1、第一部分 考点研究第四单元 三角形第 21 课时 图形的相似浙江近 9 年中考 真题精选命题点 1 平行线分线段成比例(杭州 2 考，温州 2013.9)1. (2017 杭州 3 题 3 分)如图，在 ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上， DE BC.若BD 2AD，则( )A. B. ADAB 12 AEEC 12C. D. ADEC 12 DEBC 12第 1 题图2. (2015 嘉兴 5 题 4 分)如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1，l 2，l 3于点A， B， C；直线 DF 分别交 l1，l 2，l 3于点 D， E， F， AC 与 DF
2、 相交于点 H，且AH2， HB1，BC5，则 的值为( )DEEFA. B. 2 C. D. 12 25 35第 2 题图3. (2015 金华 14 题 4 分)如图，直线 l1，l 2，l 6是一组等距的平行线，过直线 l1上的点 A 作两条射线，分别与直线 l3，l 6相交于点 B，C，E，F.若 BC2，则 EF 的长是_第 3 题图命题点 2 相似三角形的判定及性质类型一 A 字型(杭州 2 考，台州 2013.9)4. (2013 台州 9 题 4 分)如图，在 ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上，且 ，AEAB ADAC 12则 SADE S 四边形 BCED
3、的值为( )A. 1 B. 12 C. 13 D. 143第 4 题图5. (2016 舟山 15 题 4 分)如图，已知 ABC 和 DEC 的面积相等，点 E 在 BC 边上，DE AB 交 AC 于点 F， AB12， EF9，则 DF 的长是_第 5 题图6. (2017 杭州 19 题 8 分)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC， AB 上，AG BC 于点 G， AF DE 于点 F， EAF GAC.(1)求证： ADE ABC；(2)若 AD3， AB5，求 的值AFAG第 6 题图7. (2016 杭州 19 题 8 分)如图，在 ABC 中，点 D，
4、E 分别在边 AB， AC 上， AEDB，射线 AG 分别交线段 DE， BC 于点 F，G，且 .ADAC DFCG(1)求证： ADFA CG; (2)若 ，求 的值ADAC 12 AFFG第 7 题图类型二 垂直型(绍兴 2013.23)第 8 题图8. (2014 丽水 10 题 3 分)如图， AB4，射线 BM 和 AB 互相垂直，点 D 是 AB 上的一个动点，点 E 在射线 BM 上， BE DB，作 EF DE 并截取 EF DE，连接 AF 并延长交射线 BM 于点 C，12设 BEx， BCy，则 y 关于 x 的函数解析式是( )A. y B. y12xx 4 2xx
5、 1C. y D. y3xx 1 8xx 49. (2013 绍兴 23 题 12 分)在 ABC 中， CAB90， AD BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上(1)如图， AC AB12， EF CB，求证： EF CD；(2)如图， AC AB1 ， EF CE，求 EF EG 的值3第 9 题图10. (2015 丽水 23 题 10 分)如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BE 上的一点，连接 CF 并延长交 AB 于点 M， MN CM 交射线 AD 于点 N.(1)当 F 为 BE 中点时，求证： AM
6、CE；(2)若 2，求 的值；ABBC EFBF ANND(3)若 n，当 n 为何值时， MN BE?ABBC EFBF第 10 题图命题点 3 相似三角形的应用(绍兴 2014.20)11. (2015 衢州 9 题 3 分)如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60 cm 长的绑绳 EF， tan ，则“人字梯”52的顶端离地面的高度 AD 是( )A. 144 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 360 cm第 11 题图12. (2014 绍兴 20 题 8 分)课本中有一道作业题：有一块三角形余料
7、ABC，它的边 BC120 mm，高 AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB， AC 上问加工成的正方形零件的边长是多少 mm?小颖解得此题的答案为 48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下问题：(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算图(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条 边长第 12 题图命题点 4 相似多边形(绍兴 2014.16
8、)13. (2014 绍兴 16 题 5 分)把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸” ，现在我们在长为 2 ，宽为 1 的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩2形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形纸的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是_答案1 B 【解析】 DE BC， BD 2AD， ， .ADDB AEEC 12 ADAB AEAC DEBC 132 D 【解析】l 1l 2l 3， .DEEF ABCB 2 15 3535 【解析】直线 l1，l 2，l 6是一组等距的平行线，可设 AB2d，则AE5
