1、1新课标 2016 年高三数学寒假作业 4一、选择题.1.设集合 A=x|1x2，x N，集合 B=2，3，则 AB=( )A1，2，3 B0，1，2，3 C2 D1，0，1，2，32.设 0a 1，则函数 y= 的图象大致为( )A B C D3.已知函数 f（ n）=n 2cos（n ） ，且 an=f（n） ，则 a1+a2+a3+a100=( )A0 B100 C5050 D102004.对于函数 f（ x）=tan2x，下列选项中正确的是( )Af（x）在（ ， ）上是递增的 Bf（x）在定义域上单调递增Cf（x）的最小正周期为 Df（x）的所有对称中心为（ ，0）5.若 ，则向量
2、与 的夹角为( )A B C D6.已知 a0 ，b0 满足 a+b=1，则 的最小值为( )A12 B16 C20 D257.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是( )2A2 B C2 D28.某程序框图如图所示，若输出的 S=57，则判断框内为( )Ak4？ Bk5？ Ck6？ Dk7？9.f（x）= x3x2+ax1 己知曲线存在两条斜率为 3 的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数 a 的取值范围为( )A （3，+） B （3， ） C （， D （0，3）10.已知抛物线 与双曲线 有共同的焦点 F，O 为坐标原点，P 在 x 轴上方且在双
3、曲线上，则 的最小值为( )A B C D二填空题.311.由命题“存在 xR，使 x2+2x+m0”是假命题，则实数 m 的取值范围为 12.已知等比数列a n的各项均为正数， a3=4，a 6= ，则 a4+a5= 13.若 a 1，设函数 f（x ）=a x+x4 的零点为 m，g（x）=log ax+x4 的零点为 n，则 + 的最小值为 14.已知在平面直角坐标系中，点 A（2 ，0） ，B（0，1）到直线 l 的距离分别为 1 和 2，则这样的直线 l 共有 条三、解答题.15.已知定义域为 R 的函数 f（x ）= 是奇函数（）求 b 的值；（）判断函数 f（x）的单调性；（）若
4、对任意的 tR，不等式 f（t 22t）+f（2t 2k）0 恒成立，求 k 的取值范围16.已知数列a n的首项为 a（ a0） ，前 n 项和为 Sn，且有 Sn+1=tSn+a（t0） ，b n=Sn+1 （）求数列an的通项公式；（）当 t=1，a=2 时，若对任意 nN*，都有 k（ + + ）b n，求 k 的取值范围；（）当 t1 时，若 cn=2+b1+b2+bn，求能够使数列c n为等比数列的所有数对（a ， t） 17.已知函数 （1）求 f（x）的最小正周期；（2）若将 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x）在区间上的最大值和最小值，并
5、求出相应的 x 的值4【KS5U】新课标 2016 年高三数学寒假作业 41.B【考点】并集及其运算【专题】计算题【分析】把集合 A 的所有元素和集合 B 的所有元素合并到一起，得到集合 AB由此根据集合A=x|1x2，xN，集合 B=2，3，能求出 AB【解答】解：集合 A=x|1x2，xN=0，1，2，集合 B=2，3，AB=0，1，2，3故选 B【点评】本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个2.B【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分析】利用 0a1，判断 ax，x0 时的范围，以及 x0 时的范围，然后求解 ax1 的范围，
6、倒数的范围，即可判断函数的图象【解答】解：因为 0a1，x0 时，0a x1，1a x10， 1，x0 时，a x1，a x10， 0，观察函数的图象可知：B 满足题意故选：B【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质3.C【考点】数列的求和 5【分析】先求出分段函数 f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解【解答】解：f（n）=n 2cos（n）= =（1） nn2，且 an=f（n） ，a 1+a2+a3+a100=221 2+423 2+625 2+100299 2=1+2+3+4+5+6
7、+99+100=5050故选 C【点评】本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能力4.D【考点】正切函数的周期性；正切函数的奇偶性与对称性【专题】计算题；数形结合；三角函数的图像与性质【分析】求出函数的周期，判断 A、C 的正误；正切函数的单调性判断 B 的正误；求出对称中心判断 D 的正误；【解答】解：x= 时，函数没有意义，A 不正确；正切函数在定义域上不是单调函数，B 不正确；函数 f（x）=tan2x 的周期为： ，所以 C 不正确；（ ，0）是函数的对称中心，所以 D 正确故选：D【点评】本题考查正弦函数的简单性质的应用，考查计算能力5.B【考点】
