1、7.3 解析几何(压轴题)命题角度 1 曲线与轨迹问题 高考真题体验对方向1.(2017 全国 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:+y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为N,点 P 满足.(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且=1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(1)解 设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得 x0=x,y0=y.因为 M(x0,y0)在 C 上,所以=1.因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)证明 由题意知 F(-1,0)
2、.设 Q(-3,t),P(m,n),则=( -3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1 得-3m-m 2+tn-n2=1.又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2.(2016 全国 20)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明:ARFQ;(2)若PQF
3、的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题知 F.设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab0,且 A,B,P,Q,R.记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1=-b=k2.所以 ARFQ.(2)解 设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由题设可得|b-a| ,所以 x1=0(舍去 ),x1=1.设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直
4、时,由 kAB=kDE可得( x1).而=y,所以 y2=x-1(x1).当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以所求轨迹方程为 y2=x-1.新题演练提能刷高分1.(2018 山西太原二模)已知以点 C(0,1)为圆心的动圆 C 与 y 轴负半轴交于点 A,其弦 AB 的中点 D 恰好落在 x 轴上.(1)求点 B 的轨迹 E 的方程;(2)过直线 y=-1 上一点 P 作曲线 E 的两条切线,切点分别为 M,N.求证: 直线 MN 过定点.(1)解 设 B(x,y),则 AB 的中点 D,y0. C(0,1),则,在 C 中 , DCDB , =0, -+y=0,即 x2=4y(
5、y0). 点 B 的轨迹 E 的方程为 x2=4y(y0).(2)证明 由已知条件可得曲线 E 的方程为 x2=4y,设点 P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2). y=, y=, 过点 M、N 的切线方程分别为 y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2).由 4y1=,4y2=,上述切线方程可化为 2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x. 点 P 在这两条切线上, 2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线 MN 的方程为 2(y-1)=tx,故直线 2(y-1)=tx 过定点 C(0,1).2.(2018 广西梧州 3 月适应性测试 )已知 A(-2,0
6、),B(2,0),直线 PA 的斜率为 k1,直线 PB 的斜率为k2,且 k1k2=-.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程;(2)设 F1(-1,0),F2(1,0),连接 PF1 并延长,与轨迹 C 交于另一点 Q,点 R 是 PF2 中点,O 是坐标原点,记QF 1O 与PF 1R 的面积之和为 S,求 S 的最大值.解 (1)设 P(x,y), A(-2,0),B(2,0), k1=,k2=,又 k1k2=-, =-, =1(x2), 轨迹 C 的方程为=1(x 2).(2)由 O,R 分别为 F1F2,PF2 的中点,故 ORPF 1,故PF 1R 与PF 1O 同底等高,故,S=S
7、 PQO,当直线 PQ 的斜率不存在时,其方程为 x=-1,此时 SPQO=1;当直线 PQ 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x+1),设 P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线 PQ 不与 x 轴重合,即 k0;联立解得(3+4k 2)x2+8k2x+4k2-12=0,=144(k2+1)0,故|PQ|=|x 1-x2|=,点 O 到直线 PQ 的距离 d=,S=|PQ|d=6,令 u=3+4k2(3,+), 故 S=6,故 S 的最大值为.3.(2018 甘肃兰州一模)已知圆 C:(x+1)2+y2=8,过 D(1,0)且与圆 C 相切的动圆圆心为 P.(1)求点 P 的轨迹 E
