1、计算机研究与发展 Journal of Computer Research and Development ISSN 10001239|CN 1 11777|TP 43(7)：11421148，2006 一种边际效用递减组合拍卖的胜者决定算法 金 津 石纯一 (清华大学计算机科学与技术系 北京 100084) (jinxingcnibmcom) A Winner Determine Algorithm for Combinatorial Auctions with Decreasing Marginal Utilities Jin Xing and Shi Chunyi (Department
2、 of Computer Science and Technology，Tsinghua UniversityBeijing 100084) Abstract Auctions are important mechanisms for resource and task allocation in multiagent svstems (MAS)Auction methods have explicit rules，require less agent abilities and achieve fast and efficient mutual agreementsIn most micro
3、economic theories，consumers are assumed to exhibit decreasing marginal utilitiesAimed at the CAP in combinatorial auction with decreasing marginal utilities，the lUNT(1 unit cannot transfer)condition and kUNT(k unit cannot transfer)condition of allocations are presentedA 1一 UNT check based iterative
4、algorithm is developedThe result of 1-UNT check based algorithm is proved with the effective rate of at least 05Experiment study shows that the combination of 1-UNT algorithm and greedy algorithm can achieve better allocation in less timeA kUNT check based algorithm is also presented proving that ev
5、en in the simple case of CAP of 2 buyers，the kUNT check based algorithm can not guarantee higher effective rate of 05The 1-UNT check based algorithm partially improves the work of Benny Lehmann Key words multiagent system；resource allocation；combinatorial auction 摘要作为一种协商手段，拍卖方法是多Agent系统(MAS)的重要问题之一
6、，组合拍卖是其中的研究 热点提出了物品分配方案的kUNT条件，并给出了一种基于lUNT检查的求边际效用递减组合拍 卖的近似算法，证明了1-UNT算法的解的效用率不低于05实验表明，将1-UNT算法和贪心算法结 合可在较短的时间内求得较优解还给出了基于kUNT检查的胜者决定算法，证明了即使在2人组合 拍卖的简单情况下，基于kUNT检查的胜者决定算法都不可能保证解的效用率大于051-UNT算法 部分改进了Lehmann等人的工作 关键词多Agent系统；资源分配；组合拍卖 中图法分类号TP18 1 引 言 资源分配是多Agent系统(MAS)中的重要问 题在MAS环境中分配资源时，资源提供方(卖方
7、) 收稿日期：2005 05 24；修回日期：2005 11 02 基金项目：国家自然科学基金项目(60373079，60496323) 希望以尽可能高的价格卖出资源，资源需求方(买 方)希望以尽可能低的价格获得资源，而站在整个系 统性能的立场上考虑，则希望尽可能合理的分配资 源，即将资源分配给最需要它的Agent拍卖作为 一种快速有效的资源分配方法，可操作性强，可使资 维普资讯 http:/ 金 滓等：一种边际效用递减组合拍卖的胜者决定算法 源在短时间内被合理分配，获得系统范围内的最优 解或较优解 当卖方要拍卖多个物品，这些物品之间又存在 互补性和可替换性时，单物品串行拍卖和并行拍卖 都不能
