1、第 17卷第 4期 数 学 研 究 与 评 论 V o l. 17 N o. 41 9 9 7 年 1 1 月 JOU RNAL O F M A TH EM A T ICAL R ESEA RCH AND EXPO S IT ION N ov. 1 9 9 7关 于 Thom pson 定理及两个相关命题的评注 X伍俊良(重庆大学工商管理学院 , 400044) 易正俊(重庆大学系统工程及应用数学系 , 630044)摘 要 本文指出了文 1- 3 关于复矩阵、实矩阵及四元数矩阵与其 (嵌入 ) 子矩阵的奇异值交错不等式的几个定理的局限性 , 给出了 T homp son 定理必须具备的隐含条
2、件 , 指出了隐含条件之外仍使 T homp son 定理成立的两种情形 , 进而提出了一个尚须进一步研究的问题 .关键词 奇异值 , 交错不等式 .分类号 AM S (1991) 15A CCL O 151. 21在 1 中 , T hom p son 对长方矩阵与它的任意子矩阵的奇异值交错特征进行了刻画 (见 1 定理 1及 2). 为叙述方便 , 给出这两个定理 (命题 1及命题 2)如下 :命题 1 设 A 是 m n 阶矩阵 ,A 的奇异值为 A1 A2 Am in (m , n) ,B 是 A 的 p q 阶子矩阵 ,B 的奇异值为 B1 B2 Bm in (p , q) , 则
3、:Ai Bi, i = 1, 2, ,m in (p , q) ,Bi Ai+ (m - p ) + (n- q) , i m in (p + q - m , p + q - n).从 T hom p son 的第一个证明可知 , 命题 1又可叙述为 :命题 1 设 A 是 m n 阶矩阵 , A 的奇异值为 A1 A2 Am in (m , n) , 如果 B 嵌入 A (即存在 m 阶和 n 阶酉矩阵 U , V , 使得 B 是 UA V 的 p q 阶子矩阵 ) , 且 B 的奇异值为 B1 B2 Bm in (p , q) , 则Ai Bi, i = 1, 2, ,m in (p ,
4、 q) ,Bi Ai+ (m - p ) + (n- q) , i m in (p + q - m , p + q - n).命题 2 设 A 是 m n 阶矩阵 , A 的奇异值为 A1 A2 Am in (m , n) , 任意给定一列非负数B1 B2 Bm in (p , q) , 且满足Ai Bi, i = 1, 2, ,m in (p , q) ,Bi Ai+ (m - p ) + (n- q) , i m in (p + q - m , p + q - n).则存在 m 阶和 n 阶酉方阵 U ,V , 使得 UA V 的 p q 阶矩阵的奇异值是B1, B2, , Bm in (
5、p , q).从命题 1的证明可知 , 由于“加标条件” i m in (p + q- m , p + q- n) 的设置 , 对于 p + q- m 0或 p + q- n 0时 , 定理的第二个表达式失去意义 , 从而结论不成立 , 即是说 , 对 A m n矩阵835X 1994年 7月 13日收到 . 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.的子矩阵 B p q的奇异值交错特征并不能由 T hom p son 定理完全刻画 . 定理仅对 p + q m ax(m + 1, n+ 1)的
6、那些子矩阵适用 . 后面的结果将表明 , 对于 p + q- m 0或 p + q- n 0的一些情形 , 其奇异值交错特征仍成立 . 其特征与 T hom p son 定理相似 .同理 , 对命题 2, 当 p + q- m 0或 p + q- n 0时命题 2的条件不能成立 , 从而影响到结论的成立 .T hom p son 对定理 1给出的第二个证明 , 也不能得到定理的第二部分 . 例如取 A C8 5, B C2 3是 A 的子矩阵 , 设 A ,B 的奇异值分别为 A1 A2 A5, B1 B2, 构造 M = 0 AA 3 0 ,N= 0 BB 3 0 , 则由 1 可知 :M
7、的特征值为 A1, A2, , A5, 0, 0, 0, - A5, - A4, , - A1.N 的特征值为 B1, B2, 0, - B2, - B1. 由于 N 是 M 的主子阵 , 由 Cauchy 特征值交错定理有 : A1B1, A2 B2, A3 0, A4 - B2, A5 - B1及 B1 - A5, B2 - A4, 0 - A3, - B2 - A2, - B1 - A1. 从而推出 A1 B1, A2 B2及命题的第一部分成立 , 但不能推出第二部分的结论 .同时 , 直接应用定理 1 (即命题 1) , i m in (p + q- m , p + q- n) = m
8、 in (2+ 3- 8, 2+ 3- 5) =- 3时 , Bi 失去意义 .在 3 中 , 庄瓦金先将复对称矩阵的 Cauchy 特征值交错不等式推广到自共轭四元数矩阵的情况 , 再沿用文 1 的第二种证明方法 , 结合 T hom p son 的定理 1, 2 (即本文命题 1 , 命题 2) ,得到了推广了的 T hom p son 奇异值交借不等式 , 其内容如下 :命题 3 设 M H m n,A H s t (H m n, H s t分别为四元数矩阵集合 m s, n t) , 它们的奇异值分别为 : R1 R2 Rm in (m , n) , S1 Sm in (s, t) ,