8、的方程;(2)设过点 C 的直线 l1 交曲线 E 于 Q,S 两点,过点 D 的直线 l2 交曲线 E 于 R,T 两点,且 l1l 2,垂足为 W(Q,R,S,T 为不同的四个点) . 设 W(x0,y0),证明 :|CD|=2,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 E 是椭圆,a= ,c=1,b=1,E 的方程为 +y2=1.(2) 证明 由已知条件可知,垂足 W 在以 CD 为直径的圆周上,则有= 1,又因 Q,R,S,T 为不同的四个点,0)的直线 l 与 C 交于A,B 两点,|AB|=8.(1)求 l 的方程.(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得 F
9、(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).由得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故 x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得 k=-1(舍去),k=1.因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为 (3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11) 2+(y+6)2=144.3.(2018 全国
10、20)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:=1 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:kb0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为,已知 A 是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F 到抛物线的准线 l 的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B(B 异于点 A),直线 BQ 与 x 轴相交于点 D.若APD 的面积为,求直线 AP 的方程.解 (1)设 F 的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c= ,解得 a=1,c=,p=2,于是 b2=a2-c2=.所以,椭圆的方
11、程为 x2+=1,抛物线的方程为 y2=4x.(2)设直线 AP 的方程为 x=my+1(m0),与直线 l 的方程 x=-1 联立,可得点 P,故 Q.将 x=my+1 与 x2+=1 联立,消去 x,整理得(3m 2+4)y2+6my=0,解得 y=0 或 y=.由点 B 异于点 A,可得点 B.由 Q,可得直线 BQ 的方程为(x+1) -=0,令 y=0,解得 x=,故 D.所以|AD|=1-.又因为APD 的面积为 ,故,整理得 3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以 m=.所以,直线 AP 的方程为 3x+y-3=0 或 3x-y-3=0.新题演练提能刷高分1.(2018 河
12、北唐山一模)已知椭圆 :=1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 A,长轴长为 2,B 为直线 l:x=-3 上的动点 ,M(m,0),AMBM.当 ABl 时,M 与 F 重合.(1)求椭圆 的方程;(2)若直线 BM 交椭圆 于 P,Q 两点,若 APAQ ,求 m 的值 .解 (1)依题意得 A(0,b),F(-c,0),当 ABl 时,B(- 3,b),由 AFBF,得 kAFkBF=-1,又 b2+c2=6,解得 c=2,b=.所以,椭圆 的方程为=1.(2)由(1)得 A(0,),依题意,显然 m0,所以=-,又 AMBM,所以 kBM=,所以直线 BM 的方程为 y=(x-m),设
13、 P(x1,y1),Q(x2,y2).联立有(2+3m 2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=.|PM|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=|x1x2-m(x1+x2)+m2|=,|AM|2=2+m2,由 APAQ 得,|AM| 2=|PM|QM|,所以=1,解得 m=1.2.(2018 河南郑州一模)已知圆 C:x2+y2+2x-2y+1=0 和抛物线 E:y2=2px(p0),圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为.(1)求抛物线 E 的方程;(2)不过原点的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且满足 OAOB.设点 M 为圆 C 上任意一动点,求当动点 M 到直
14、线 l 的距离最大时的直线 l 的方程.解 (1)C:x2+y2+2x-2y+1=0 可化为( x+1)2+(y-1)2=1,则圆心 C 为(-1,1) . F ,0 , |CF|=,解得 p=6. 抛物线的方程为 y2=12x.(2)设直线 l 为 x=my+t(t0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立可得 y2-12my-12t=0. y1+y2=12m,y1y2=-12t. OAOB , x1x2+y1y2=0,即(m 2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得 t2-12t=0, t0, t=12. 直线 l 的方程为 x=my+12,故直线 l 过定点 P(12
