1、1综合高中 2016 届高三（上）第四次模拟考试数 学 试 卷（理）一选择题（每题 5分）1. 设集合 A0，1，2，3,4，B ，则 （ ）4|01xRABA.1，2，3，4 B. 2，3，4C. 3，4 D. |1x2.若 （i 为虚数单位） ，则 z的共轭复数是 （ ）zA. B. C. D.22i2i3.设随机变量 服从正态分布 ，则实数 等3,432NPaa， 若 a于 （ ）A. B. C.5 D. 373534. 若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）,xy4210yx2zxyA.1 B.2 C.3 D.45.执行如图所示的程序框图，输出的 k值为 （ ）A.7 B.9C.
2、11 D.13 6. 已知 是 的一个内角，且 ，则ABC2sinco的值为（ ）sin2A B C3 D31217 . 已知 ， ，则使 ()1fx成立的一个充a2()xfa分不必要条件是（ ）A 10x B C 2 D 0 8. 函数 f（x）= 的零点所在的大致区间是 （ ）x2lnA （1, 2） B （e，3） C （2，e） D （e，+）29.已知 是满足 ，且使 取得最小值的正实数.若曲线 过点,mn1n9mnyx，则 的值为 （ ）2,3PA. B. C.2 D.311210.椭圆 的左焦点为 F，若 F关于直线 的对称点 A是2:(0)xyCab30xy椭圆 C上的点，则椭
3、圆 C的离心率为 （ ）A B C D 一 l1231232311. ，若对于任意 一 1，1都有 0，则实数 a的取值3()()fxaxRx()fx范围为 （ ） A （- , 2 B0+ ） C0,2 D1,212. 定义在 上的函数 满足下列两个条件：)1()(xf对任意的 恒有 成立；,x2f当 时， 2,f)(记函数 ，若 恰有两个零点，则实数 的取值)(xg1xk)(xgk范围是（ ）A. B. 1,2)3,24C. D. 3(4)二填空题（每题 5分）13.圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为 的扇形，则该几何体3的体积为_.14.二项式 展开式中， 项的系
4、数为912x3x15. 在三角形 ABC中，AB=2，AC=4，P 是三角形 ABC的外心，数量积 等于BCAP3_.16. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 且ABCBC、 、 abc、 、 BC227abc，则 面积的最大值为 43三解答题17. （本小题满分 10分）已知函数 的图像关20sin3，xxf于直线 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 .3x （I）求 和 的值；（II）若 ，求 的值.32642f 23cos18.（本小题满分 12分）已知数列a n的首项 ,114,()2nnaaN（I）证明：数列 是等比数列；12n（II）设 ，求数列 的前 n项和 Sn。nbanb1
5、9.（本小题满分 12分）如图，四面体 中， 是 的中点， 和 均ABCDOABDC为等边三角形， .2,6ABC()求证： 平面 ；O() 求 点到平面 的距离； () 求二面角 的余弦值.20. （本小题满分 12分）某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计 9月份 30天内的拥堵天数东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是 18天，15 天，9 天，15 天假设每个入口发生拥堵现象互相独4立，视频率为概率()求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；（II）设 为一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求 的分布数学期 望
6、21.（本小题满分 12分）已知曲线 x2=-y+8与 x轴交于 A、 B两点，动点 P与 A、 B连线的斜率之积为- 21()求动点 P的轨迹 C的方程；（II） 是动点 P的轨迹 C的一条弦，且直线 、 的斜率之积为- ，求MNOMN21的最大值O22. （本小题满分 12分）已知函数 （kR） ，()ln1)()1fxkx=-+()求函数 的单调区间；()fx()若 恒成立，试确定实数 的取值范围.0k()证明： 且 .ln23()414lnN 2)数学(理科) 试卷答案1选择题（每题 5分）1-5 BDADC 6-10 BACBD 11-12 CD 2填空题（每题 5分）13. 2 1