8、保证达到总效用最大，这导致资源分配的不 合理根据单物品拍卖的这一缺陷，1982年提出了 组合拍卖，并在20世纪90年代后成为拍卖领域的 研究热点l1 组合拍卖有很多应用背景，例如机 场起飞降落时间分配l1 、分布式任务分配问题【J、 工厂调度问题l1 J等 组合拍卖中卖方将若干个不同的物品同时拍 卖，买方对每个物品组合有其自身认定的估价值，并 允许买方对物品组合进行叫价当每个买方对每个 物品组合叫价后，卖方需要找到一个使总效用尽可 能大的物品分配方案，这是组合拍卖的一个基本问 题，也称做CAP(combinatorial allocation problem)或 wDP(winner dete
9、rmine problem) J求解CAP的算 法称为胜者决定(WD)算法，已经证明求最优解的 胜者决定算法为NP复杂度针对这一算法的复杂 性，Tennenholtz将买方对物品的估价函数和叫价做 了几种限制，使得在每一种限制下，求最优解的物品 分配算法都能在多项式时间内完成l9 J但是买方估 价函数一般不满足Tennenholtz的假设，这使得 Tennenholtz的方法仍然无法应用于实际的问题 在很多微观经济学理论中，假设消费者的边际 效用是递减的，而Agent往往也满足这样的假设， Lehmann等人将这个假设引入组合拍卖，并提出了 一种多项式复杂度的近似算法ll J，可保证近似解的
10、结果不差于最优解的12但是Lehmann等人的算 法等价于串行拍卖，即将组合拍卖的若干物品依次 进行单物品拍卖，回避了组合拍卖的根本问题本 文针对边际效用递减的组合拍卖，对胜者决定算法 做进一步的研究 2模 型 21组合拍卖模型 组合拍卖模型M=(B，S，G，V，A)，其中： 1)B为买方集合，包含 个买方，B=1， 2)S为组合拍卖中惟一的卖方 3)G=z -，z 为物品集合，力=2 ，CE力 表示物品组合， 中只包含单个物品的物品组合也 用z，v，z表示 4)V=(V 一，V )，其中V ：nR为买方i 的物品组合估价函数( 为实数集合)，即买方i对 物品组合c的估价值为Vi(C)估价函数
11、V 应同 时满足 V ( )=0(无物品则无价值) 和对VC1 C2 G， V (C2)V (C。)(物品可无代价地丢弃) 5)A：(A 一，A )为物品分配方案，是G的 一个划分，即物品分配方案满足 =G，且i 时A n A，= ， 所有物品分配方案组成的集合记为AlcCAP本质 上就是Alc空间内的搜索问题 定义1物品分配方案A的效用和效用率分别为 U(A)= V (A ) 和 eff(A)= ， 其中A 为最优物品分配方案，有 U(A )：max(U(A) 22边际效用递减的组合拍卖 Agent与微观经济学中的个体具有一些相同的 假设，如自利性、有限理性等，这使得微观经济学中 的方法一直
12、受到MAS研究者的重视认为买方的 物品估价函数满足边际效用递减法则，是微观经济 学中被广泛接受的观点Lehmann等人将这个假设 引入组合拍卖中，并针对组合拍卖做了形式化的描 述 定义2对于买方i的估价函数V ，C ，c2力 为物品组合，且C。n C2= 买方i在C。下对C2 的边际效用 V (C2 J C1)=V (C2 U C1)一V (C1)， 当C2=z为单物品集合时，在不至于混淆的情况 下，可将V (C2 l C。)写做V (z l C。) 定义3称买方i的物品组合估价函数V 是边 际效用递减的，当且仅当对VC ，C2E n，C C2， Vz E GC2，有 V (z J C1)Vi
13、(z J C2)， 即估价函数 对物品z的边际效用随着已有物品 的增加而减小 估价函数 满足边际效用递减条件，和以下3 个条件中的任意一个等价l1 J： 1)对Vz，YE G，CE n，有V (z I C)V (z I 维普资讯 http:/ 维普资讯 http:/ 金 滓等：一种边际效用递减组合拍卖的胜者决定算法 1145 42基于1-UNT检查的胜者决定算法 算法1基于1-UNT检查的胜者决定算法(简 称1-UNT算法) Step1任意选定初始分配方案A Step2对A进行1-UNT检查 Step3若A满足1-UNT，则找到 E G，J E B，使U(T(A， ，J)U(A)，则令A=T(
14、A， ， J)，转Step2 Step4A满足1-UNT，是边际效用递减组合拍 卖的近似解 43效用的下界 引理1物品分配方案A满足1-UNT，等价于 对V ，V A ，有 ( l A ) ，( l A，) 证明设 E A，则 U(T(A，32，J)U(A)V (A )+ ，(A，) (A 一 )+ ，(A，U ) (A )一 (A 一 ) ，(A，U )一 ，(A，) ( J A ) ，( l A，) 证毕 定理1在边际效用递减的组合拍卖中，对满足 1-UNT的物品方案A，有 eff(A)05 证明令S =A n A，则对V忌B， (A )=Vk(U s ) (U S ，)U(U S )=
