1、1. 文献概述文献来源：Cuthbertson, K., Hayley, S., Motson, N. and Nitzsche, D. (2016). What Does Rebalancing Really Achieve?. International Journal of Finance & Economics。1.1. 文章摘要“再平衡收益”与“分散化收益”是不相同的：前者特定于再平衡策略，后者可以通过再平衡和非再平衡策略获得。对这两者的不正确理解会导致投资者遵循分散化不足和交易成本过高的策略。本文通过理论和模拟实验表明组合期望增长率的来源是分散化收益，非再平衡组合与再平衡组合都能产
2、生分散化收益。虽然在均值回归的市场中，再平衡投资组合在无限期投资情况下具有明显优势，但是在有限期情况下，仍有接近30%的概率非再平衡组合的业绩要好于再平衡组合。因此，理性的评估市场收益风险特征与组合持仓周期才是获取再平衡收益的关键。1.2. 文献评述再平衡是指根据固定的周期，对投资组合重新进行权重分配，使组合内资产保持在固定的比例。再平衡策略是许多投资组合的重要组成部分，比如被动策略通常根据一些预定的规则选择投资组合权重，此类策略的一个关键因素就是再平衡的频率。再平衡投资策略也通常会跟非再平衡的投资组合进行对比，比如买入并持有策略(buy and hold)，即投资组合的权重允许根据组合资产的
3、相对回报而变化。再平衡在投资策略中普遍存在，而对再平衡与非再平衡的优劣也各持一词，因此对再平衡的价值进行正确理解和深入分析至关重要。1.3. 文献框架本文主要研究投资组合再平衡策略的价值，以及再平衡策略所产生的超额增长的真实来源。首先本文回顾了有关再平衡策略的理论和实证文献，提出：1.再平衡组合的超额收益来源是什么？2.再平衡投资组合是否一定好于非再平衡组合？随后，通过实证拆解“再平衡收益”与“分散化收益”，发现：1）“分散化收益”既可以通过再平衡组合获取，也可以通过非再平衡组合获取； 2）在不存在资产价格均值回归的情况下，非再平衡组合的资产权重产生漂移进而导致组合的分散化程度降低，由此两类组
4、合的期望收益率产生了差异；3）在不存在资产价格均值回归的再情平况衡下投，资组合期望收益大部分是由其较低的波动率所贡献的，而非再平衡交易本身。最后，通过研究单一风险资产与无风险资产构建的再平衡组合得出：在组合初始，再平衡组合和非再平衡组合具有相同的增长率，但随着非再平衡组合的组成资产权重逐渐偏离，波动率增加，从而产生不同的增长率。如果风险资产具有均值回归的特性，那么再平衡策略大概率会优于非再平衡策略；在趋势共振的情况下，买入并持有策略可能好于再平衡。2. 研究再平衡策略的意义投资组合权重的选择是最优化投资组合收益的关键，而再平衡策略便是这一步骤的重要组成部分，它对最大化投资组合的期望收益率有着至
5、关重要的作用。2.1. 再平衡策略是否提供了超额收益？从一部分文献的研究结论上看，对于固定配比组合来说，假定资产服从随机游走并且遵循独立同分布，再平衡投资组合效果是优于“买入并持有”策略（buy-and-hold）的。但是 Cheng 和 Deets (1971)比较了“买入并持有”和再平衡策略的表现，发现了不同的结论。假设风险资产遵循随机游走，并且是独立同分布的，那么当所有风险资产的平均收益相等时，“买入并持有”策略和再平衡策略提供的组合最终回报是相同的。如果至少有一对资产收益不相同，那么在同初始权重的“买入并持有”策略会产生高于再平衡策略的最终回报。而且，如果资产收益率的离散程度越大，投资
