1、致遠管學院 網通訊學系 九十學專題計劃書 題目 使用 MATLAB 模擬分析巴特渥斯位波器 學生 ： 秉鏞 9411104069 陳柏瑋 9411104102 楊璨檣 9411104106 指導師：蕭開 助教授 中華民國九十七三月一日 1目 摘 要 3 一、 前言 3 二、 研究背景及動機 4 三、 計劃目的 4 四、 需求環境 5 五、 研究方法及步驟 6 、 小組成員分工表 6 七、 預定(按月)進表7 八、 計劃配合事項及限制 8 九、 範明 8 十、 考文獻 10 2摘 要 本項專題主要是以位訊號處為主 ， 針對巴特渥斯比與位波器，用轉換函的選擇是透過特定的波器結構 ， 從一組設計規格
2、到實現轉換函的轉變步驟進分析。巴特渥斯波器設計具有個最佳化準則 (1)最大平坦振幅響應 及 (2) 等幅波振幅響應，而可獲得波器的優性能。波器的設計有多種同的方法 ， 本文所探討為首先為比方法 ， 應用於比波器 。 然後針對所指定的頻響應 (含振幅響應 、 相位響應 )， 透過有轉換函取得近似 ， 另外針對同階之波器進分析。藉由 (1)脈衝變轉換法 (2)雙線性轉換法等種轉換方式，將續性訊號轉換為使用 Z-轉換的散系統。本項專題研究之主要方法 ， 充份使用電腦軟硬體設備 ， 完成值模擬 ， 將相關之通信計算問題，逐一使用 MATLAB 軟體進分析計算，並獲得正確之計算結果，對於通信之提供一正確
3、模擬的功能，並有助於相關之研究需求。 關健字 : 巴特渥斯波器、 Z-轉換、 MATLAB 一、 前 言 巴特渥斯波器廣泛的使用在語音處 的實現上 。 因為在語音分析 及語音合成上具有較優之處能 ， 然 而其學模型之分析可藉由 一組轉移函描述 ， 或者可以用其振幅響應 、 相 位響應描述 。 經 由相關文獻 Ma et al. 1 應用於電訊號分析， Romero et al. 2 從事於梯波器之測試， Gordon et al. 3進減幅波器設計及分析其響應， Alarcon et al. 4 則用三極巴特渥斯比波器進心電圖訊號之研究。本文之研究演算法 5，首先使用普斯變換，從正規化的古典比
4、低通波器比 開始，預先扭曲截止頻 ， 所以對於其他頻選擇性的波器也適用 ， 如高通 、 帶通及帶 止波器 。 進有關之比頻轉換 ， 設 計具徑截止頻於同階 的低通巴特渥斯波器 ， 是從正規化巴 特渥斯低通波器開始 ， 並 用截止頻及波器階 置換為 s 函式 。 這是頻 轉換的 一個子。使用同樣方法 ， 可以將正規化低通波 器 ， 轉換到其他型態的頻 選擇性波器 。 最 後 ， 在系統輸出端的重建波器產生續時間訊號 ，代表原始輸入訊號 經過波的結果 。 本 文中並用 MATLAB 軟體將其結果計算分析6，並將結果以圖形 繪出，以供考比較。而經由考文獻 1-5並對相關研究 作一綜合整與討，本文之研
5、究演算法首先使用普斯變換 ， 其次將其位 化 ， 使其成為位波器並 用計算 (computation)執續時間訊號的波動作。設計頻選擇波器，用將續時間訊號 ()x t 轉換成對應的 。位xn3波器在一取樣點的基礎上處 產生新的 ，新的隨後透過位到比( D/A)轉換器，轉成對應的續時間訊號。最後，在系統輸出端的重建波器產生續時間訊號 ，代表原始輸入訊號xn ynyt()x t 經過 波的結果 。本文藉 由(1)脈衝變轉 換法 (2)雙線性轉換法等種轉換方式，將續性訊號轉換 為使用 Z-轉換的散系統。 二、 研究背景及動機 設計頻選擇波器，用將續時間訊號 ()x t 轉換成對應的。位波器在一取樣點
6、的基礎上處 產生新的， 新的隨後透過位到比(D/A)轉換器 ， 轉成對應的續時間訊號。最後，在系統輸出端的重建波器產生續時間訊號 ，代表原始輸入訊號xn xnynyt()x t 經過波的結果。本文藉由(1)脈衝變轉換法(2)雙線性轉換法等種轉換方式 ， 將續性訊號轉換為使用 Z-轉換的散系統，本文中並用 MATLAB 軟體將其結果計算分析，並將結果以圖形繪出，以供考比較。 三、計劃目的及內容 在 訊號處 運算中常出現一的複雜 運算也容使人計算錯誤，重新驗證必須花費大的時間，為計算 的方與正確，使用MATLAB 撰寫程式會使得在運算上節少的時間，也因此這樣 我們專題製作主要範圍是要以常使用在工程