15、(U S ，)U(U S )= (U S ，)U A )= JB，J女 (A女)+ ( U s女，l A女) (A女)+ (S幻J A女) JB，J女 (A女)+Vk(x l A女)， ，B-，kzs A满足1-UNT，又 E S女， A，故根据引理1， ( l A女) ，( l A，一 )， 于是 (A )+ ( l A ) JB，J女z (A )+ ( l A 一 ) iB、ikzs Vk(A女)+ ( l A 一s ) iB、，kzs V女(A女)+ (s幻l A 一s幻)， iB。ik 得 (A )Vk(A女)+ (s l AJs旬)， 所以 U(A )= (A；)Vk(A女)+ (S
16、旬l A 一S旬) (A女)+ (S幻l A 一s旬)Vk(A女)+ B ， (s幻 fJ) ， 女,k U 七0- U - 于 SB B Vk(A )+ (A l ) 2 (A )一 ( )= B JB 2U(A女)一 (SJJ)2U(A女)， JB 所以 eff(A)= 05 证毕 根据定理1可知1一UNT算法的解A的效用率 不低于05 44与贪心算法的比较 贪心算法和1-UNT算法的解的效用率具有相 同的下界但1-UNT算法的初始分配方案可以任 意选择，使算法具有一定的灵活性贪心算法不能 保证其结果满足1-UNT检查，于是可以将贪心算法 的结果作为1-UNT算法的初始分配方案，由1一 U
17、NT算法继续进行优化例1说明了这一点 例1在边际效用递减组合拍卖中，B=1，2， G= 1， 2， 1( 1)=11，V1( 2)=13，V1( 1， 2)=13， 2( 1)=10，V2( 2)=1，V2( 1， 2)=11 应用贪心算法求解，先分配物品 ，V ( )= 11V2( 1)=10，故将 1分配给买方1，再分配物 品 2，由于V1( 2 I 1)=2V2(z2)=1，故将 2 也分配给买方2贪心算法的解 A=( 1，z2， )， U(A)=V1( 1， 2)+ 2( )=13+0=13 将A=( l， 2， )作为1-UNT算法的初始 分配方案，可发现A不满足1-UNT，因为U(
18、T(A， 1，2)=U( 2， 1)=V1( 2)+ 2( 1)=10+ 13=23于是可将分配方案优化为A =( 2， )，u(A )=23事实上，A 是这个组合拍卖的 最优物品分配方案，即A ：A 因而 eff(A)=1323=565， eff(A )=2323=100 45 实验分析 为检验1-UNT算法的效用率与计算复杂度，将 维普资讯 http:/ 计算机研究与发展2006，43(7) 1一UNT算法与其他胜者决定算法做了比较实验采 用5个买方的边际效用递减组合拍卖模型，每个买 方的物品估价函数先随机生成，再做边际效用递减 化处理，物品组合的估价值用不超过1000的整数表 示参与比较
19、的有4个算法，分别是 1)CABOB目前速度最快的最优解胜者决定 算法 2)贪心算法一种针对边际效用递减组合拍卖 的近似算法 3)1一UNT算法(1)基于1一UNT检查的胜者 决定算法，初始分配方案随机生成 4)1一UNT算法(2)基于1一UNT检查的胜者 决定算法，采用贪心算法的结果作为初始分配方案 按物品数为8，12，16，44进行10组实验 对于CABOB算法，由于物品数目较大时运算时间 太长，故根据运算量每组取41000次的平均值 对于其余3个算法，取1000次的平均值实验结果 如图1和图2所示图中1一UNT算法(2)的时间包 含采用贪心算法生成初始分配方案的时间 1OO O98 O9
20、6 O94 O92 O9O O88 O86 O84 O82 O8O Fig1 The effective rate of the 4 winner determine algorithms 图1 4种胜者决定算法效用率的比较 Fig2 The computational complexity of the 4 winner determine algorithms 图2 4种胜者决定算法计算复杂度的比较 CABOB算法的效用率为1，贪心算法平均效用 率为0821一UNT算法(1)和1一UNT算法(2)的效 用率分别为091和094，明显高于贪心算法，由于 1一UNT算法(2)的初始分配方案较好
21、，因而1一UNT 算法(2)的平均效用率高于1一UNT算法(1) 贪心算法每次分配一个物品，需要将优个数排 序，时间复杂度为o(优lgm)所以贪心算法分配 个物品的时间复杂度为o( 优lgm) 1一UNT算法进行1一UNT检查时，若物品分配 方案满足1一UNT条件，则需要 (优一1)次比较；若 不满足1一UNT条件，则比较次数小于 (优一1)，平 均比较次数与可转移的物品分配方案数有关由于 1一UNT算法(2)是在贪心算法的结果上进行优化， 因而1一UNT算法(2)优化的轮数少于1一UNT算法 (1)，时间也少于1一UNT算法(1) 由于I I=优 ，故穷举法搜索最优物品分配方 案的时间复杂度
22、为o(优 )，CABOB采用了分支定 界法、优先展开、叫价分类等一系列加快搜索的技 术，使搜索空间大大缩小但随着物品个数的增加， CABOB需要搜索的空间仍呈指数增长 总的来说，1一UNT算法(2)在效用率和计算复 杂度两方面都优于1一UNT算法(1)1一UNT算法 (2)的运行时间略长于贪心算法，但效用率明显高于 贪心算法 5基于忌UNT检查的胜者决定算法 1一UNT算法是一种局部调整方法，在初始分配 方案的基础上，试着变动一个物品的所有者，检查是 否能够提高效用通过1一UNT检查的物品分配方 案的效用率的下界为05于是提出这样的问题，如 果试着同时变动任意k个物品的所有者都不能提 高效用，