6、期限越长，“买入并持有”策略在期望增长率方面的相对优势也越大。Fernholz 和 Shay(1982), Perold 和 Sharpe(1988), Luenberger(1997),以及 Gabay 和 Herlemont(2007)等则认为两种策略的优劣取决于时间𝑡风险资产的波动率。对由一个风险资产和一个无风险资产构成的组合进行分析，假定风险资产的收益率遵循对数正态扩散过程，有：𝑆𝑡 = exp(𝑔𝑡 + 𝜎𝑊(𝑡)其中，g = 𝜎2，为资产的
7、均值，为资产的波动率，𝑊(𝑡)是维纳过2程，𝑆𝑡为风险资产的期望收益率。当𝑡趋于无穷大且 g=0 时，该风险资产的长期增长率趋于 0。由上述风险资产和一个无风险资产构成的再平衡投资组合在𝑡期后的资产净值为：𝑉𝑟𝑒𝑏 = (𝑆 )𝜋 𝑒𝑔𝑡𝑡𝑡其中𝑔 = 𝜋(1 𝜋) ҵ
8、90;2，𝜋为投资于风险资产的比例。对于0 𝜋 1，投2资组合的期望超额收益为正，在𝜋 = 1时取到最大并随𝜎而变化。2此时，“买入并持有”策略（简称 B&H）在𝑡期后的资产净值为：𝑉𝐵𝐻 = (1 𝜋) + 𝜋𝑆𝑡𝑡则两个组合的相对价值为：𝑡ln= 𝑉𝑟𝑒𝑏𝑉𝐵𝐻
9、;𝑡𝜋 1𝜎2 𝜋(1 𝜋)t + ln𝑡21 𝜋 + 𝜋𝑆𝑡由上述公式可以看出，两种策略的相对价值取决于时间𝑡风险资产的波动率。Dempster, Evstigneev 和Schenk-Hoppe (2007)发现用平稳随机过程表示N种资产的等权再平衡策略也会产生超额收益。通过实证发现，如果组合的单一资产的长期收益率为零，那么通过再平衡策略获取的收益似乎是 “免费的午餐”（Free Money）。这些研究从理论上证明了
10、再平衡策略对于投资组合最终的收益是存在一定影响的，尤其是 Fernholz 和 Shay(1982)提出即使当资产回报在时间序列上没有可预测的结构时(例如资产价格遵循几何布朗运动)，再平衡组合也会产生更好的期望增长率，因为它们产生了“再平衡收益”，而这在非再平衡组合中是完全没有的。2.2. 影响再平衡策略收益的因素有哪些？大量的实证文献试图寻找影响再平衡策略收益的因素。以股票债券的组合为例，由于不同的绩效指标、市场环境、时间范围、再平衡的频率以及交易成本，实证结果大相径庭：Arnott 和 Lovell 在 1993 年提出结论，股债组合的再平衡策略优于“买入并持有”策略，但是 Plaxco
11、和 Arnott (2002)认为“买入并持有”策略仅在具有趋势的市场中表现突出，市场的特征影响了再平衡策略的收益。然而，大多数的这些实证仅考虑了少数资产，包括几类股权资产与债券资产，因此不能确定相应的结果具有统计意义。Plyakha et al. (2012)通过从标普 500 指数随机抽取 100 只股票构建投资组合，发现再平衡的等权组合在平均回报、四因子 alpha 以及风险调整收益方面都优于其他组合。他们将此归因于再平衡是“一种利用股价反转的反向策略”。然而，这一发现与 Fernholz 和 Shay(1982)提出的，即使资产收益遵循几何布朗运动，再平衡也能优于非再平衡组合这一主张存