9、 那么 A 嵌入 M 中 (即存在广义酉矩阵 U ,V , 使得 A 为 UM V 的一个子矩阵 )的充分必要条件是Rr Sr, r = 1, 2, ,m in (s, t) ,Sr Rr+ (m - s) + (n- t) , r m in (s + t - m , s + t - n).显然该命题是命题 1和命题 2的直接推广与综合 . 其局限性与 T hom p son 的两个定理类似 .倪国熙在文 2 (p 151, 1- 19行 ) 中 , 给出了完全类似于 T hom p son 奇异值交错不等式的如下命题 :命题 4 设 A R m n,B 1 R n k , C 1 R m r
10、,B 1, C 1均为列正交 , 则Rm + n- r- k+ i (A ) Ri (C T1A B 1) Ri (A ) , i= 1, 2, , s= m in (k , r).这一命题的证明过程也没有考虑使 Ri+ m + n- r- k (A ) 成立的加标约束 , 造成另一种下标溢出 , 因为按 1- 3 关于奇异值的定义 , A 的奇异值个数为 m in (m , n) , C T1A B 1的奇异值个数为m in (k, r). 当 1 i m in (k , r)时 ,m + n- k- r+ i m + n- k- r+ 1= m + n- (k+ r- 1). 当 k +r
11、- 1 m (或 n). 此时 Rm + n- k- r+ i失去意义 .例如取 A R 100 50, B 1 R 100 30, C 1 R 50 20,B 1, C 1均为列正交 . 则 k + r- 1= 30+ 20- 1=49 m in (100, 50). 当 i= 1, 2, ,m in (30, 20) = 20时R1 (C T1A B 1) R101 (A ) , R2 (C T1A B 1) R102 (A ) , , R20 (C T1A B 1) R120 (A )是没有意义的 .因此 , 定理仅对 k+ r m ax (m + 1, n+ 1)的那些 B 1和 C
12、1成立 . 并不具有普遍性 .935 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.综上所述 , 文 1- 3 对奇异值交错特征的刻画 , 除所取基域不一致外 , 其内容是一致的 .其主要问题在于三种刻画不具有普遍意义 . 鉴于实数域、复数域与四元数域的包含关系 , 可将三种刻画归结到四元数矩阵的情形 . 即庄瓦金的定理 (本文命题 3) , 但须附加条件m ax (m + 1, n+ 1) p + q m + n.对 p + q- m 0或 p + q- n 0的情形 , 是不包括在 T hom
13、p son 定理之中及庄瓦金与倪国熙的定理之中的 . 但是对如下特殊情形 , 仍有类似于 T hom p son 定理的结论 .定理 设 A Cm n,B Cp q为 A 的 p q 阶子矩阵 ,i) 如果 m = p , 而 p + q- n 0, 则 Ri (A ) Ri (B ) Ri+ (n- q) (A ) , i= 1, 2, , q.ii) 如果 n= q, 而 p + q- m 0, 则 Ri (A ) Ri (B ) Ri+ (m - p ) (A ) , i= 1, 2, , p ,其中 Ri (A ) , Ri (B )表示 A ,B 的奇异值 .为证明定理 , 只须引入
14、 R. A. Ho rn and C. R. John son 4 的一个定理作为引理即可 .引理 设 A Cm n, A 是取掉 A 的任意一列的子阵 , 则 Ri (A ) Ri (A ) Ri+ 1 (A ) , i= 1, 2, , n- 1.对于去掉任一行的情形引理仍成立 . 因此 , 定理 i) 中的 B 为 A 中去掉 n- q 列的子矩阵 .ii)中的 B 为 A 中去掉 m - p 行的子矩阵 . 由引理即可归纳地证明定理 .最后 , 提出一个问题 :对更一般的 m in (p + q- m , p + q- n) 0情形是否存在某种形式的奇异值交错特征 ?参 考 文 献1
15、R. C. T homp son, P rincip al subm atrices : Interlacing inequalities f or sing u lar values of subm itri2ces, L inear A lgebra and Its A pp lication, 5 (1972) , 1- 12.2 倪国熙 , 常用的矩阵理论和方法 , 上海科技出版社 , 1984, 151.3 庄瓦金 , 四元数矩阵的特征值与奇异值不等式 , 数学进展 , 4 (1988) , 404- 406. 4 R. A. Ho rn and C. R. Johnson, M a
16、trix A naly sis, Cam bridge, U niversity, P ress, Cam bridge,1985.Som e Remarks on Thom pson s Theorem and TwoRelated Con sequencesW u J un liang(T he Co llege of Businness A dm instration of Chongqing U niversity, 400044)Y i Z hengjun(Chongqing U niversity, Chongqing 630044)AbstractW e po in t ou t the lim itation s of som e singu lar value theo rem s in articles 1- 3 .Keywords singu lar value, in terlacing inequality, rem ark s.045 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
