1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 （120分钟 150分）,一、选择题(本大题共12小题,每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.给出下列语句: 桌面就是一个平面； 一个平面长3 m,宽2 m; 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合; 空间图形是由空间的点,线,面所构成的. 其中正确的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,【解析】选B.平面是不能定义的原始概念,具有无限延展性,无长度、厚度之分,空间中的点构成线、线构成面,所以四种说法中不正确.,2.（2010湛江模拟）已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是
2、( ) （A）1 （B）4 （C）1或3 （D）1或4 【解析】选D.当四点共面时，可形成平面四边形，确定一个平面.当四点不在同一平面内时，连接四点可形成四面体，可确定4个平面.,3.空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，则有( ) （A）平面ABC平面ADC （B）平面ABC平面ADB （C）平面ABC平面DBC （D）平面ADC平面DBC 【解析】选D.ADBC，ADBD， AD面BCD,又AD平面ADC， 面ADC面BCD.,4.若ab,a,b,则( ) （A） （B）b （C） （D）a 【解析】选C.ab,a,b, ab,b,在内有与b平行的直线，设为c， 又b,c,又c，.,
3、5.在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH相交于点P，那么( ) （A）点P必在直线AC上 （B）点P必在直线BD上 （C）点P必在平面DBC内 （D）点P必在平面ABC外,【解析】选A.EFGH=P, PEF，又EF面ABC， P面ABC, 同理PGH，P面ACD, P在面ABC与面ACD的交线AC上.,6.下面四个命题： 若直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面； 若直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交； 若直线ab，bc，则abc； 若直线ab，则a，b与直线c所成的角相等. 其中真命题的个数是( ) （A）4 （B）3 （C）2
4、（D）1 【解析】选C.中a与c可能异面、相交或平行； 中a与c可能异面、相交或平行； 是平行公理；显然正确.故正确.,7.（2010广州高一检测）如图， 长方体ABCD-A1B1C1D1中，DAD1=45, CDC1=30，那么异面直线AD1与 DC1所成角的余弦值是( ) （A） （B） （C） （D）,【解题提示】由已知的两个角建立长方体的长、宽、高的关系解三角形时由三角形的特征选择合理的解法. 【解析】选A.如图，连结BC1，BD， C1D1 AB, 四边形ABC1D1为平行四边形， AD1 BC1, BC1D为AD1与DC1所成的角， 设DD1=a,DAD1=45,AD=a,AD1=
5、 a,C1DC=30, DC= CC1= a,C1D=2a, 在ABD中易得BD= =2a, 在BC1D中，BD=2a,C1D=2a,BC1= a, BC1D为等腰三角形，取BC1中点O并连DO， 则DOBC1, 在RtODC1中，OC1= BC1= a,C1D=2a, cosOC1D=,8.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1 中,BAC=90,BC1AC,若过C1作 C1H平面ABC,垂足为H,则点H一定 在( ) （A）直线AC上 （B）直线AB上 （C）直线BC上 （D）ABC的内部 【解析】选B.BAC=90,BAAC. 又BC1AC, AC面ABC1,面ABC面ABC1, 面A
6、BC面ABC1=AB, C1在面ABC上的射影在AB上.,9.（2010龙岩高一检测）如图，平行四边形ABCD中，ABBD,沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解题提示】根据面面垂直，推出线面垂直，再找出所有互相垂直的平面.,【解析】选C.折叠后，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD,ABBD,AB 平面ABD， AB平面BCD，AB 平面ABC， 平面ABC平面BCD， ABBC, 同理CDBD,CD平面BCD， CD平面ABD， 又CD平面ACD，平面ACD平面ABD
7、， 互相垂直的平面有：平面ABD平面BCD，平面ABC平面BCD，平面ACD平面ABD共3对.,10.异面直线a与b分别在平面，内，与交于直线l，则直线l与a,b的位置关系一定是( ) （A）l至少与a,b中的一条相交 （B）l至多与a,b中的一条相交 （C）l至少与a,b中的一条平行 （D）l与a,b都相交【解题提示】用反证法推导. 【解析】选A.若a,b与l都不相交, a,l共面，b，l共面，al，bl, ab与a,b异面矛盾, a,b都与l不相交不可能，故A正确.,11.在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是( ),【解析】选A.A中,CD平面AMB, CDAB;B中,AB与CD成
8、60角; C中，AB与CD成45角; D中，AB与CD成角的正切值为 .,12.三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不 成立的是( ) （A）BC平面PDF （B）DF平面PAE （C）平面PDF平面ABC （D）平面PAE平面ABC,【解析】选C.BCDF, BC平面PDF，A正确； BCPE，BCAE， BC平面PAE. 又DFBC，DF平面PAE，B正确. BC平面PAE，BC平面ABC， 平面PAE平面ABC，D正确.,二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中
9、， AB=BC=1，ABBC.若二面角C1-AB-C 的大小为60，则三棱柱的体积 为 _.,【解析】三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， BB1平面ABC， BB1AB. 又ABBC，AB平面BCC1B1， ABBC1，C1BC为二面角的平面角， C1BC=60，CC1=BCtan60= , V三棱柱= ABBCCC1= 11 = . 答案:,14.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是 _.【解题提示】按正方体的棱和面对角线归类. 【解析】正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应