12、在较大差异。2.3. 研究方向再平衡策略是对投资组合权重的对再最优大化化，投资组合的期望收益率有着重要作用。因此，本文对再平衡策略的研究集中于以下几个方面：1. 证明再平衡策略是否相比于“买入并持有”策略带来了超额收益2. 拆解影响此超额收益的因素：再平衡策略的超额收益是否与资产或市场的收益风险情况有关，是否与投资周期有关。3. 再平衡策略具有一定的局限性3.1. 算数收益率与几何收益率之间的关系评价策略的优劣即考虑该策略未来的期望收益率的高低。所谓算数收益率，即资产经过投资周期后，最终达到的收益率情况；而几何收益率不仅仅考虑了资产终值，还考虑了投资过程中资产的波动。记算数收益率为 AM（ar
13、ithmetic growth），几何收益率为 GM（geometric growth），则两者的关系如下：𝜎2E GM E AM 2上式说明，在其他条件相同的情况下，如果一项资产或组合具有较高的波动性，则它将产生较低的期望几何收益率。比如一个价值 1000 的资产，先下跌 5%再增长 5%和先下跌 50%再增长 50%，对于算数收益率而言，这两种收益方式的结果是相同的。但是对于几何收益率而言，前者使得资产终值变成 975，而后者则变成 750。图 1 展示了在终值 A 相同的情况下，组合的波动率越大，几何收益率越低，为 C。图 1：组合波动率越大，几何收益率越低Cuthber
14、tson K. et al. (2016) 。因此，评估再平衡策略的有效性时，需要从两个方面来看：1）再平衡策略是否降低了组合的波动增率加，了从投而资组合的几何收益率，是否增加了投资组合的资产终值；2）再平衡策略卖出部分最近一段时间表现优异的资产，买入表现不佳的资产。是否这些资产的相对价格走势在未来发生逆转，使得再平衡策略本身给投资组合带来了更高的资产终值，即再平衡策略实现算数回报是否依赖于资产本身的收益风险特征。3.2. 再平衡策略降低了组合的波动率首先，我们对观点“再平衡策略降低了组合的波动率，从而增加了投资组合的几何收益率，但是实际上并未增加投资组合的资产终值”进行证明。假定资产收益的概
15、率分布函数独立同分布，对于多个像这样的资产所构成的投资组合p与单一资产𝑖之间的几何收益率之差如下：( 1 2 )( 1 2 )E 𝐺𝑀𝑝 E 𝐺𝑀𝑖 E 𝐴𝑀𝑝 2 𝜎𝑝 E 𝐴𝑀𝑖 2 𝜎𝑖根据定义，投资组合的期望算数收益率是其组成资产的期望算数收益率的加权平均值，故E𝐴𝑀𝑝
16、= E𝐴𝑀𝑖 ，可以得到：122E 𝐺𝑀𝑝 E 𝐺𝑀𝑖 2 (𝜎𝑖 𝜎𝑝 )因为假定每一项资产的概率分布函数独立同分布，由此，单一资产𝑖的几何收益率也可以看作是多个与𝑖相同的资产组合而成的几何收益率。那么 E𝐺𝑀𝑝 E𝐺𝑀𝑖 就可以看作是分散化投资所带来的收益。从
17、等式的右侧可以看到，分散化投资带来的收益完全是由组合波动率的降低所带来的，与是否再平衡无关。然后，我们考虑包含 N 个风险资产的投资组合，N=2 到 100。建立两个对照组，分别满足以下两个条件：1）一个平均加权的投资组合，每个月进行再平衡；2）一个初始权重为 1/N 的非再平衡投资组合，其权重根据相对资产回报变化。假设每月资产的收益率服从独立同分布，且不自相关，算数年化收益率为 10%，年化波动率为 20%。对于每个资产组合，我们都进行了 10000 次的蒙特卡洛模拟，每一个模拟的时间跨度为 100年。结果如图 2 所示，再平衡和非再平衡投资组合的波动率随着 N 的增加而下降。然而，对于每一