8、数量积表示两个向量的夹角；向量的模 【专题】平面向量及应用6【分析】将已知式子平方可得 =0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案【解答】解： ， ，两边平方可得 = ，化简可得 =0，设向量 与 的夹角为 则可得 cos= = = ，又 0，故 =故选 B【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题6.B【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用【分析】通过“1”的代换，化简所求表达式，利用基本不等式求出它的最小值【解答】解：a0，b0，且满足 a+b=1，则 = =10+ 10+2 =16，当且仅当 ，即 a= ， 时，等号成立故
9、的最小值为 16，故选：B【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题7.C7【考点】由三视图求面积、体积【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为 SD=2，底面三角形边长 BC=2，高 AD=2；该三棱锥的最长棱是 SA= = =2 故选：C【点评】本题考查了空
10、间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目8.A【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是8第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为 k4故答案选 A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题
11、考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误9.B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用【分析】求得 f（x）的导数，由题意可得 2x22x+a3=0 有两个不等的正根，运用判别式大于 0，两根之和大于 0，两根之积大于 0，解不等式即可得到 a 的范围【解答】解：f（x）= x3x 2+ax1 的导数为 f（x）=2x 22x+a，由题意可得 2x22x+a=3，即 2x22x+a3=0 有两个不等的正根，则=48（a3）0，x 1+x2=10，x 1x2=
12、（a3）0，解得 3a 故选 B【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题10.A【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】抛物线 ，可得 x2=8y，焦点 F 为（0，2） ，则双曲线 的 c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出 的最小值9【解答】解：抛物线 ，可得 x2=8y，焦点 F 为（0，2） ，则双曲线 的c=2，则 a2=3，即双曲线方程为 ，设 P（m，n） （n ） ，则 n23m 2=3，m 2= n21，则 =（m，n）（m，n2）=m 2+n22n=
13、n21+n 22n= （n ） 2 ，因为 n ，故当 n= 时取得最小值，最小值为 32 ，故选：A【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题11.（ 1，+）【考点】特称命题 【专题】计算题【分析】原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出xR，都有 x2+2x+m0，再由0，求得m【解答】解：“存在 xR，使 x2+2x+m0” ，其否命题为真命题，即是说“xR，都有 x2+2x+m0” ，=44m0，解得 m1m 的取值范围为（1，+） 故答案为：（1，+）【点评】本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题考查转化、计算能力12.3【
14、考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知条件利用等比数列通项公式求出 ，由此能求出 a4+a510【解答】解：等比数列a n的各项均为正数，a 3=4，a 6= ， ，解得 ，a 4+a5=16 =3故答案为：3【点评】本题考查等比数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用13.1【考点】函数零点的判定定理；基本不等式 【专题】函数的性质及应用【分析】构建函数 F（x）=a x，G（x）=log ax，h（x）=4x，则 h（x）与 F（x） ，G（x）的交点A，B 的横坐标分别为 m、n，注意到 F（x）=a x，G（x）=log ax，关于
15、直线 y=x 对称，可得 m+n=4，再用“1”的代换，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：由题意，构建函数 F（x）=a x，G（x）=log ax，h（x）=4x，则 h（x）与 F（x） ，G（x）的交点 A，B 的横坐标分别为 m、n注意到 F（x）=a x，G（x）=log ax，关于直线 y=x 对称，可以知道 A，B 关于 y=x 对称，由于 y=x 与 y=4x 交点的横坐标为 2，m+n=4则 + = （ + ） （m+n）= （2+ + ） （2+2）=1，当且仅当 m=n=2 时，等号成立，故 + 的最小值为 1，故答案为：1【点评】本题考查函数的零点，考查基本不等式