10、着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个. 答案:36,15.如图，四棱锥S-ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，E是SA上一点， 当点E满足条件：_时，SC平面EBD.,【解析】当E是SA的中点时,连接EB，ED，AC， 设AC与BD的交点为O，连接EO. 四边形ABCD是平行四边形， 点O是AC的中点. 又E是SA的中点，OE是SAC的中位线. OESC. SC平面EBD，OE平面EBD， SC平面EBD. 答案:E是SA的中点,16.对于四面体ABCD,给出下列四个说法: 若AB=AC,BD=CD,则B
11、CAD; 若AB=CD,AC=BD,则BCAD; 若ABAC,BDCD,则BCAD; 若ABCD,BDAC,则BCAD. 其中正确的序号是 _(写出所有正确的序号).,【解析】中取BC中点M,则AMBC. DMBC,BC平面AMD. BCAD.故正确. 中,如图,当AB=CD= , AC=BD= .AD=1时, BAD=CDA=90,而BC长度不定, BC与AD不一定垂直,不正确.,中将两个非等腰的三角板的斜边对在一起,如图，A=90,D=90.显然BC与AD不垂直,故不正确.,中，如图设AO面BCD于O，则AOCD.又ABCD，CD面ABO，CDBO. 同理可得BDCO, O为BCD的垂心，
12、DOBC. 又AOBC，BC面AOD， BCAD.故正确. 答案:,三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10分）如图所示，将边长为a 的正方形ABCD沿对角线BD折成二面 角A-BD-C，使AC=a,求证：平面 ABD平面CBD.,【证明】设原正方形的对角线AC和BD交于点O，则折叠后仍有AOBD，COBD， AOC是二面角A-BD-C的平面角. AC=a,AO=CO= a,AC2=a2=AO2+CO2, AOC=90,二面角A-BD-C是直二面角， 即平面ABD平面CBD.,18.（12分）如图所示,空间四边 形ABCD中,E,F,
13、G,H分别是AB,BC, CD,DA上的点,且满足 (1)求证:四边形EFGH是梯形; (2)若BD=a,求梯形EFGH的中位线的长.,【解析】（1）因为 所以EHBD,且EH= BD.因为 所以FGBD,且FG= BD. 因而EHFG,且EH= FG,故四边形EFGH是梯形. (2)因为BD=a,所以EH= a,FG= a,所以梯形EFGH的中位线的长为 (EH+FG)= a.,19.（12分）(2010聊城模拟)多面体P-ABCD的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点. (1)求证：PA平面EFG； (2)求三棱
14、锥P-EFG的体积.,【解析】(1)方法一：如图，取AD的中点H，连结GH，FH. E、F分别为PC、PD的中点， EFCD. G、H分别为BC、AD的中点， GHCD. EFGH. E、F、H、G四点共面. F、H分别为DP、DA的中点，PAFH. PA平面EFG，FH平面EFG， PA平面EFG.,方法二：E、F、G分别为PC、PD、BC的中点. EFCD,EGPB. CDAB,EFAB. PBAB=B,EFEG=E, 平面EFG平面PAB. PA平面PAB，PA平面EFG.,(2)由三视图可知，PD平面ABCD， 又GC 平面ABCD，GCPD. 四边形ABCD为正方形，GCCD. PD
15、CD=D,GC平面PCD. PF= PD=1，EF= CD=1， SPEF= EFPF= . GC= BC=1, VP-EFG=VG-PEF= SPEFGC= 1= .,20.（12分）如图，已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.设M，N分别是A1B1，BC的中点. (1)求MN与A1C1所成角的正切值； (2)求DB1与A1C1所成的角.,【解析】(1)取B1C1的中点Q，连接MQ， 则MQA1C1， MQ与MN所成的角即为MN与A1C1所成的 角. 连接QN，在RtMNQ中，QN=a,MQ= a, tanNMQ= = ， 即MN与A1C1所成角的正切值为 .,(2)连接B1D.
16、A1C1B1D1,DD1平面A1B1C1D1， A1C1平面BDD1B1，A1C1DB1， DB1与A1C1所成的角为90.,21.（12分）（2010个旧高一检测） 如图，平面ABCD平面ABEF，ABCD 是正方形，ABEF是矩形，且AF= AD=a,G是EF的中点, (1)求证：平面AGC平面BGC; (2)求GB与平面AGC所成角的正弦值.,【解析】(1)正方形ABCD CBAB, 面ABCD面ABEF且交于AB， CB面ABEF，AG,GB 面ABEF， CBAG,CBBG, 又AD=2a,AF=a,ABEF是矩形，G是EF的中点, AG=BG= a,AB=2a,AB2=AG2+BG
17、2,AGBG, BCBG=B,AG平面CBG，而AG 面AGC，故平面AGC平面BGC.,(2)由(1)知面AGC面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BHGC,垂足为H，则BH平面AGC， BGH是GB与平面AGC所成的角， 在RtCBG中， = ,又BG= a, sinBGH=,22.（12分）（2010北京高考）如图， 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 互相垂直，CEAC，EFAC，AB= ， CE=EF=1. (1)求证：AF平面BDE； (2)求证：CF平面BDE； (3)求二面角A-BE-D的大小.,【解析】（1）设AC与BD交点为G. 因为EFAG，且EF=1， AG=
18、AC=1， 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AFEG. 因为EG平面BDE，AF平面BDE， 所以AF平面BDE.,(2)连接FG， EFCG，EF=CG=1， 四边形CEFG为平行四边形， 又CE=EF=1，CEFG为菱形. EGCF. 在正方形ABCD中，ACBD. 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直， BD平面CEFG. BDCF. 又EGBD=G，CF平面BDE.,(3)设FC与EG的交点为K. 在平面ACEF内，过A作AHEG，垂足 为H，连接HB. 则AHCF. AH平面BDE， AHBE，AHBH. 又面ABCD面ACEF，CEAC， CE面ABCD，CEAB.,又ABBC，BCCE=C, AB面BCE， ABBE. BE面ABH. BEBH. ABH为所求的二面角A-BE-D的平面角. 由AH=FK= ，AB= 得 sinABH= ABH为锐角，ABH= .,本部分内容讲解结束,