15、,0). 当 CNl 时,即动点 M 经过圆心C(-1,1)时到动直线 l 的距离取得最大值 .kMP=kCP=-, m=,此时直线 l 的方程为 x=y+12,即为 13x-y-156=0.3.(2018 甘肃第一次诊断性考试 )椭圆 E:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作垂直于x 轴的直线 l 与椭圆 E 在第一象限交于点 P,若|PF 1|=5,且 3a=b2.(1)求椭圆 E 的方程;(2)A,B 是椭圆 C 上位于直线 l 两侧的两点.若直线 AB 过点(1,- 1),且APF 2=BPF 2,求直线AB 的方程.解 (1)由题意可得|PF 2|=3,因为|P
16、F 1|=5,由椭圆的定义得 a=4,所以 b2=12,所以椭圆 E 的方程为=1.(2)易知点 P 的坐标为(2,3) .因为APF 2=BPF 2,所以直线 PA,PB 的斜率之和为 0.设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为-k ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 PA 的方程为 y-3=k(x-2),由可得(3+4k 2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0, x1+2=.同理,直线 PB 的方程为 y-3=-k(x-2),可得 x2+2=, x1+x2=,x1-x2=,kAB=, 满足条件的直线 AB 的方程为 y+1=(x-1),即为 x-
17、2y-3=0.命题角度 3 圆锥曲线的最值、范围问题 高考真题体验对方向1.(2017 山东21) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:=1(ab0)的离心率为,焦距为 2.(1)求椭圆 E 的方程.(2)如图,动直线 l:y=k1x-交椭圆 E 于 A,B 两点,C 是椭圆 E 上一点,直线 OC 的斜率为 k2,且k1k2=,M 是线段 OC 延长线上一点,且|MC| |AB|=2 3,M 的半径为|MC|,OS ,OT 是M 的两条切线,切点分别为 S,T,求SOT 的最大值并求取得最大值时直线 l 的斜率.解 (1)由题意知 e=,2c=2,所以 a=,b=1,因此椭圆 E 的方程
18、为+y 2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(4+2) x2-4k1x-1=0,由题意知 0,且 x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=|x 1-x2|=.由题意可知圆 M 的半径 r 为r=|AB|=.由题设知 k1k2=,所以 k2=,因此直线 OC 的方程为 y=x.联立方程得 x2=,y2=,因此|OC|=.由题意可知 sin =,而=,令 t=1+2,则 t1,(0,1),因此=1,当且仅当,即 t=2 时等号成立 ,此时 k1=,所以 sin ,因此.所以SOT 最大值为.综上所述:SOT 的最大值为 ,取得最大值时直线 l 的斜率为 k1=.2.(
19、2016 全国 20)已知椭圆 E:=1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MANA.(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围.解 (1)设 M(x1,y1),则由题意知 y10.当 t=4 时,E 的方程为=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为.因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入=1 得 7y2-12y=0.解得 y=0 或 y=,所以 y1=.因此AMN 的面积 SAMN =2.(2)由题意
20、t3,k0,A(-,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+)代入=1 得(3+tk 2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.由 x1(-)=得 x1=,故|AM|=|x 1+.由题设,直线 AN 的方程为 y=-(x+),故同理可得|AN|=.由 2|AM|=|AN|得,即(k 3-2)t=3k(2k-1).当 k=时上式不成立,因此 t=.t3 等价于0)的焦点为 F,准线为 l,过焦点 F 的直线交 C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y 1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点 B 在准线 l 上的投影为 E,D 是 C 上一点,且 ADEF,求 ABD 面积的最小值及此
21、时直线AD 的方程.解 (1)依题意 F,当直线 AB 的斜率不存在时,|y 1y2|=-p2=-4,p=2.当直线 AB 的斜率存在时,设 AB:y=k,由化简得 y2-y-p2=0.由 y1y2=-4,得 p2=4,p=2,所以抛物线方程为 y2=4x.(2)设 D(x0,y0),B,则 E(-1,t).又由 y1y2=-4,可得 A.因为 kEF=-,ADEF,所以 kAD=,故直线 AD:y+.由化简得 y2-2ty-8-=0,所以 y1+y0=2t,y1y0=-8-.所以|AD|=|y 1-y0|=.设点 B 到直线 AD 的距离为 d,则 d=.所以 SABD=|AD|d=16,当