7、4. 15.6 16. 2153解答题17. （本小题满分 10分）5解：（）因 的图象上相邻两个最高点的距离为 ，所以 的最小正周期fx fx，从而 .T2T又因 的图象关于直线 对称，所以fx3x因 得2,01,2,32k 20k所以 .6（）由（1）得 ,所以 .33sin2264f1sin64由 得630,6所以2215cos1sin.4因此 3ii6sincossin6= 13513542818 （本小题满分 12分）（）证明： ， ，1142124nnn naaa ， 112nna又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列112a， 2na（）解：由（）知 ，11nnA即 ，
8、122nnbaa， 6设 ， 2312n nT则 ， 1由得， ，2111122nnn nT，12nnT又 ，(1)(3)4n数列 的前 n项和 nb2(1)4nnS19 （本小题满分 12分）解法一：（I）证明：连结 ， 为等边三角形， 为 的中点，OCABDOBDAOBD和 为等边三角形， 为 的中点， ， .ABD2,6AC3C在 中，OC 2， ，290即 , ， 面ABOCADBC（）解：设点 到平面 的距离为 , h， OCDAV13AOS在 中， ，2,6221615ACDS而 35,OCOCDADASh点 到平面 的距离为 . 15（）过 作 于 连结 ， 平面 ，EB,EBC
9、D在平面 上的射影为ACDO为二面角 的平角。A7在 中， RtAEO35,tan2,cos2AOEE二面角 的余弦值为 .BCD5解法二：（I）同解法一.（）设平面 的法向量为ACD(,)mxyz又 (0,13)(,10)A(,31)mDyzmCx设 与 夹角为 ， 则 ,设 到平面 的距离为 ，OA5cos|OAaACDh到平面 的距离为51,hOCD15（）解：以 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则(0,)(,3),(0),(3,0)(,)OAB平面 ， 平面 的法向量CD0,3AO设平面 的法向量 (,)nxyz(,1)(,10)BC由 030,3)nABy设 与 夹角为 ，则 ,
10、O5|cos|nAO二面角 的余弦值为 .ABCD520. （本小题满分 12分）解：（I）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件 A， B， C， D则 P(A) ， P(B) ， P(C) ， P(D) 1830 35 1530 12 930 310 1530 128设一天恰有三个入口发生拥堵为事件 M，则M BCD A CD AB D ABC A B C D则 P（ M） 251231012 351231012 351271012 351231012 45200 940（） 的可能取值为 0，1，2，3，4P（ 0） ， P（ 1） ， P（ 2） ，14200 7100 55200
11、 1140 77200P（ 3） ， P（ 4） 45200 940 9200 的分布列为： 0 1 2 3 4p 7100 1140 77200 99200E（ ）0 1 2 3 4 14200 55200 77200 45200 9200 380200 191021. （本小题满分 12分）解：（I）解：在方程 中令 y = 0得：28x2x A( ，0)， B( ，0)2设 P(x， y)，则 122APykx整理得：2184动点 P的轨迹 C的方程为 .2184xy（）解：当直线 MN的斜率存在时，设直线 MN的方程为： y = kx + m，, M(x1， y1)，N(x2， y2)
12、.由 得： 184km22()480kxm212128kxk，92 21212 2848()111mkmkykxmk ，OMN21yx即2 228841kkk2122 298411mABxy k .OMN当直线 MN的斜率不存在时，设 M(x1， y1)，则 N(x1， y1)则 ，又 ，2211ONykxyx284 ， , 21y2211综上、可知 的最大值为 2 ON22. （本小题满分 12分）解：（I）f（x）=ln（x1）k（x1）+1， （x1）f（x）= k， 当 k0 时，f（x）0 恒成立，故函数在（1，+）为增函数，当 k0 时，令 f（x）=0，得 x= 当 f（x）0，
13、即 1x 时，函数为减函数，当 f（x）0，即 x 时，函数为增函数， 综上所述，当 k0 时，函数 f（x）在（1，+）为增函数，当 k0 时，函数 f（x）在（1， ）为减函数，在（ ，+）为增函数 （）由（1）知，当 k0 时，f（x）0 函数 f（x）在定义域内单调递增，f（x）0 不恒成立，当 k0 时，函数 f（x）在（1， ）为减函数，在（ ，+）为增函数当 x= 时，f（x）取最大值，f（ ）=ln 0k1，即实数 k的取值范围为1，+） （）由（2）知 k=1时，f（x）0 恒成立，即 ln（x1）x2 1 ，10 = = =ln1取 x=3，4，5n，n+1 累加得 + + + += ， （nN，n1）.