7、上的 學運算上去發展，如 ； 線性代 、 多 項式的求解 、 機 的計算等 ， 研 究出多的程式功能讓使用者方運算。 K 階 巴特渥斯函(Butterworth fun ction of order K)定義如 221| ( ) | , 1,2,3,1kcHj K=+(1) 而 依 此 設 計 的 波 器 稱 為 K 階 巴 特 渥 斯 波 器 (Butterworth function of order K)。 (1)式 的近似 函 符合 |( )Hj | 必須為 的偶函的要求 。 c 是波器的截止頻(cutoff frequency)。 通帶與止帶個別的頻， 1/21Kpc=(2) 而且
8、41/ 21Ksc=(3) 針對四個同的階 K，用公式( 3)的近四函所得的平方振幅響應2|( )|Hj ， 作為正規化頻 /c 的函 。 所有這些取限於c = 處通過半功點 。 貫穿整個通帶與止帶的巴特渥斯函是單調的 。 尤其，在 0 = 的附近，我們可以將 (Hj) 的振幅展開為冪級： 2K 4Kcc13|H(j )| 128 = + 6Kc516(4) 這個方程式表示 |( )Hj | 對 的前 21K 個倒再原點上為。因此巴特渥斯函在 0 = 時確實是最大平坦的(maximally flat)。 為設計比波器 ， 我們需要知道轉換函 ， 這是個複變 s 的 函。已知巴特渥斯函()Hs2
9、|( )|Hj ，我們要如何找到相對應的的轉換函呢？為處這個問題，另()Hs js = 並且確認 2() ( )| | ( )|sjHsH s Hj= (5) 因此，設定 sj = ，我們可將(5)改寫成等價的形式 21() ( )1KcHsH ssj=+(6) 分母多項式的根位於 s 平面中的下各點： ( )12(1)Kcsj= = (2 1)/(2 )jk Kce+，當 k=0,1,2K-1 時 。 (7) 亦即，當 與 時，3K = 4K = () ( )HsH s 的極點在半徑c 的圓上形成 對稱 。 特別注意 ， 對 於任何 K 直 ， 沒有任何極點於 s-平面的虛軸上。這些 2K
10、個極點中有哪些屬於 ？對於兼具穩定性與因果性的波器，其轉換函 的極點必定會位於 s 平面的左半面。因此，的那些位於左半 s 平 面中的 K 個極點屬於 ，而剩下位於右半面的極點屬於 。所以，當 穩定時， 穩定。 ()Hs()Hs() ( )HsH s ()Hs()Hs ()Hs ()Hs四、需求環境： （一） 硬體設備 : 1. 個人電腦。 2. PentiumIII or AMD Athlon 處器。 3. Windows 95 作業系統 。 記憶體要求 ： 建議使用記憶體 1GB。 （二） 軟體： MATLAB 7.0 應用軟體。 （三） Office 軟體 。 5（四） Math Typ
11、e 軟體 。 五研究方法與步驟 （一） 收集 訊號處 相關資訊。 （二） 定訂專題題目 使用 MATLAB 模擬分析巴特渥斯位波器 。 （三） 整通訊資訊。 （四） 本項研究軟體決定使用 MATLAB7.0。 （五） 設計通訊題題目。 （） 與指導師討題公式。 （七） 把題目的公式轉換成 MATLAB 程式。 （八） 與指導師討公式計算所遇到的問題。 （九） 變題據，並用 MATLAB 程式驗證公式的正確性與多元 性。 （十） 專題 使用 MATLAB 模擬分析巴特渥斯位波器 總整。 （十一） 專題 使用 MATLAB 模擬分析巴特渥斯位波器 排版。 （十二） 修改排版校正。 （十三） 送指導
12、師預覽及修訂。 （十四） 印刷專題書面成果。 小組成員分工表 小組成員 工作項目 工作進 秉鏞 1/3 專 題內容 資蒐集與程式撰寫 陳柏瑋 1/3 專 題內容 資蒐集與程式撰寫 楊璨檣 1/3 專 題內容 內容研與報告撰寫 6七、預定(按月)進表 月份 進項目 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 蒐集資 軟體基本操作與實務 訊號處基本原與運用 擬定計畫書與書面口頭報告 撰寫通訊系統方程式 方程式的推導與驗證 撰寫專題文 發表專題文與成品展示 7八、計畫配合事項及限制 （一） 必須先解 MATLAB 基本操作並學習撰寫程式。 （二） 必先將相關原先懂，再求公式之推導。 （三）