22、且仅当 t4=16,即 t=2.当 t=2 时,直线 AD 的方程为 x-y-3=0,当 t=-2 时,直线 AD 的方程为 x+y-3=0.2.(2018 山东济南一模)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C1:x2=4y,直线 l 与抛物线 C1 交于A,B 两点.(1)若直线 OA,OB 的斜率之积为-,证明:直线 l 过定点;(2)若线段 AB 的中点 M 在曲线 C2:y=4-x2(-20,x1+x2=4k,x1x2=-4m,kOAkOB=-,由已知:k OAkOB=-,所以 m=1,所以直线 l 的方程为 y=kx+1,所以直线 l 过定点(0,1) .(2)解 设 M(x0,y
23、0),则 x0=2k,y0=kx0+m=2k2+m,将 M(x0,y0)代入 C2:y=4-x2(-20, -0)上,AB 的中点为 Q,满足 O,E,Q 三点共线.(1)求直线 AB 的斜率;(2)若直线 AB 与圆 D 相交于 M,N 两点,记 OAB 的面积为 S1,OMN 的面积为 S2,求 S=S1+S2的最大值.解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 Q(x0,y0). 点 A,B 在椭圆 C 上,相减得+(y 1-y2)(y1+y2)=0. kAB=-. x0=,y0=, kAB=-. E, kOE=-. O,E,Q 三点共线, kOQ=kOE=-, kA
24、B=-=1.(2) 点 E 在圆 D 上, r2=. 圆 D 的方程为 x2+y2=.设直线 AB 的方程:y=x+m,由得 3x2+4mx+2m2-2=0.由 0 得 m20),圆 C2:x2+y2=4,直线 l:y=kx+b 与抛物线C1 相切于点 M,与圆 C2 相切于点 N.(1)若直线 l 的斜率 k=1,求直线 l 和抛物线 C1 的方程;(2)设 F 为抛物线 C1 的焦点,设 FMN,FON 的面积分别为 S1,S2,若 S1=S2,求 的取值范围.解 (1)由题设知 l:x-y+b=0,且 b0,由 l 与 C2 相切知,C 2(0,0)到 l 的距离 d=2,得 b=2,
25、l:x-y+2=0.将 l 与 C1 的方程联立消 x 得 y2-2py+4p=0,其 =4p2-16p=0 得 p=4, C1:y2=8x.综上,l:x-y+2=0,C 1:y2=8x.(2)不妨设 k0,根据对称性,k0 得到的结论与 k0,又知 p0,设 M(x1,y1),N(x2,y2),由消 y 得 k2x2+2(kb-p)x+b2=0,其 =4(kb-p)2-4k2b2=0 得 p=2kb,从而解得 M,由 l 与 C2 切于点 N 知 C2(0,0)到 l:kx-y+b=0 的距离 d=2,得 b=2,则 p=4k,故 M.由得 N,故|MN|=|x M-xN|=.F 到 l:k
26、x-y+b=0 的距离 d0=2k2+2, S1=SFMN=|MN|d0=,又 S2=SFON=|OF|yN|=2k, =(k2+1)=2k2+32+3.当且仅当 2k2=即 k=时取等号,与上同理可得,kb0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3,P4 中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.(1)解 由于 P3,P4 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3,P4 两点.又由知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上.因此解得故
27、 C 的方程为+y 2=1.(2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2,如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t0,且|t|0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=.而 k1+k2=.由题设 k1+k2=-1,故(2k+1) x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)+(m-1)=0.解得 k=-.当且仅当 m-1 时,0,于是 l:y=-x+m,即 y+1=-(x-2),所以 l 过定点(2,-1) .2.(2016 北京19) 已知椭圆 C:=1(ab0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O (0,
28、0),OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证: |AN|BM|为定值.(1)解 由题意得解得 a=2,b=1.所以椭圆 C 的方程为+y 2=1.(2)证明 由(1)知,A(2,0), B(0,1).设 P(x0,y0),则+4=4.当 x00 时,直线 PA 的方程为 y=(x-2).令 x=0,得 yM=-,从而|BM|=|1-y M|=.直线 PB 的方程为 y=x+1.令 y=0,得 xN=-,从而|AN|=| 2-xN|=.所以|AN| |BM|=4.当 x0=0 时,
