系统的阶跃响应,
11、一阶系统传递函数：,典型系统：RC网络、水位调节,3.3.1 一阶系统的数学模型,一阶系统微分方程：,1、一阶系统的暂态响应：,在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。,响应曲线具有非振荡特征： t=T, c(t)=0.632; t=2T, c(t)=0.865; t=3T, c(t)=0.950; t=4T, c(t)=0.982;,图3-8 单位阶跃响应曲线,c(t),如果以初始速度等速上升至稳态值1所需的时间应恰好为T；时间常数T越小，一阶系统过度过程越快。,3.3.3 一阶系统的暂态性能指标,(1)当t=0时，响应曲线的斜率等于 即,c(t),一阶系统的性能指标
12、如下： 调整时间为 Ts=3T (对应5%误差带) Ts=4T (对应2%误差带)因此，T越小，系统过渡时间就越短。 上升时间为 Tr=2.20T,(2) 当t=T时，c(t)=0.632；可求出时间常数T.,c(t),一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其时域性能指标主要以Ts来衡量，Ts的长短反映了系统过程的快慢。,而峰值时间Tp和超调量p%显然不存在。,c(t),闭环传递函数分子上的数值10称为放大系数，调节时间ts与它无关，仅取决于时间常数T。,解 系统的闭环传递函数为,例3-5 一阶系统的结构图如图3-9所示，试求系统的单位阶跃响应的调节时间ts。如果要求ts0.1s，试问系统的反馈系数
13、应取何值？,其中时间常数为T=0.1s 因此调节时间为ts=3T=0.3s (取5%误差带),下面来求满足ts0.1s的反馈系数的值，设该值为kt(kt0), 那么同样可由结构图写出闭环传度函数为,此时的时间常数为根据题意要求,则所以 kt0.3,3.3.4 三种典型输入信号响应之间的关系,三种典型输入信号分别为单位脉冲信号(t)、单位阶跃信号1(t)和单位斜坡信号t1(t)，它们之间存在如下的关系：,而时间响应之间的关系为：,一个输入信号导数的时域响应等于该信号 时域响应的导数； 一个输入信号积分的时域响应等于该信号 时域响应的积分；,线性定常系统,3.4 二阶系统的阶跃响应,用二阶微分方程
14、描述的系统称为二阶系统； 二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义；,二阶系统的闭环传递函数：,特征方程：,系统框图：,3.4.1 二阶系统的数学模型,二阶系统的开环传递函数：,其中 为二阶系统阻尼比， 为二阶系统无阻尼自然频率.,二阶系统的特征根：,特征方程：,当 时，方程有一对实部为负的共轭复数根，系统响应具有振荡特性，称为欠阻尼状态； 当 时，系统有一对相等的负实根，称为临界阻尼状态； 当 时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态； 当 时，系统有一对纯虚根，称为零阻尼状态。,单位阶跃响应(01),二阶欠阻尼系统的单位
15、阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部分组成。稳态分量为1，暂态分量是一个随时间t增长而衰减的震荡过程。,3.4.2 二阶系统的暂态响应,其中 称为二阶系统阻尼振荡频率。,系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率（也称为阻尼振荡频率）为 ：,2. 临界阻尼情况(=1),闭环系统的极点为,闭环传递函数为,临界阻尼时的单位阶跃响应为,它表明二阶临界阻尼系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上升过程，整个响应不产生振荡。,两个不相等的负实根为：,系统的闭环传函为：,时域响应：,3.过阻尼情况(1),单位阶跃响应（1）,C(t),时域响应：,上式说明，二阶过阻尼系统的单位阶跃响
16、应是非振荡的。,4.零阻尼情况(=0) 系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。 系统特征根 系统输出量单位阶跃响应为 上式说明，二阶零阻尼系统的单位阶跃响应为持续的等 幅震荡过程。,c(t),图3-11 不同阻尼比的二阶系统阶跃响应曲线,二阶系统响应特点,1、 =0时，等幅振荡；,3、 =1时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态；,4、 1 时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢。,2、0 1时， 越小，振荡越严重，超调越大（最大超调量100%），衰减越慢；,二阶系统响应特点,阻尼比与极点分布和系统性能的关系 (脉冲响应曲线变化情况),系统有一对共轭复根：,=,单位阶跃响应,其中,对于二阶系统来说
