1、2 极坐标系,2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角坐标的互化,一,二,一、极坐标系的概念 1.极坐标系的建立 如图1,在平面内取一个定点O,叫作极点,从O点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.,一,二,2.点的极坐标的规定 (1)如图1,对于平面内任意一点M,用表示线段OM的长,表示以Ox为始边、OM为终边的角度,叫作点M的极径,叫作点M的极角,有序实数对(,)叫作点M的极坐标,记作M(,). 当点M在极点时,它的极径=0,极角可以取任意值. (2)为了研究问题方便,极径也允许取负值.当0时,点M
2、(,)的位置可以按下列规则确定:作射线OP,使xOP=,在OP的反向延长线上取一点M,使|OM|=|,这样点M的坐标就是(,),如图2所示.,一,二,名师点拨建立极坐标系的要素是极点、极轴、单位长度、角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角的始边是极轴,它的终边随着的大小和正负而取得不同的位置;的正方向通常取逆时针方向,的值一般是以弧度为单位的量数;点M的极径表示点M与极点O之间的距离|OM|,因此0,但必要时,允许0.,一,二,二、点的极坐标与直角坐标的互化 1.互化的前提条件 如图,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作
3、为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度.,一,二,2.互化公式 设点M是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:在一般情况下,由tan 确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.,一,二,名师点拨将直角坐标化为极坐标时确定和的值的方法 由2=x2+y2求时,不取负值.由tan = (x0)确定,当x0时,角根据点(x,y)所在的象限取最小正角.当x=0时,tan 没有意义,这时又分三种情况:(1)当x=0,y=0时,可取任何值;(2)当x=0,y0时,可取=,一,二,做一做1 点P的直角坐标为
4、( ),则它的极坐标可表示为( ),答案：B,一,二,做一做2 在极坐标系中,极坐标 化为直角坐标为( ) A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(-1,-1),答案：D,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)任意一个点都有唯一的极坐标. ( ) (2)若1+2=0,1+2=,则点M1(1,1)与点M2(2,2)关于极点对称. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,极坐标系中点的表示 【例1】 在极坐标系中,作出以下各点:,解：如图,A,B,C,D四个点分别是唯一确定的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟由极坐
5、标确定点的位置的步骤 1.取定极点O. 2.作方向为水平向右的射线Ox为极轴. 3.以极点O为顶点,以极轴Ox为始边,通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的终边. 4.以极点O为圆心,以极径为半径画弧,弧与极角终边的交点即是所求点的位置.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 在同一个极坐标系中,画出以下各点:,解：如图.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对称性问题 【例2】 在极坐标系中,点A的极坐标是 ,则 (1)点A关于极轴对称的点的极坐标是 ; (2)点A关于极点对称的点的极坐标是 ; (3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标是 .(限定0,02) 解析：如图
6、,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意:极角是以x轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟在极坐标系中,点(,)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(,2k-)(kZ),关于极点对称的点的极坐标为(,+2k)(kZ),关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(,2k+-)(kZ).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 已知极坐标系中(限定0,02), ,则点A关于射线OP的对称点的极坐标为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,点的极坐标与直角坐标的互化 【例3】 (1)分别将下列点的直角坐标化为极坐标
7、(0,02):,分析：直接利用点的直角坐标和极坐标的互化公式进行转化.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件:(1)极点与直角坐标系的原点重合;(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;(3)两种坐标系的单位长度相同. 2.将点的极坐标(,)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键. 3.将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)时,运用公式,时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许R
8、,再根据终边相同的角的意义,表示为+2k,kZ即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 (1)直角坐标为(-,)的点的极坐标为 (限定0,02). (2)已知点M的极坐标为(5,),且tan =- ,则点M的直角坐标为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,x=5cos =-3,y=5sin =4. 点M的直角坐标为(-3,4).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因未正确理解点的极坐标表示而致误 典例导学号已知点A的极坐标是 ,则使0,-10-6的极坐标是什么?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得在极坐标系中,极坐标(,)与(,+2k)(kZ)表示同一个点;极坐标(,)与
9、(-,+(2k+1)(kZ)表示同一个点.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 在极坐标系中,下列各点中与 不表示同一个点的是( ),答案：C,1 2 3 4 5,1.在极坐标系中,与点 关于极点对称的点的一个坐标是( ),答案：A,1 2 3 4 5,解析：如图,由题设,可知A,B两点关于极点O对称,即点O是AB的中点. 又|AB|=4,ABC为正三角形,答案：B,1 2 3 4 5,3.在极坐标系中,已知直线l过点A ,则直线l与极轴所在直线的夹角等于 .,1 2 3 4 5,4.已知点A的极坐标是 ,则 (1)点A在0,(-2,0)条件下的极坐标是 ; (2)点A在0,(2,4)条件下的极坐标是 .,1 2 3 4 5,5.已知极点在直角坐标(2,-2)处,极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中,点M的极坐标为 ,求点M在直角坐标系中的坐标.,
