1、上海市各区 2018 届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24 （ 本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2 ）小题 4 分，第（3 ）小题 4 分）已知平面直角坐标系 （如图 7） ，直线 的经过点 和点 .xOymxy)0,(A)3,(nB（1 ）求 、 的值；mn（2 ）如果抛物线 经过点 、 ，该抛物线的顶点为点 ，求cb2ABP的值；ABPsi（3 ）设点 在直线 上，且在第一象限内，直线 与 轴的交点为点 ，Qxy mxyyD如果 ，求点 的坐标.DO24.解：（1 ） 直线 的经过点mxy)0,4(A 1 分04 1 分直线 的经过点xy)3,(n
2、B 1 分3n 1 分1（2）由可知点 的坐标为B),(抛物线 经过点 、cbxy2AB 31046c ， b8抛物线 的表达式为 1 分cbxy2 862xy抛物线 的顶点坐标为 1 分6),3(P , ,3ABP5B 22 1 分90图 7O xy PBAsin 1 分10（3 ）过点 作 轴，垂足为点 ，则 轴QxHHQy ,DOABO B 1 分直线 与 轴的交点为点4xyyD点 的坐标为 ,)0(4又 ，1OB2 ， 1 分5Q 3A ,84D 轴Hy 284Q 1 分即点 的纵坐标是又点 在直线 上4xy点 的坐标为 1 分)8,(长宁区24 （本题满分 12 分，第（1）小题 4
3、 分，第（2 ）小题 3 分，第（3 ）小题 5 分）如图在直角坐标平面内，抛物线 与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别交于点bxayB（-1，0） 、点 C（3，0） ，点 D 是抛物线的顶点.（1 ）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；（2 ）联结 AD、 DC，求 的面积；A（3 ）点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与ABC 相似，求点P 的坐标24.（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）解：（1） 点 B（-1 ，0） 、C（3，0）在抛物线 2bxay上 39ba，解得 2ba （ 2 分）抛物线的
4、表达式为 3xy，顶点 D 的坐标是（ 1，-4） （ 2 分）（2 ） A（0 ，-3） ，C（3，0） ，D （1，-4 ） 23AC， 5D， A 2D 90A （ 2 分） .21SAC （1 分）（3 ） OB， O，CADAOB， ACDOA=OC， 90 45C A，即 BD （ 1 分）若以 O、 P、C 为顶点的三角形与ABC 相似 ，且ABC 为锐角三角形 则 也为锐角三角形，点 P 在第四象限由点 C（3，0 ） ，D（1 ，-4）得直线 CD 的表达式是 62xy，设)62,(t（ 3t）过 P 作 PHOC ， 垂足为点 H，则 tO， t备用图第 24 题图当 AB
5、CPO时,由 ABCPOtanta得 OHP， 326t，解得 56， )518,( （2 分）当 时,由 145tatatan得 ， 1t，解得 2t， ),(P （ 2 分）综上得 )58,6(P或 ,崇明区24 （本题满分 12 分，第(1)、(2)、(3)小题满分各 4 分）已知抛物线经过点 、 、 (0,3)A(4,1)B(3,0)C（1）求抛物线的解析式；（2）联结 AC、BC、AB，求 的正切值；（3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点 P 作 交 轴于点 ，当点GAyG在点 的上方，且 与 相似时，求点 P 的坐标GAAPG B24 （ 本题满分 12 分，每小题
6、4 分）解：（1）设所求二次函数的解析式为 ，1 分2(0)yaxbc将 （ , ） 、 （ ， ） 、 （ , ）代入，得 A03B4C301641,93.c（第 24 题图）y xA BCO解得 2 分153abc所以，这个二次函数的解析式为 1 分215yx（2 ） （ , ） 、 （ ， ） 、 （ , ）A03B4C30 ， ，2CA 2 2 分90AB 2 分132tanC（3 ）过点 P 作 ，垂足为 Hy 轴设 ，则215(,3)x215(0,3)x （ , ）A0 ，215HxPx 90CBG 当APG 与 ABC 相似时，存在以下两种可能：1 则PA 13tanPAtCB