18、个 N，非再平衡的投资组合具有更高的平均波动率。如果不进行再平衡，每项资产的权重往往会随着时间的推移而出现差异，从而导致投资组合的有效分散程度降低。虽然组合的算数收益率保持不变，但几何收益率随着波动率的减小而增加，这与EGM EAM 𝜎2相一致。由此可以得到结论，再平衡策略并不会增加分散化2投资的收益，但是可以降低组合的波动率从而增加组合的几何收益率。图 2：再平衡策略有效降低了组合的波动率，增加了组合的几何收益率Cuthbertson K. et al. (2016) 。我们也研究了不同初始权重下的再平衡策略的有效性情况。通过实证发现：1）初始配置比例为 50：50 权重可以
19、使得组合的波动率最小；2）随着投资组合权重随时间偏移，非再平衡的投资组合的波动率会越来越大； 3）非再平衡投资组合中，如果单一资产占投资组合权重达到了 86%或更多，那么反而会导致整体组合的波动率降低，因为单一资产随着时间的推移所占组合比例越来越大，直至均衡；4）组合的波动率和几何回报率之间依然存在与上文相似的关系，即EGM EAM 𝜎2，进一步确认2组合的几何收益率仅仅与投资组合的波动率相关，而与再平衡与否无关，再平衡和非再平衡投资组合不同的几何收益率完全可以用两者产生的不同波动率来解释，再平衡策略并不能带来额外的“再平衡收益”。图 3：再平衡策略有效降低了组合的波动率，增加
20、了组合的几何收益率Cuthbertson K. et al. (2016) 。因此，综上所述，再平衡策略降低了组合的波动率，从而增加了投资组合的几何收益率，但是实际上并未增加投资组合的资产终值。3.3. 再平衡策略的有效性依赖于资产收益的均值回归其次，我们来证明观点“再平衡策略的有效性依赖于资产本身的收益风险特征”。我们先来论证：当底不层存资在产特定的收益风险特征时，再平衡策略相对于非再平衡策略并未体现出有效性。两类策略均是通过分散化投资获取投资组合的超额收益，而与策略本身无关。假设资产收益的概率分布函数遵循独立同分布的几何布朗运动，且期望几何收益率为 0。我们构造一个由资产 x 与资产 y
21、组成的“买入并持有”投资组合 u，此投资组合的初始资产为 1。按照定义，由 x 和 y 这两个资产构造的投资组合期望几何收益率应该为 0，那么如果此投资组合的期望几何收益大于 0，则说明分散化投资本身就可以带来超额收益，而不依赖于再平衡策略。假设，投资组合的资产净值随 x 和 y 的变化公式为：𝑃𝑢 = 0.5 𝑒𝑥𝑡 + 0.5 𝑒𝑦𝑡通过泰勒展开式展开可以得到：𝑃𝑢 1 + 𝑥𝑡22𝑥
22、 2𝑡 + 41 + 𝑦 𝑡 + 𝑡𝑦2224𝑥𝑡 + 𝑦𝑡1 𝑥𝑡 + 𝑦𝑡 21𝑥𝑡+𝑦𝑡1𝑃𝑢 1 +2+ 2 (2) + 8 (𝑥𝑡 𝑦𝑡 )2 𝑒2+ 8 (𝑥𝑡 w
23、910;𝑡)2根据定义，log(𝑃𝑢 ) = log(0.5 𝑒𝑥𝑡 + 0.5 𝑒𝑦𝑡 ) 𝑥 𝑡+𝑦𝑡。由此，如果𝑥2𝑡与𝑦𝑡相等，那么，组合的期望几何收益率为 0。但是，如果𝑥𝑡 与𝑦𝑡不相等，那么原公式就可以拆解为 𝑒log(⻓
24、5;𝑢) + 1 ( 𝑦 )21 (𝑥 𝑦 )2𝑢8𝑡，其中，𝑡𝑡8𝑡为正数，说明此时组合的期望几何收益大于 0，即分散化投资并不依赖于再平衡策略，“买入并持有”策略也能获取分散化的投资收益。再平衡策略获取资产终值的增加，需要依赖于“在下跌时买入，在上涨时卖出”，而这一假设条件是以假定资产收益存在负自相关性为前提的，即资产的收益存在均值回归的特征。再平衡策略在某一资产表现优于投资组合中其他资产时卖出该资产，而在某一资产表现弱于投资组合中其他资产时买入该