17、，欠阻尼情况 (01)是最有意义，所以，仅讨论在单位阶跃信号作用下二阶欠阻尼系统的暂态性能指标。,3.4.3 二阶系统的暂态性能指标,图3-12 角的定义,3.4.3 二阶系统的暂态性能指标,1.上升时间tr,单位阶跃响应,阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。,即,得,此时,2. 峰值时间tp,单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。,3. 超调量p%,单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。,当t=tp时，c(t)有最大值c(t)max,即c(t)max=c(tp),得,可得,再根据峰值时间tp的计算公式：,由角的定义可知，,3. 超调量p%,根据超调量的定义，有,4. 调节时间
18、ts,(取5%误差带),调节时间ts的近似公式，当 时：,(取2%误差带),5. 振荡次数：,其中 称为阻尼振荡的周期时间.,单位阶跃响应,图3-13 例3-6的系统结构图,G(s),解 系统的闭环传递函数为,例3-6 某随动系统如图3-13所示， 其中试求:(1)典型二阶系统的参数和n；(2)暂态性能指标p%和ts。,所以,(取5%误差带),(取2%误差带),图3-15 例3-8的系统结构图,解 原系统的闭环传递函数为,因为,所以,即=0.447s能实现=0.707的要求，从而改善原系统的工作状态。,例3-8 为了改善图3-15所示系统的工作状态，满足系统在单位阶跃 信号作用下的阻尼比=0.
19、707的要求，加入微分负反馈环节s。 求微分时间常数。,所以，当输入单位阶跃信号时，系统工作在无阻尼状态，作持续等 幅振荡，系统无法工作，加入微分负反馈环节来实现=0.707，此 时，系统的闭环传递函数为,3.4.4 高阶系统与闭环主导极点,前面学习了两种低阶系统； 用高阶微分方程描述的系统为高阶系统； 工程实际中的系统决大多数为高阶系统； 高阶系统的时间响应可由若干一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成的； 高阶系统的解析比较复杂，有时高阶系统可以用低阶系统的响应来近似闭环主导极点。,3.5 系统的稳态误差分析,3.5.1 误差与稳态误差分析 3.5.2 在典型输入信号作用下的稳态误差 3.
20、5.3 扰动信号作用下的稳态误差,控制系统的性能：动态性能和稳态性能 稳态性能用稳态误差 来描述 讨论稳态误差的前提是系统是稳定的,3.5.1 误差与稳态误差,误差定义为输入量与反馈量的差值,稳态误差为误差的稳态值,稳态误差不仅与其开环传递函数有关，而且与输入信号的形式和大小有关。其终值为：,式中，Gk(s)=G1(s)G2(s)H(s)称为系统的开环传递函数。,设系统开环传递函数为：其中 为开环增益， 为系统中含有的积分环节数 对应于 的系统分别称为0型，1型和2 型系统。 N值渝高，系统的稳态精度渝高，但系统的稳定性差。,3.5.2 在典型输入信号作用下的稳态误差,定义 为位置误差系数，有
21、,1.单位阶跃信号作用下的稳态误差,对于0型系统： 有,对于1型和2型系统,在单位阶跃信号的作用下，1型以上系统的稳态误差均为零。 由于0型系统无积分环节，其单位阶跃输入时的稳态误差为与k有关的一定值，因此常称为有差系统。 为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大k值。若要求系统对单位阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于1型。,2. 单位斜坡信号作用下的稳态误差,对于0型系统：,对于1型系统：,对于2型系统：,定义 为速度误差系数，有,可见: 0型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移,误差越来越大； 1型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与k有关的稳态误差，可用增加k的方法提高稳