9、d， BC EF， ，又 BC2， EF5.BCEF ABAE 254 C 【解析】在 ADE 与 ACB 中， ， A A， ADE ACB，S ADES AEAB ADACACB( AE AB)214，S ADE S 四边形 BCED13.57 【解析】 ABC 与 DEC 的面积相等， CDF 与四边形 AFEB 的面积相等， AB DE， CEF CBA， EF9， AB12， ， .设 CEFEFAB 912 34 S CEFS CBA 916的面积为 9k，则四边形 AFEB 的面积为 7k， CDF 与四边形 AFEB 的面积相等，S CDF7k， CDF 与 CEF 是同高不同
10、底的三角形，它们的面积比等于底之比， ， DF7.DFEF 7k9k 796(1)证明：在 ABC 中， AG BC 于点 G， AF DE 于点 F， AFE AGC90，在 AEF 和 ACG 中， AFEA GC， EAF GAC， AEF ACG， AEFC.(2 分)在 ADE 和 ABC 中， AEDC， EAD CAB， ADE ABC；(4 分)(2)解：由(1)知 ADE ABC， ，(6 分)ADAB AEAC 35又 AEF ACG， .(8 分)AFAG AEAC 357(1)证明： AED B， DAE DAE， ADF C，又 ，ADAC DFCG ADF ACG；
11、(4 分)(2)解： ADF ACG， ，ADAC AFAG又 ，ADAC 12 ，AFAG 12 1.(8 分)AFFG8 A 【解析】如解图，过点 F 作 FG BC 于点 G， FGE9 0， DEB FEC90， DEB BDE90， BDE FEG，又 B90，B FGE90，又 EF DE， DBEEGF， EG DB， GF BEx， BE DB，EG DB 2BE2x， GCy3x， FG BC，12AB BC， FG AB， FCG ACB， ，即 ，解得 y ，故选 A.CGCB FGAB y 3xy x4 12xx 4第 8 题解图9(1)证明：在 ABC 中， CAB9
12、0， AD BC 于点 D， CAD B90 ACB， AC AB12， AB 2AC，点 E 为 AB 的中点， AB 2BE， AC BE.在 ACD 与 BEF 中， CAD B ADC BFEAC BE ) ACD BEF(AAS)， EF CD；(6 分)(2)解：如解图，作 EH AD 于点 H， EQ BC 于点 Q， EH AD， EQ BC， AD BC，四边形 EQDH 是矩形， QEH90， FEQ GEH90 QEG，又 EQF EHG90， EFQ EGH， ，EFEG EQEH AC AB1 ， CAB90，3 B30，在 Rt BEQ 中， BQE90， sinB
13、 ，EQBE 12 EQ BE，12在 Rt AEH 中， AHE90， AEH B30， cos AEH ，EHAE 32 EH AE，32点 E 为 AB 的中点， BE AE， EF EG EQ EH BE AE1 .(12 分)12 32 3第 9 题解图10(1)证明：在矩形 ABCD 中， AB CD， CEF MBF， F 为 BE 中点， BF EF，在 CEF 与 MBF 中， CEF MBFEF BF EFC BFM) CEF MBF(ASA)， CE MB，又 E 为 CD 的中点， CE ，CD2 MB ，CD2 AB2即 M 为 AB 的中点， AM MB， AM C
14、E；(3 分)(2)解： AB CD， ECF BMF， ，EFBF ECBM 2，EFBF EC2BM，设 BMk，则 EC 2k， DC4k， BC AD2k， AM3k， A ABC90， CMB BCM90， MN CM， CMB AMN90， AMN BCM， BMC ANM， ，即 ，BMAN BCAM kAN 2k3k AN ，3k2 ND AD AN ，k2 3；(6 分)ANND(3)解：由(2)得 ， ，设 BMk，根据 n 得EFBF ECBM BMAN BCAM ABBC EFBFEC nk， DC 2nk， BC2k， AM2nkk， ，即 AN ，kAN 2k2nk
15、 k （ 2n 1） k2若 MN BE，则 AMN ABE BEC，A BCD90， AMN CEB， ，即 ，AMCE ANCB 2nk knk （ 2n 1） k22kA M 2nkk0，n4.(10 分)11 B 【解析】由题意知 ，又 EF60 cm， BC144 cm， CD BC72 EFBC AEAB 512 12cm， tan ， AD180 cm.ADCD 5212解：(1)设矩形的边长 PN2y mm，则 PQy mm，由条件可得 APN ABC， ，PNBC AEAD即 ，2y120 80 y80解得 y ，2407PN 2 mm.2407 4807答：这个矩形零件的两
16、条边长分别为 mm， mm；(4 分)2407 4807(2)设 PNx mm，矩形 PQMN 的面积为 S mm2，由条件可得 APNA BC， ，PNBC AEAD即 ，x120 80 PQ80解得 PQ80 x，23S PNPQx(80 x) x280x (x60) 22400，23 23 23 0，23S 存在最大值，最大值为 2400 mm2，此时 PN60 mm，PQ80 6040 mm.23答：这个矩形面积达到最大值时，矩形零件的两条边长分别为 40 mm，60 mm.(8 分)134 【解析】要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片2154长与宽的和最大，原矩形的长与宽之比为 2 1，剪得的两个小矩形中，一个矩形的2长为 1，宽为 ，另外一个矩形的长为 2 ，宽为 ，1122 24 2 24 724 724 122 78所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 2(1 )4 .24 724 78 2 154