25、资产，但是这些操作需要在资产价格反转之前才可以获取资产终值的增加。否则，再平衡策略虽然可以降低整体组合的波动率，达到增加资产几何收益率的目的，但是事实上并未对资产的最终值产生任何影响。因此，以资产终值，即组合的算数收益率为衡量标准来看，在倾向于均值回复的市场中，再平衡策略将是有利可图的，而在趋势性市场中，再平衡策略的表现弱于“买入并持有”策略。4. 再平衡策略获取收益的来源以几何收益率为衡量标准来看，再平衡策略降低了组合的波动率，优于 “买入并持有”策略；以算数收益率为衡量标准来看，在倾向于均值回复的市场中，再平相衡较策于略“买入并持有”策略更有优势。4.1. 再平衡策略可以有效的控制波动率假
26、设两类资产，即无风险资产和波动率为𝜎的风险资产。为了方便起见，设定它们的收益分布符合几何布朗运动，期望几何收益率为 0。将这两类资产按照50%风险资产和50%无风险资产进行组合，按照再平衡调仓，使两类资产的配置比例始终稳定于 50：50。根据算数收益率 AM 与几何收益率 GM 之间的关系，EGM EAM 𝜎2以及波动率的情况，可以计算出 50：50 组合的几何收益率。对于全部2为风险资产的组合来说，该组合的期望几何收益率为 0，而波动率为𝜎，𝜎2那么它的算数收益率为2；对于全部为无风险资产的组合来说，该组合的期望几何收益率为 0
27、，而波动率为 0，则它的算数收益率也为 0；对于 50：50 的组合来说，该组合的波动率只有风险资产的四分之一，而算数收益率为风险资产收益率*50%与非风险资产收益率*50%𝜎2之和，即为𝜎2，4那么它的期望几何收益率即为 。8表 2：三类组合的收益率特征Cuthbertson K. et al. (2016) 。这一结果表明，对于 100%的风险资产组合，期望算数收益率完全被波动率阻力（volatility drag）抵消，导致整体的期望几何收益率为 0；相比之下，50:50 组合的期望算数收益率只有风险资产的一半大，但是只受到四分之一的波动率阻力，因此获得了
28、正的期望几何收益率。通过对风险资产与非风险资产配置不同的比例，来观察再平衡策略与 “买入并持有”策略之间的异同。再平衡策略是维持资产的配置比例不变，因此策略在投资周期中的任一时间点上的期望几何收益为固定值，但是“买入并持有”策略的配置比例一直随着资产的走势在变化，因此，该策略的期望几何收益始终处于变化的状态，如下图所示：图 4：“买入并持有”策略的期望算数收益率与期望几何收益率Cuthbertson K. et al. (2016) 。从图中可以看出，“买入并持有”策略的期望几何收益随持有风险资产的比例变化而变化，在 50：50 的配置比例下达到最高点。上图也可以理解为再平衡策略的初始配置比例
29、：通过组合风险资产与无风险资产，再平衡策略组合的期望几何收益率情况。由此，可以得到结论，在再平衡策略风险资产配置比例较低时，也是“买入并持有”策略刚进入投资周期时，此时风险资产配置的比例不大，波动率较低，两类策略所构成的组合的期望几何收益率相差不大。但是，随着风险资产配置比例的增加，风险资产给整体组合带来的波动率阻力增加，“买入并持有”策略组合的期望几何收益率下降，而再平衡策略可以通过调仓，将组合的配置比例稳定在最优的 50：50 的配置比例之下，从而使得再平衡策略相较于“买入并持有”策略产生了超额的期望几何收益率。综上所述，再平衡策略通过对组合波动率的有效控制，获取了相较于“买入并持有”策略