23、这样的物品分配方案的效用率的下界能否 超过05本节将回答这个问题首先定义k-UNT 的基本概念 定义7对 1，zl，-z G，Jl，JB， T(A，(z1)，( 1)=T(A，zl，J1)， T(A，(zl，z)，(Jl，J)= T(T(A，zl，J1)，(z2，z)，( 2， ) 定义8物品分配方案A满足kUNT条件，当 且仅当不存在-zl，-z ，J1，J，使己，(T(A， (-zl，-z )，(Jl，J)己，(A) 物品分配方案满足kUNT的直观含义是任意 改变不超过k个物品的所有者，不可能提高物品分 配方案的效用 算法2基于kUNT检查的近似算法(简称 维普资讯 http:/ 金 滓等
24、：一种边际效用递减组合拍卖的胜者决定算法 1147 忌一UNT算法) Step1选定初始分配方案A Step2对A进行走一UNT检查 Step3若A不满足忌一UNT，则找到z1，z 和J 一，J ，使 U(T(A，(z1，z )，(J1，J )U(A)， 令 A=T(A，(z1，z )，( 1，J )， 转Step2 Step4A满足忌一UNT，是边际效用递减组合拍 卖的近似解 定理2对V忌1，都存在仅有两个买方的边际 效用递减组合拍卖，以及满足忌一UNT的物品分配 方案A，使eff(A)=05 证明考虑如下组合拍卖： 物品集合G=G1 U G2，其中G1=z1，z2， z2 ，G2= 1，
25、2， 2 买方B=1，2 买方1对物品组合C的估价值为v (C)= max(rain(1 C l，忌)，l C n G 1) 买方2对物品组合C的估价值为 (C)= max(rain(1 C l，忌)，l C n G，1) 首先验证组合拍卖满足边际效用递减条件对 于买方1，依定义3需要验证： VC1，C2 E Q，C1 C2，Vz E GC2，有 V1(z I C1)V1(z I C2)， (1) C1 C2 C1 n G1 C2 n G1 l(C1 n G1)Uzl_I C1 n G1 l l(C2 n G1)Uzl_l C2 n G1 l， 又有 C1 C2 l C1 Uzl_l C1 l
26、 l C2 Uzl_l C2 l， 所以 max(rain(1 C UzI，忌)， l(C1 n G1)UzI)一 max(rain(1 C1 l，l C1 n G1 1) max(rain(1 C2 Uzl，忌)， l(C2 n G2)Uz1)一 max(rain(1 C2 I，l C2 n G1 1)， 即V1(C1 Uz)一V1(C1)V1(C2 Uz) V1(C2)，也即 V1(z l C1)V1(z l C2) 故买方1的物品估价函数满足边际效用递减条件， 同理买方2的物品估价函数也满足边际效用递减 条件 因为V1(C)l C l，V2(C)l C l，所以对 VA， U(A)=V1
27、(A1)+V2(A2)l A1 l+l A2 l=4k 又 V1(G1)+V2(G2)=2k+2k=4k， 故最优分配方案A =(G1，G2)，U(A )=4k 考虑物品分配方案A=(A1，A2)=(G2，G1) 容易验证V1(A1)=V2(A2)=忌，而对VC，l C l 忌，V1(A1 U C)=忌，V2(A2 U C)=忌，即在物品分 配方案A的基础上给买方1或买方2增加任意不 超过忌个物品，都不能增加其估价值，故A满足 忌一UNT但U(A)=V1(A1)+V2(A2)=忌+忌= 2k，eff(A)=2k4k=05 证毕 定理2说明忌一UNT算法不能保证找到超过 eff(A)05近似解显
28、然，当忌1忌2时，满足 忌】一UNT条件的物品分配方案必然满足忌2一UNT条 件，所以1一UNT算法的结果可能通过忌一UNT算法 进一步优化，而1一UNT算法不能对忌一UNT算法的 结果进行优化从这个角度说，忌一UNT算法的结果 优于1一uNT算法，但付出的代价是复杂度的增加 6 小 结 用胜者决定算法求解CAP是组合拍卖中的基 本问题，而求CAP的最优解是NP问题，于是一些 学者转向研究求解CAP的较优解本文提出了物品 分配方案的忌一UNT条件，并给出了一种基于 1一UNT检查的近似算法，可对任意不满足1一UNT 条件的物品分配方案进行局部调整，直至满足 1-UNT条件同时证明了1一UNT算
29、法的解的效用 率不低于05，与Lehmann等人的贪心算法效用率 的下界相同举例说明了贪心算法的解不能保证满 足1一UNT条件，1一UNT算法可将贪心算法的解进 一步优化将1一uNT和贪心算法以及最优解算法 CABOB做了实验比较，实验结果表明1一uNT算法 的效用率明显高于贪心算法，而运算时间比贪心算 法稍高，远低于CABOB算法以贪心算法结果作为 初始物品分配方案的1-UNT算法，从效用率和运算 时间两方面都优于随机生成初始物品分配方案的 1一uNT算法1一uNT算法部分的改进了Lehmann 等人的工作 维普资讯 http:/ 1148 计算机研究与发展2006，43(7) 本文还给出了