7、即 解得 1 分13H2153xx点 的坐标为 1 分P(,6)2 则AGBC 3tanPAGtBC 即 解得 1 分3PHA2315x173x点 的坐标为 1 分74(,)39奉贤区24 （本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）已知平面直角坐标系 （如图 8） ，抛物线 与 轴交于xOy )0(322mxyx点 A、B（点 A 在点 B 左侧） ，与 轴交于点 C，顶点为 D，对称轴为直线，过点 C 作直线的垂线，垂足为点 E，联结 DC、BC （1 ）当点 C（0，3）时， 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； 求证：DCE=BCE； （2）当 CB 平分DCO 时，求 的值m图 8x y
8、o11黄浦区24 （本题满分 12 分）已知抛物线 经过点 A（1,0）和 B（0,3） ，其顶点为 D.2yxbc（1）求此抛物线的表达式；（2）求ABD 的面积；（3）设 P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作 PH对称轴，垂足为 H，若DPH 与AOB 相似，求点 P 的坐标.24. 解：（1）由题意得： ，（2013bc分）解得： ，（1 分）43bc所以抛物线的表达式为 . （1 分）243yx（2）由（1）得 D（2，1） ，（1 分）作 DTy 轴于点 T,则ABD 的面积= .（31124321分）（3）令 P .（12,pp分）由DPH 与 AOB 相似，易知AOB
9、=PHD=90，所以 或 ，（22431p2431p分）解得： 或 ，5p73所以点 P 的坐标为（5,8） ， .（1 分）8,9金山区24 （本题满分 12 分，每小题 4 分）平面直角坐标系 xOy 中（如图 8） ，已知抛物线 经过点 A（1,0）和2yxbcB（3,0） ，与 y 轴相交于点 C，顶点为 P （1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标； （2）点 E 在抛物线的对称轴上，且 EA=EC，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线 MN，点 Q 在直线 MN 右侧的抛物线上，MEQ=NEB，求点 Q 的坐标24解 ：（ 1）二次函数 的图像经过点
10、 A（1，0 ）和 B（3，0） ，2yxbc图 8 ，解得： ， （2 分）1093bc4b3c这条抛物线的表达式是 （1 分）2yx顶点 P 的坐标是 （2，-1） （1 分）（2）抛物线 的对称轴是直线 ，设点 E 的坐标是（2，m） （143yx分）根据题意得： ，解得：m=2，（2222(1)(0)()(3)m分）点 E 的坐标为（2，2 ） （1 分）（3 ）解法一：设点 Q 的坐标为 ，记 MN 与 x 轴相交于点 F2(,43)tt作 QDMN ，垂足为 D， 则 ， （1 分）2t221ttQDE= BFE=90， QED=BEF， QDE BFE，（1 分） ， ，QEBF
11、241tt解得 （不合题意，舍去） ， （1 分）1t25t ，点 E 的坐标为（5，8 ） （1 分）解法二：记 MN 与 x 轴相交于点 F联结 AE，延长 AE 交抛物线于点 Q，AE=BE， EFAB， AEF= NEB，又 AEF= MEQ， QEM= NEB，（1 分）点 Q 是所求的点，设点 Q 的坐标为 ，2(,43)tt作 QHx 轴，垂足为 H，则 QH= ，OH=t，AH =t-1，EFx 轴，EF QH， ， ，（1 分）EFA243tt解得 （不合题意，舍去） ， （1 分）1t25t ，点 E 的坐标为（5，8 ） （1 分）静安区24 （本题满分 12 分，第（1
12、）小题满分 4 分，第（2 ）小题满分 4 分，第（3 ）小题满分4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B（8,0）和点 C（9 ， ） 抛物线xBC第 24 题图Oy（a，c 是常数，a0 ）经过点 B、C，且与 x 轴的另一交点为 A对称轴xay82上有一点 M ，满足 MA=MC（1 ） 求这条抛物线的表达式； （2 ） 求四边形 ABCM 的面积； （3 ） 如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AD/BC，求点 D 的坐标 24 （本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2 ）小题 4 分，第（3 ）小题 4 分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴
