1、课时作业 8 “杨辉三角”与二项式系数的性质|基础巩固|(25 分钟，60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1. 11 的展开式中二项式系数最大的项是( )(x 1x)A第 6 项 B第 8 项C第 5,6 项 D第 6,7 项解析：由 n11 为奇数，则展开式中第 项和第 1 项，11 12 11 12即第 6 项和第 7 项的二项式系数相等，且最大答案：D2若 n(nN *)的展开式中只有第 6 项系数最大，则该(x3 1x2)展开式中的常数项为( )A210 B252C 462 D10解析：由于展开式中只有第 6 项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为 1
2、1，从而 n10，于是得其常数项为 C210.610答案：A3若(12x) 6 的展开式中第二项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是( )A. x B. x112 15 16 15C. x D. x112 23 16 25解析：由Error!解得 x .112 15答案：A4若 C C (nN *)，且(2x )2n 620 n 220na 0a 1x a2x2 anxn，则 a0a 1a 2(1) nan等于( )A81 B27C 243 D729解析：由 C C 可知 n4，令 x1，可得2n 620 n 220a0a 1a 2(1) nan3 481.答案：A5已知关于 x 的二项式
3、n展开式的二项式系数之和为(x a3x)32，常数项为 80，则 a 的值为( )A2 B1C 1 D2解析：二项式系数和为 2n32，n5，通项公式为 Tr1 C ( )5r rr5 x (a3x)C arx .r5156常数项为 80.r 3 时，C a380，35a2，故选 A.答案：A二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6(1 )n展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32，则系数x最大的项是_解析：因为 8C C C 32，0n 1n n即 82n32，且 nN *，所以 n4.所以展开式共有 5 项，系数最大的项为 T3C ( )26x.24 x答案：6x7(a x)(1x
4、 )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.解析：设(ax)(1x )4a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5.令 x1，得( a1)2 4a 0a 1a 2a 3a 4a 5.令 x1，得 0a 0a 1a 2a 3a 4a 5.，得 16(a1)2(a 1a 3a 5)232，a3.答案：38如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 23.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是 C 、C ；第 2 行中的数是01 1C 、C 、C ；第 3 行中的数是 C 、C 、C 、C ；第 n 行中的数是02 12 2
5、 03 13 23 3C 、C 、C 、C .设 第 n 行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为0n 1n 2n n23，则 C C 23 ，解之得 n34.13n 14n答案：34三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知 n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求(x 12x)展开式中含 x 项的系数及二项式系数解析： n展开式的通项公式(x 12x)Tr1 C ( )nr r rC x .rn x (12x) (12) rn 2由题意知：C ， C ， C 成等差数列，0n12 1n14 2n则 C C C ，1n 0n14 2n即 n29n80，解得 n8 或 n1(舍去)
6、T r 1 rC x4r .令 4r1，得 r3，(12) r8含 x 项的系数 为 3C 7，二项式系数为 C 56.(12) 38 3810在 8 的展开式中，(x 2x2)(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解析：(1) 二 项式系数最大的项为中间项，即为第 5 项故 T5C 24x4 1 120x 6 .48202(2)因 Tk1 C ( )8 k k(1) kC 2kx .k8 x ( 2x2) k8 54-2设第 k1 项 系数的绝对值 最大，则Error!即Error!整理得Error!于是 k5 或 6.故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项
7、|能力提升|(20 分钟，40 分)11若 n(nN *)的展开式中存在常数项，则 n 的最小(2x3 1x2)值是( )A3 B5C 8 D10解析：T r1 C (2x3)nr x2r C 2nr x3n5r .rn rn展开式中存在常数项，3n5r0，即 n r，又 3,5 互质， r53必是 3 的倍数，当 r3 时， n 的最小值是 5.答案：B12将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的01 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 n 次全行的数都为 1 的是第_行；第 61 行中 1 的个数是
8、_解析：观察可得第 1 行，第 3 行，第 7 行，第 15 行，全行都为 1，故第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n1 行；n62 6163，故第63 行共有 64 个 1，逆推知第 62 行共有 32 个 1，第 61 行共有 32 个 1.答案：2 n1 3213已知(12x) 7a 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 3(x1)3a 7(x1) 7.求：(1)a0 a1 a2a 7；(2)a0 a2 a4a 6.解析：(1) 令 x2，则 a0a 1a 2a 7(14) 73 72 187.(2)令 x0，则 a0a 1a 2a 6a 71.得 a0a 2a 4a 6 1 093
9、. 2 37 1214已知 f(x)(1 x )m(12x )n(m，nN *)的展开式中 x 的系数为 11.(1)求 x2 的系数取最小值时 n 的值(2)当 x2 的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和解析：(1) 由已知 C 2C 11，所以 m2n11，1m 1nx2的系数为 C 2 2C 2n(n1)2m 2nmm 12 (11m )m2 m2 (11 m2 1) 2 .(m 214) 35116因为 mN *，所以 m5 时，x 2的系数取得最小值 22，此时 n3.(2)由(1)知，当 x2的系数取得最小值时，m 5，n3，所以 f(x)(1 x )5(12x )3，设这时 f(x)的展开式为f(x)a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5，令 x1，a 0a 1a 2a 3a 4a 52 53 3，令 x1，a 0a 1a 2a 3a 4a 51，两式相减得 2(a1a 3a 5)60，故展开式中 x 的奇次幂项 的系数之和为 30.