22、态精度； 2型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。,对于0型系统：,对于1型系统：,对于2型系统：,3.抛物线输入,定义 为加速度误差系数,有,对于0型系统：,对于1型系统：,对于2型系统：,对于3型及以上系统：,可见: 1型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大； 2型系统可以跟踪抛物线输入。但具有与k有关的稳态误差,可用增加k的方法提高稳态精度； 3型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。,对于0型系统：,对于1型系统：,对于2型系统：,对于3型及以上系统：,类型 稳态误差系数 阶跃信号 斜坡信号 抛物线信号N kp kv ka ess=A/(1+kp) es
23、s =A/kv ess =A/ka0 k 0 0 A/(1+k) 1 k 0 0 A/k 2 k 0 0 A/k3 0 0 0 小结: 对角线上出现的稳态偏差具有有限值，对角线以上出现 的稳态偏差为，对角线以下出现的稳态偏差为零。 若要系统阶跃输入时无稳态偏差,须用1型及以上系统. 若要系统斜坡输入时无稳态偏差,须用2型及以上系统. 若要系统抛物线输入时无稳态偏差,须用3型及以上系统.,图3-17 例3-9的系统结 构图,G(s),解 方法一：从系统的类型角度看。由于系统为2型系统， 所以对阶跃信号和斜坡信号作用下的稳态误差均为零。对于抛物 线信号，则有,所以，系统的稳态误差为,例3-9 系统
24、如图3-19所示，求当输入信号 时的系统稳态误差。,方法二：从稳态误差定义的角度看。,方法三：从叠加原理的角度看。,设 由扰动引起的误差为：,3.5.3 扰动信号作用下的稳态误差,可得到扰动信号作用下的稳定误差为：,3.5.3 扰动信号作用下的稳态误差,系统总的稳定误差就等于扰动信号作用下引起的稳态误差essD和典型信号作用下引起的稳态误差essR的代数叠加，即,例3-10 某系统结构图如图3-19所示，当输入信号r(t)=1(t)，扰动信号d(t)=1(t)时，求系统总的稳态误差ess。,解 由于系统是一阶的，k1,k2均大于零，所以系统稳定。,当典型输入信号作用时，D(s)=0,R(s)=
25、1/s。则,当扰动输入信号作用时，D(s)=1/s,R(s)=0。则,总的稳态误差为,这说明：系统在扰动信号作用下的稳态误差与扰动作用点以前的k1有关，k1愈大，稳态误差愈小。,例3-11 系统如图3-19所示，已知典型输入信号r(t)=1(t),扰动信号d(t)=1(t).用一个待定的传递函数G1(s)来代替图3-19中的k1,找出消除系统在干扰信号作用下的误差为零时,G1(s)应具备的条件.,解 当典型输入信号作用时，D(s)=0,R(s)=1/s。则,当扰动输入信号作用时，D(s)=1/s,R(s)=0。则,现假设G1(s)=k1/s,则由图3-19看出，系统的稳定性将被破坏，系统变为不
26、稳定,故取G1(s)=k1(s+1)/s。 在满足系统稳定性的前提下，就可使系统在阶跃扰动信号作用下的稳态误差等于零。,为使阶跃扰动信号作用下系统的稳态误差等于零，则G1(s)中至少要有一个积分环节。,3.5.3 扰动信号作用下的稳态误差,这说明：扰动引起的稳态误差与扰动信号作用点和误差信号之间的积分环节数目有关，积分环节数目高，可以消除不同典型输入信号产生的稳态误差，但同时系统的稳定性会降低。,从前述可知： （1）在系统中增加前向通道积分环节的个数或增大开环增益,可减小系统的给定稳态误差； （2）增加误差信号到扰动作用点之间的积分环节个数或放大系数，可减小系统的扰动稳态误差。但一般系统的积分
27、环节不能超过两个，放大倍数也不能随意增大，否则将使系统暂态性能变坏，甚至造成系统不稳定。,3.5.4 减少稳态误差的措施,因此稳态精度与暂态性能、稳定性始终存在矛盾。在保证系统稳定的前提下，为实现提高稳态精度的目的，可采用以下措施：,（1）在增大开环增益和扰动作用点前系统前向通道增益k1的同时，附加校正装置，以确保稳定性。 （2）增加系统前向通道积分环节个数的同时，也要对系统进行校正，以防止系统失去稳定，并保证具有一 定的瞬态响应速度。 （3）采用复合控制。在输出反馈控制的基础上，再增加按给定作用或主要扰动而进行的补偿控制，构成复合控制系统。,时域分析的概念 典型输入信号 时域响应性能指标 一阶系统的响应 二阶系统的响应 系统的稳定性 稳态误差 稳态精度与系统动态指标和稳定性的矛盾,本章小结,本章作业：P56 3.2 3.5 3.8-3.10(3),