13、 ax8，即 x （1 分）点 B（8,0）关于对称轴的对称点为点 A（0,0） 0c， （1 分）将 C（9，-3 ）代入 ay2，得 31（1 分）抛物线的表达式： x8312（1 分）（2 ） 点 M 在对称轴上， 可设 M（4，y ）又MA=MC ，即 22CA 2)3(54y, 解得 y=-3, M（4 ，-3） （2 分）MC /AB 且 MCAB, 四边形 ABCM 为梯形，, AB=8,MC=5,AB 边上的高 h = yM = 3 239)58(21)(21HCABS（2 分）(3) 将点 B（8,0）和点 C（9， 3）代入 bkxyBC 可得3908bk，解得 24bk由
14、题意得，AD/BC,3BC AD， xyAD3（1 分）又AD 过（0,0） ，DC =AB=8，设 D(x,-3x) 228)()9x, （1 分）O BCyAMx解得 1x(不合题意，舍去)，5132x（1 分） 539y点 D 的坐标 )9,(（1 分）闵行区24 （ 本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于2yaxc点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C（0，3 ） （1 ）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2 ）求证：DAB=ACB；（3 ）点 Q 在抛物线上，且ADQ 是以 AD 为底的等腰三角形，求
15、 Q 点的坐标 24解：（1）把 B（1，0）和 C（0 ，3）代入 2yaxc中，得 963ac，解得 1c（2 分）抛物线的解析式是： 23yx（1 分）顶点坐标 D（1，4） （1 分）（2 ）令 0y，则 230x， 1， 21x， A（3，0） OAC，CAO=OCA（1 分）在 RtB中， tanOBC（1 分） 32， D， 25A， 0， 2； AC， 是直角三角形且 90ACD， 1tan3，又DAC 和 OCB 都是锐角，DAC=OCB（1 分）A BOCxy（第 24 题图）D DACOBCA，即 （1 分）（3 ）令 (Qx， )y且满足 23x， (,0)， (1D，
16、4） 是以 AD 为底的等腰三角形， 2A，即 222()1)yy， 化简得： 0x（1 分）由 23y，（1 分）解得148xy，2418xy点 Q 的坐标是 341,， 341,8（2 分）普陀区24 （本题满分 12 分）如图 10，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、xOy3ykxyA，并与抛物线 的对称轴交于点 ，抛物线的顶点是点 B2174yb2,CD（1 ）求 和 的值；kb（2 ）点 是 轴上一点，且以点 、 、 为顶点的三角形与 相似，求点 的GBGBCG坐标；（3 ）在抛物线上是否存在点 ：它关于直线 的对称点 恰好在 y轴上如果存在，直EAF接写出点
17、的坐标，如果不存在，试说明理由E24解：（1 ） 由直线 经过点 ，可得 . （1 分）3ykx2,C12k图 10 xy1 1O由抛物线 的对称轴是直线 ，可得 .（1 分）2174yxb2x1b（2 ） 直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，3yAB点 的坐标是 ，点 的坐标是 .（2 分）A6,0B0,3抛物线的顶点是点 ，点 的坐标是 . （1 分）D92,点 是 轴上一点，设点 的坐标是 .GyG0,mBCG 与BCD 相似，又由题意知， ，BCDBCG 与 相似有两种可能情况： （1 分）BCD如果 ，那么 ，解得 ，点 的坐标是 .（1 分） 352 1 G0,如果 ，那么 ，解
18、得 ，点 的坐标是 .（1 分）GCB 5m 2 ,2综上所述，符合要求的点 有两个，其坐标分别是 和 0,1,（3 ）点 的坐标是 或 .（2 分+2 分）E91,42,青浦区24.（本题满分 12 分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题 4 分）已知：如图 8，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 23yaxb的图像与 x 轴交于点A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，顶点 C 在直线 x上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移，当顶点 C 恰好落在 y 轴上的点 D 处时，点 B 落在点 E 处（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段 BC 所扫过的面积； （3）已知点 F 在