29、y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN| |BM|=4.综上,|AN| |BM|为定值.3.(2015 全国 20)已知椭圆 C:=1(ab0)的离心率为,点(2,)在 C 上.(1)求 C 的方程;(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.(1)解 由题意有= 1,解得 a2=8,b2=4.所以 C 的方程为=1.(2)证明 设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入=1,得(2k 2+
30、1)x2+4kbx+2b2-8=0.故 xM=,yM=kxM+b=.于是直线 OM 的斜率 kOM=-,即 kOMk=-.所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.新题演练提能刷高分1.(2018 福建厦门第一次质检 )设 O 为坐标原点,椭圆 C:=1(ab0)的左焦点为 F,离心率为.直线 l:y=kx+m(m0)与 C 交于 A,B 两点,AF 的中点为 M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 P(0,1),=-4,求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.(1)解 设椭圆的右焦点为 F1,则 OM 为AFF 1 的中位线. OM=AF1,MF=AF
31、, |OM|+|MF|=a=5, e=, c=2, b=, 椭圆 C 的方程为=1.(2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去 y,整理得(1 +5k2)x2+10mkx+5m2-25=0. 0,x1+x2=-,x1x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=. P(0,1),=-4, (x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4, +5=0,整理得 3m2-m-10=0,解得 m=2 或 m=-(舍去). 直线 l 过定点(0,2).2.(2018 安徽
32、合肥第二次质检 )已知点 A(1,0)和动点 B,以线段 AB 为直径的圆内切于圆O:x2+y2=4.(1)求动点 B 的轨迹方程;(2)已知点 P(2,0),Q(2,-1),经过点 Q 的直线 l 与动点 B 的轨迹交于 M,N 两点,求证:直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值.(1)解 如图,设以线段 AB 为直径的圆的圆心为 C,取 A(-1,0).依题意,圆 C 内切于圆 O,设切点为 D,则 O,C,D 三点共线, O 为 AA的中点,C 为 AB 中点, AB=2OC. |BA|+|BA|=2OC+2AC=2OC+2CD=2OD=4|AA|=2, 动点 B 的轨迹是以 A,A
33、为焦点,长轴长为 4 的椭圆,设其方程为=1(ab0),则 2a=4,2c=2, a=2,c=1, b2=a2-c2=3, 动点 B 的轨迹方程为=1.(2)证明 当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x=2,此时直线 l 与椭圆=1 相切,与题意不符. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y+1=k(x-2).由消去 y 整理得(4 k2+3)x2-(16k2+8k)x+16k2+16k-8=0. 直线 l 与椭圆交于 M,N 两点 , =(16k2+8k)2-4(4k2+3)(16k2+16k-8)0,解得 k0)交于 M,N 两点.(1)当 k=0 时,分别求 C
34、 在点 M 和 N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解 (1)由题设可得 M(2,a),N(-2,a),或 M(-2,a),N(2,a).又 y=,故 y=在 x=2 处的导数值为,C 在点(2, a)处的切线方程为 y-a=(x-2),即 x-y-a=0.y=在 x=-2 处的导数值为-,C 在点(-2,a) 处的切线方程为 y-a=-(x+2),即 x+y+a=0.故所求切线方程为 x-y-a=0 和 x+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设 P(0,b)为符合题意的点 ,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 P
35、M,PN 的斜率分别为 k1,k2.将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0.故 x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而 k1+k2=.当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故OPM= OPN ,所以点 P(0,-a)符合题意.2.(2015 全国 20)已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.(1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;(2)若 l 过点,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB
36、能否为平行四边形 ?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.(1)证明 设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2 得( k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故 xM=,yM=kxM+b=.于是直线 OM的斜率 kOM=-,即 kOMk=-9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.(2)解 四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线 l 过点,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0,k3.由(1)得 OM 的方程为 y=-x.设点 P 的横坐标为 xP.由,即
37、xP=.将点的坐标代入 l 的方程得 b=,因此 xM=.四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM.于是=2,解得 k1=4-,k2=4+.因为 ki0,ki3,i=1,2,所以当 l 的斜率为 4-或 4+时,四边形 OAPB 为平行四边形.3.(2014 山东21) 已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,ADF 为正三角形 .(1)求 C 的方程;(2)若直线 l1l,且
38、l1 和 C 有且只有一个公共点 E, 证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; ABE 的面积是否存在最小值? 若存在,请求出最小值;若不存在 ,请说明理由.解 (1)由题意知 F,设 D(t,0)(t0),则 FD 的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知 3+,解得 t=3+p 或 t=-3(舍去).由=3,解得 p=2.所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2) 由(1)知 F(1,0).设 A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1.由 xD0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0).故直线 AB 的斜
39、率 kAB=-.因为直线 l1 和直线 AB 平行,设直线 l1 的方程为 y=-x+b,代入抛物线方程得 y2+y-=0,由题意 =0,得 b=-.设 E(xE,yE),则 yE=-,xE=.当4 时,k AE=-,可得直线 AE 的方程为 y-y0=(x-x0),由=4x 0,整理可得 y=(x-1),直线 AE 恒过点 F(1,0).当=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0).所以直线 AE 过定点 F(1,0). 由 知直线 AE 过焦点 F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x 0+1)+=x0+2.设直线 AE 的方程为 x=my+1,因为点 A(x0
40、,y0)在直线 AE 上,故 m=.设 B(x1,y1),直线 AB 的方程为 y-y0=-(x-x0),由于 y00,可得 x=-y+2+x0,代入抛物线方程得 y2+y-8-4x0=0.所以 y0+y1=-,可求得 y1=-y0-,x1=+x0+4.所以点 B 到直线 AE 的距离为d=4.则ABE 的面积 S=416,当且仅当=x 0,即 x0=1 时等号成立.所以ABE 的面积的最小值为 16.新题演练提能刷高分1.(2018 山西太原一模)已知椭圆 C:=1(ab0)的左顶点为 A,右焦点为 F2(2,0),点 B(2,-)在椭圆 C 上.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 y=
41、kx(k0)与椭圆 C 交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N,在 x 轴上,是否存在点 P,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有MPN 为直角?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,c=2. 点 B(2,-)在 C 上, =1. a2=b2+c2, a2=8,b2=4, 椭圆方程为=1.(2)假设存在这样的点 P,设 P(x0,0),E(x1,y1),则 F(-x1,-y1),联立消去 y 化简得(1 +2k2)x2-8=0,解得 x1=,y1=. A(-2,0), AE 所在直线方程为 y=(x+2), M 0, ,同理可得 N 0
42、, ,= -x0, ,= -x0, ,由=0,得-4=0. x0=2 或 x0=-2. 存在点 P,使得无论非零实数 k 怎么变化,总有MPN 为直角,点 P 坐标为(2,0) 或(-2,0) .2.(2018 山东菏泽一模)已知抛物线 E 的顶点为平面直角坐标系 xOy 的坐标原点 O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0 的圆心 F.经过点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 A,D 两点,交圆 F 于 B,C 两点,A,B在第一象限,C,D 在第四象限.(1)求抛物线 E 的方程;(2)是否存在直线 l 使 2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请