30、基于kUNT检查的胜者决定算 法，并证明了即使在2人组合拍卖的简单情况下，基 于kUNT检查的胜者决定算法都不可能保证解的 效用率大于05kUNT算法的解的平均效用率高 于1一UNT算法，但运算时间超过1一UNT算法 参 考 文 献 1 Benny LehmannDaniel Lehmann，Noam NisanCombinatorial auctions with decreasing marginal utilitiesCACM Conf Electronic Commerce，Tampa，Florida，2001 2 Makoto Yokoo，Yuko Sakurai，Shigeo Ma
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39、 Chunyi，born in I935Professor and PhDsupervisor of the Department of Computer Science and Technology， Tsinghua University， senior member of CCFHis main research interests include multiagent system，distributed AI 石纯一，1935年生，教授，博士生导师，中国计算机学会高级 会员，主要研究方向为多Agent系统、分布式人工智能(scy tsinghuaeducn) Research Bac
40、kground The work in this paper is supported by the National Natural Science Foundation of China under grant No60373079 and 60496323Auctions are important mechanisms for resource and task allocation in multiagent systems(MAS)Auction methods have explicit rules，require less agent abilities and achieve
41、 fast and efficient mutual agreementsAccording to the computational ability， communication ability and rational level of agents，MAS designers or agents can select different kinds of auction methods for one-to- one and oneto-many negotiationUsing combinatorial auction is more effective than allocatin
42、g items one by one when agents have superadditive or subadditive evaluation functionsHowever，the combinatorial allocate problem in combinatorial auction is an NP hard problemTo deal with the computational complexity，we give an approach by assuming that agents have decreasing marginal evaluation func
43、tions，which is widely accepted in micro economic theoryThere is some previous work which copes with this problemHowever，the generic method for CAP failed to get an allocation in an acceptable time，while a greedy algorithm can not get a good allocation in averageOur approach proves that the allocation has an effective rate at least half of the optimal oneExperiment study shows that the combination of our algorithm and the greedy algorithm can achieve better allocation in less time 一 霹 维普资讯 http:/