19、x 轴上，点 G 在坐标平面内，且以点 C、E、F、G 为顶点的四边形是矩形，求点 F 的坐标 ABO xy备用图ABO xy图 824解：（1）顶点 C 在直线 上， ， （1 分）2x2bxa4a将 A（3，0 ）代入 ，得 ， （1 分）3ya93=0解得 ， （1 分）1a4b抛物线的解析式为 （1 分）2x（2 ）过点 C 作 CMx 轴，CNy 轴，垂足分别为 M、N = ，C（2， ） （1 分）243y11 ，MAC=45，ODA=45，1MA （1 分）OD抛物线 与 y 轴交于点 B，B（0 ， ） ，2yx 3 （1 分）6B抛物线在平移的过程中，线段 BC 所扫过的面积
20、为平行四边形 BCDE 的面积， （1 分）12621AABCDEBSDCN（3 ）联结 CE.四边形 是平行四边形，点 是对角线 与 的交点，OEBD即 .5O（i）当 CE 为矩形的一边时，过点 C 作 ，交 轴于点 ，1Fx1F设点 ，在 中， ，1Fa（ ,0） 1RtA221=即 ，解得 ，点 （1 分）22()55a（ ,0）同理，得点 （1 分）2（ -,）（ii）当 CE 为矩形的对角线时，以点 为圆心， 长为半径画弧分别交 轴于点OCx、 ，可得 ，得点 、 （2 分）3F434=5F3F（ ,0） 45（ -,0）综上所述：满足条件的点有 ， ， ） ， 152（ ,0）
21、2（ -,） （ ） （ ）松江区24 （本题满分 12 分，每小题各 4 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， ） ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A（1 ）求该抛物线的表达式；（2 ）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长；（3 ）如果ABP 的面积等于ABC 的面积，求点 P 坐标24 （本题满分 12 分，每小题各 4 分）解：（1）抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1 ， ） 12ab2 分解得： b 1 分抛物线的表达式为：y=x 2-2x；1 分（2 ）
22、 点 P 的横坐标为 m，P 的纵坐标为： m2-2m1 分令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P 作 PNx 轴，垂足为点 NP 是抛物线上位于第一象限内的一点，PN = m2-2m，ON=m，O M=1由 NB得21B1 分 BM=m-21 分 点 C 的坐标为（1， ） ， BC= m-2+1=m-11 分（3 ）令 P(t，t 2-2t) 1 分ABP 的面积等于ABC 的面积AC=AP过点 P 作 PQBC 交 BC 于点 Q(第 24 题图 )yPO xCBA(第 24 题图 )yPO xCBACM =MQ=1t 2-2t=1 1 分 1（ 2t舍去） 1 分 P 的坐标为（ ,
23、1）1 分徐汇区24. 如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，抛物线2yxyBC21yxbc过点 、 ，且与 轴交于另一个点 .BCA（1 ）求该抛物线的表达式；（2 ）点 是线段 上一点，过点 作直线 轴MMly交该抛物线于点 ，当四边形 是平行四边形时，NONC求它的面积；（3 ）联结 ，设点 是该抛物线上的一点，且满足ACD，求点 的坐标.DB杨浦区24、 （本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）如图 8，在平面直角坐标系中，抛物线 于 X 轴交于点 A、B，于 y 轴交于点 C，直线 经过点 A、C ，点 P 为抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点。（1） 求抛物线的表达式（2） 如图（1） ，当 CP/AO 时，求PAC 的正切值。（3） 当以 AP、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标。