43、说明理由.解 (1) 圆 F 的方程为(x-2) 2+y2=1, 圆心 F 的坐标为(2,0),半径 r=1.根据题意设抛物线 E 的方程为 y2=2px(p0), =2,解得 p=4. 抛物线 E 的方程为 y2=8x.(2) 2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r, |AB|+|CD|=4|BC|=42r=8. |AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10r=10.讨论:若 l 垂直于 x 轴 ,则 l 的方程为 x=2,代入 y2=8x,解得 y=4.此时|AD|=8,不满足题意;若 l 不垂直于 x 轴,则设 l 的斜率为 k(k0),此时 l 的方程为 y=k(x-
44、2),由得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=. 拋物线 E 的准线方程为 x=-2, |AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4. +4=10,解得 k=2.当 k=2 时,k 2x2-(4k2+8)x+4k2=0 化为 x2-6x+4=0. (-6)2-4140, x2-6x+4=0 有两个不相等的实数根. k=2 满足题意. 存在满足要求的直线 l:2x-y-4=0 或 2x+y-4=0.3.(2018 山西晋城一模)已知直线 l1 是抛物线 C:x2=2py(p0)的准线,直线 l2:3x-4y
45、-6=0,且 l2 与抛物线 C 没有公共点,动点 P 在抛物线 C 上,点 P 到直线 l1 和 l2 的距离之和的最小值等于 2.(1)求抛物线 C 的方程;(2)点 M 在直线 l1 上运动,过点 M 作抛物线 C 的两条切线, 切点分别为 P1,P2,在平面内是否存在定点 N,使得 MNP 1P2 恒成立?若存在,请求出定点 N 的坐标 ,若不存在,请说明理由.解 (1)作 PA,PB 分别垂直 l1 和 l2,垂足为 A,B,抛物线 C 的焦点为 F 0, ,由抛物线定义知|PA|=|PF|,所以 d1+d2=|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,易知 d1+d2 的最小值即为点
46、F 到直线 l2 的距离,故 d=2, p=2,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.(2)由(1)知直线 l1 的方程为 y=-1,当点 M 在特殊位置(0, -1)时,易知两个切点 P1,P2 关于 y轴对称,故要使得 MNP 1P2,点 N 必须在 y 轴上.故设 M(m,-1),N(0,n),P1 x1, ,P2 x2, ,抛物线 C 的方程为 y=x2,求导得 y=x,所以切线 MP1 的斜率 k1=x1,直线 MP1 的方程为 y-x1(x-x1),又点 M 在直线 MP1 上,所以- 1-x1(m-x1),整理得- 2mx1-4=0,同理可得- 2mx2-4=0,故 x1 和 x
47、2 是一元二次方程 x2-2mx-4=0 的两根,由韦达定理得= x2-x1, (-m,n+1)=(x2-x1)-4m+(n+1)(x2+x1)=(x2-x1)-4m+2m(n+1)=m(x2-x1)(n-1),可见 n=1 时,=0 恒成立,所以存在定点 N(0,1),使得 MNP 1P2 恒成立.4.(2018 河北衡水中学七调)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2 为顶点的三角形的周长为 4(+1).一双曲线的顶点是该椭圆的焦点 ,且双曲线的实轴长等于虚轴长,设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A,B和 C
48、,D,且点 A,C 在 x 轴的同一侧.(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)是否存在题设中的点 P,使得|+|=?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)由题意知,椭圆离心率 e=,即 a=c,又 2a+2c=4(+1),所以 a=2,c=2,所以 b2=a2-c2=4,所以椭圆的标准方程为=1.所以椭圆的焦点坐标为( 2,0).又双曲线为等轴双曲线,且顶点是该圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为=1.(2)设 P(x0,y0)(x02),则,因为点 P 在双曲线=1 上,所以=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 PF1 的方程为 y=k(x+2),所以直线 PF2 的方程为 y=(x-2),联立得(2k 2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,所以 x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=.同理可得 |CD|=.由题知|+|=| |cos (=F 1PF2),即 cos =.因为=|cos ,即(-2-x 0)(2-x0)+(-y0)(-y0)=,又因为=4,所以 2(-4)=,所以=8,= 4.即存在满足题意的点 P,且点 P 的坐标为( 2,2).