16、的运用，考查学生分析转化问题的能力，求出m+n=4，正确运用基本不等式是关键，属于基础题14.3【考点】直线的截距式方程 11【专题】数形结合；综合法；直线与圆【分析】由于 AB=2+1，故满足条件的且和线段 AB 有交点的直线存在，故满足条件的直线有三条，另外两条直线位于线段 AB 的两侧【解答】解：AB= =3=2+1，故存在和线段 AB 有交点的直线故满足条件的直线有三条，如图：故答案为：3【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想15.【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性 【专题】计算题【分析】 （）利用奇函
17、数定义 f（x）=f（x）中的特殊值 f（0）=0 求 b 的值；（）设 x1x 2然后确定 f（x 1）f（x 2）的符号，根据单调函数的定义得到函数 f（x）的单调性；（III）结合单调性和奇函数的性质把不等式 f（t 22t）+f（2t 2k）0 转化为关于 t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围【解答】解：（）因为 f（x）是奇函数，所以 f（0）=0，即 b=1， 12（）由（）知 ，设 x1x 2则 f（x 1）f（x 2）= =因为函数 y=2x在 R 上是增函数且 x1x 2f（x 1）f（x 2）= 0即 f（x 1）f（x 2）f（x）在（，+）
18、上为减函数（III）f（x）在（，+）上为减函数，又因为 f（x）是奇函数，所以 f（t 22t）+f（2t 2k）0等价于 f（t 22t）f（2t 2k）=f（k2t 2） ，因为 f（x）为减函数，由上式可得：t 22tk2t 2即对一切 tR 有：3t 22tk0，从而判别式 所以 k 的取值范围是 k 【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题16.【 考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】 （）根据条件和“n=1 时 a1=S1、当 n2 时 an=SnS n1 ”，化简 Sn+1=tSn+a（t0）
19、 ，再由等比数列的定义判断出数列a n是等比数列，利用等比数列的通项公式求出 an；（）由条件和（I）求出 bn，代入 化简利用裂项相消法求出 ，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出 k 的取值范围；（）利用条件和等比数列的前 n 项和公式求出 Sn，代入 bn化简后，利用分组求和法和等比数列的前 n 项和公式求出 cn，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论13【解答】解：（）解：（）由题意知，首项为 a，且 Sn+1=tSn+a（t0） ，当 n=1 时，则 S2=tS1+a，解得 a2=at，当 n2 时，S n=tSn1
20、 +a，（S n+1S n）=t（S nS n1 ） ，则 an+1=tan，又 a1=a0，综上有 ，即a n是首项为 a，公比为 t 的等比数列， ；（）由（）得， =2，则 Sn=2n，b n=Sn+1=2n+1，则 = = ， = （ ）+（ ）+ = （ ）= ，代入不等式 k（ + + ）b n，化简得，k =3（4n+ ） ，函数 y= 在（ ，+）上单调递增，且 n 取正整数，当 n=1 时，函数 y= 取到最小值是 15，k45；（）t1，S n= ，则 bn=Sn+1=1+ =1+ ，c n=2+b1+b2+bn=2+（1+ ）n （t+t 2+tn）=2+（1+ ）n 1
21、4= + + ，由题设知c n为等比数列，所以有 ，解得 ，即满足条件的数对是（1，2） 【点评】本题考查了等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式，数列的求和方法：裂项相消法、分组求和法，以及“n=1 时 a1=S1、当 n2 时 an=SnS n1 ”关系式的应用，综合性强属于难题17.【 考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用 【专题】三角函数的图像与性质【分析】 （1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数 f（x） ，然后直接由周期公式求周期；（2）通过函数的图象的平移求解函数 g（x）的解析式为 g（x）= ，由 x 的范围求出 的范围，从而求得函数 g（x）的最值，并得到相应的 x 的值【解答】解：（1）由 ，得= = f（x）的最小正周期为 ；（2）将 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象， = x0， ）时， ，当 ，即 时，g（x）取得最大值 2；当 ，即 x=0 时，g（x）取得最小值 【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题