30、的超额收益率。4.2. 资产收益均值回归与投资时长的共振假定在持续时间 t 的两个连续周期内，风险资产价格按照几何二项分布变化，增长或者下降都为𝑡。有风险资产和无风险资产构成的投资组合的初始权重相等，各为 50%。如果在第一阶段，风险资产上升，此时投资组合资产为 0.5(1+𝑡)，而后再平衡策略出售风险资产第一期收益的一半(0.25𝑡)来保持等权重，“买入并持有”策略不进行调仓。如果在第二阶段，风险资产价格下降𝑡，那么再平衡策略在这两个时期内的总收益为 0.25𝑡，买入并持有组合的收益为零。相反的是，如果风险资产在
31、两个阶段都上涨，或者在两个阶段都下跌，那么再平衡策略的表现将不如“买入并持有”策略。因此，在这两个时期内，再平衡策略优于“买入并持有”策略取决于风险资产价格在每一个投资期限结束时能够恢复到其初始值的假设。由此可见，再平衡策略的有效性取决于资产本身的收益特征。如果设定风险资产的价格遵循标准几何布朗运动，那么风险资产在 t 时刻的价格，也是 100%持有风险资产的组合的资产净值可以表示为：0( 𝜎2)𝑆𝑡= 𝑆 𝑡 𝜇 2𝑡+𝜎𝑊(𝑡)我们
32、假设 S0=1，并且风险资产的预期几何收益率为 0，那么有𝜇 = 𝜎2，2𝑆𝑡 = 𝑒𝜎𝑊(𝑡)。对于 50：50 的投资组合而言，风险资产和无风险资产各占 50%，因此，组合的波动率和平均变化率均为风险资产的一半，故对于该组合而言，𝜎2𝑡+𝜎𝑊(𝑡)组合在 t 期的资产净值为Pr = 𝑒 82。如果风险资产的价格在每一个投资周期结束都回到初始的价格，即𝑆&
33、#119905; = 𝑆0 ，𝑊(𝑡) = 0，那么每一期再𝜎2平衡策略相较于“买入并持有”策略都会有8的超额几何收益率，但这依然取决于风险资产的价格能否返回到其初始值，实际的情况中，风险资产的价格并不一定会出现均值往复的情况。我们利用蒙特卡洛模拟，对再平衡策略和“买入并持有”策略的胜率进行了实证统计。可以发现，当投资周期趋于无穷时，再平衡策略优于“买入并持有”策略的概率将趋近于 100%，但是在投资者可能感兴趣的有限期限内，还是存在“买入并持有”策略优于再平衡策略的情况。如图 5所示，对于年化波动率为 10%的几何布朗运动，再平
34、衡的投资组合优于买入持有投资组合的概率需要几千年才能接近统一。并且，在长达 100年的时间里，在 100000 次模拟中，再平衡策略优于“买入并持有”策略的概率不到 70%。这说明，再平衡策略始终优于“买入并持有”策略的先决条件是投资周期足够长。图 5：再平衡策略优于“买入并持有”策略的概率Cuthbertson K. et al. (2016) 。即使风险资产回归初始价格的概率趋向于 1，但是也还是会出现不回归的情况，而且风险资产在回归初始价格时偏离的越多，对于整体组合的收益损耗将越大。再平衡策略的期望收益率在风险资产价格具有均值回归特征时优于“买入并持有”策略，相反当风险资产价格在任何一个方向上进行大幅度偏离时，即倾向于形成趋势时，再平衡策略的表现不如 “买入并持有”策略。如图 6 所示，“买入并持有”策略在两个尾部表现出色。图 6：再平衡策略和“买入并持有”策略的投资组合价值概率密度Cuthbertson K. et al. (2016) 。5. 风险提示本文结论基于历史数据与海外文献进行总结，不构成任何投资建议。