13、 全體成員請負責分配之工作。 （四） 打工的同學請用假日做。 九、範明 : 題 1.考表(1)計算同階巴特沃斯低通波器的脈衝反應。 10110010115010050050Frequency w (rad)Amplitude |H(w)|(dB)n=1n=2n=3n=4n=5n=61011001016004002000Frequency w (rad)Phase H(w)(degree)圖 1. 同階巴特沃斯低通波器的脈衝反應 題 2.考表(2)計算三階巴特沃斯(Butterworth)低通波器的低通、高通 、 帶 通 、 帶止波器的波德圖顯示其頻與振幅及相位之關係 。 考慮設計比高通 、 帶
14、 通 ， 或帶止波器的問題 。 假設所需的截止頻為 =4Hz 及 =6Hz。 求其轉換後之波器之比頻響應。 0F1F8302520151050Magnitude (dB)10010127022518013590450Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)圖 2. 3 階巴特沃斯低通波器的比頻與振幅及相位之關係 6050403020100Magnitude (dB)10010136027018090Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)圖 3. 3 階巴特沃斯高通波器的比頻與振幅及相位之關係 910080
15、6040200Magnitude (dB)1001013601800180360Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)圖 4. 3 階巴特沃斯帶通波器的比頻與振幅及相位之關係 80706050403020100Magnitude (dB)100101360270180900Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)圖 5. 3 階巴特沃斯帶止波器的比頻與振幅及相位之關係 十、考文獻 1 Hong-Guang Ma, Xiao-Fei Zhu, Jian-Feng Xu and Ming-Shun Ai, C
16、ircuit state analysis using chaotic signal excitation, Journal of the Franklin Institute, In Press, Corrected Proof, Available online 5 July 2007 2 Eduardo Romero, Gabriela Peretti, Gloria Huertas and Diego Vzquez, Test of switched-capacitor ladder filters using OBT, Microelectronics Journal, Volume
17、 36, Issue 12, December 2005, Pages 1073-1079 3 D. Gordon E. Robertson and James J. Dowling, Design and responses of 10Butterworth and critically damped digital filters, Journal of Electromyography and Kinesiology, Volume 13, Issue 6, December 2003, Pages 569-573 4 G. Alarcon, C. N. Guy and C. D. Binnie, A simple algorithm for a digital three-pole Butterworth filter of arbitrary cut-off frequency: application to digital electroencephalography, Journal of Neuroscience Methods, Volume 104, Issue 1, 15 December 2000, Pages 35-44 5 訊號與系統,洪維堯等譯,全華圖書公司 6 MATLAB 7 在工程上的應用,王晉中等譯,高圖書公司 11
