1、第二十章 曲线积分目的与要求：掌握第一、二型曲线积分的定义，性质和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别与联系 重点与难点：本章重点是第一、二型曲线积分的定义，性质和计算公式；难点则是第一、二型曲线积分的联系. 第一节 第一型曲线积分一 第一型曲线积分的定义1 金属曲线的质量设有金属曲线 上各点的密度为二元连续函数 ，求这曲线的质量 .Lyx,M把 分成 个小弧段： ，其中 （ ）也表示这些小弧段nnss,21 isn,21的长度.在 上任取一点 ，由于线密度函数是连续的，因此当 很小时， 的质isi, isis量 便可近似地表示为： ，于是整个金属曲线地质量近似于iMiMiis,.记 ,令
2、取上式和式的极限，得 .ni iis1,inis1max0Mni iis10,lm2 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）的定义定义：设 为 平面上可求长度的曲线段， 是 上的有界函数,对曲线 作分Lxoyyxf,LL割 ，它把 分成 n 个可求长度的小曲线段 （ ） ， 的弧长记为 ，分割T i n,21i is的细度为 ,在 任取一点 （ ）,作和式 ,Tinis1maxiLi,n2,1ni iisf1,若有极限 ,且极限值 与分割 和点 在 上的取法无关,则称i iiTJf10,lJTi,iL此极限值为函数 在曲线 上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作yxf,L, dsyxfL即
3、fL,ni iiTsf10,lm称 为被积函数, 为积分曲线弧.yxfL注 1 同前面一样,并非任一个函数 在 上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若yxf,L在 上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定 在yxf,L yxf,上连续.注 2 显然物体 的质量为: MdsyxfL,注 3 类似地,我们可定义 对于空间曲线弧 的曲线积分:zyxf, dszyxf, ni iiTs10,lm注 4 若 为闭曲线,则 在 上的对弧长的曲线积分记为Lyxf,LdsyxfL,3 第一型曲线积分的性质性质 1 若 ( )存在, ( )为常数,则dsyxfLi,ni,21icn,21ds
4、yxfcLnii1,dsyxfcLini,1性质 2 如按段光滑曲线 由曲线 首尾相接而成,且n,2( )都存在,则dsyxfiL,ni,21dsyxfL,niLdsyxfi1,性质 3 若 , 都存在,且在 上 ,则fLdsyxgL gf,sf,性质 4 若 存在,则 也存在,dyxfLdsyxfL且有 sfL,fL,性质 5 若 存在, 的弧长为 ,则存在常数 ,dyxfL sc使得 . 这里 .sf,cyxfL),(in),(supyxfL二 第一型曲线积分的计算我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:定理: 设有光滑曲线 的参数方程为: , , , 函数 为Ltxtyty
5、xf,上的连续函数,则有LdsyxfL,dtttf 22,证: 详细的证明见 p199.现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用 来表示 上的以 为取值tsLt,区间所对应部分的弧长,则有 .tst dt22两边求微分,得 dttds22进而: tttfyxf 22, 又当 在 上变化时,相应地 在 上取值,故,Lt. (注:并非严格的证明)dsyxfL,dtttf 22,注 1 若 的方程为 , 则xyba,dsxfL,dxfba21,若 的方程为 , ,则ycdsxfL,dyfc 21,2 若空间曲线 的方程为: , , ， ,则有txttztdszyxfL,dttttf 222, 3
6、第一型曲线积分的计算公式中的定积分的上下限,一定满足下限小于上限.这是因为,在这里的 (或 )是无向曲线弧段,因而单从 的端点看不出上下限究竟是什么.这就L要从 (或 )的方程的形式来考虑.L又 从而当 很小时, .此时若视 为 上某一段弧的弧长,0ts0limtst t0tssL应有 .这说明此时 的变化是由小到大的.而这里 正是 的一般形状,故t i下限小于上限.例 1 设 是半园周: 0. 计算Ltayxsincot0dsyxL2解: dxL2dtat0 222cosi 3例 2 设 是抛物线 从点 到点 之间的一段弧. 计算 .xy420,O,1AdsyL解: .dsyLd202410
7、2341y例 3 设 为球面 被平面 所截的圆周,计算 .22azyxzyxdsx2解:根据对称性知 ds22dsz2dsx2zyx223131a2a32作业 p201 1、2、3第二节 第二型曲线积分一 第二型曲线积分的定义1 力场 沿平面曲线 从点 A 到点 B 所作的功),( ),(),(yxQPyxFL一质点受变力 的作用沿平面曲线 运动,当质点从 之一端点 移动到另一端 时,求力 B所做功 .yx,W大家知道,如果质点受常力 的作用从 沿直线运动到 ,那末这个常力 所做功为 =FABFW. ABF现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线
8、 作分割 ,即在 内插入L,.110nATB个分点 与 = 一起把曲线分成 个1n,.121nMAnB有向小曲线段 ,记小曲线段 的弧长为 .iiM1),2(niiM1iS则分割 的细度为 .,.10nAT maxiniST设力 在 轴和 轴方向上的投影分别为 与 ,那么 yxF, ),(yP)(xQ=yxF,),(,yxQPjyxQiP),(),(由于 则有向小曲线段 在 轴和 轴方向上的投)(11iiiii M iiM1),2(nxy影分别为 .记 =1iiiiii yx与 iL1,iiyx从而力 在小曲线段 上所作的功yF,ii1= +iW)(iiML1iP,ixiQ,iy其中( )为小
9、曲线段 上任一点,于是力 沿 所作的功可近似等于 =ji, ii F,LiWni1iniinii ysQxSP11 ),(),(当 时,右端积分和式的极限就是所求的功.0T这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.2 第二型曲线积分的定义 设 , 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线 上的函数,对 任一分割 ,它)(yxP)(QABLABLT把 分成 个小弧段 ；其中 = .ABLniiM1),2(nnM,0记各个小弧段 弧长为 ,分割 的细度为 ,ii isTmax1iiS又设 的分点的坐标为 ,T)(iiyx并记 , . 11,iiiiiix ),2(n在每个小弧段 上任取一点 ,
10、若极限iiMini iiTxP10),(lmni iiTyQ10),(lm存在且与分割 与点 的取法无关,则称此极限为函数 , 在有向线段 上的第二Ti )(yxP)(QABL类曲线积分,记为或 LdyxQyxP),(),(ABdyxyx),(),(也可记作 或 L ABP注：(1) 若记 = ,yxF,)(,yxdyxs,则上述记号可写成向量形式: .Ld(2) 倘若 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, , 为定义在 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线 的第二)(zyxP)(zQ),(zyxR L类曲线积分,并记为 dzyxRdzyxdzyxL ),(),(),(按照这一定义 ,
11、有力场 沿平面曲线 从点 到点 所作的功为 ),( ,QPFLAB.ABQdyPxW第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ,BA定积分是第二型曲线积分中当曲线为 轴上的线段时的特例.x可类似地考虑空间力场 沿空间曲线 所作的),( ,)( ,)(),( zyxRzyxQzyPzyF ABL功. 为空间曲线 上的第二型曲线积分ABL.dzyxRdzyxQdzyxP),(),(),(3 第二型曲线积分的性质 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积分问题是一样的 , 还是用黎曼的思想建立的
12、积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有黎曼积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.(1)线性性 若 都存在， ，为常数，则LiidyQxP),21(niic),21(n存在,且Lniiniicdxc11=Lniinii dyQP11 niLiidyQxP1(2) 可加性: 若有向曲线 是由有向曲线 首尾相接而成，且nL,21都存在，则 也存在，且 iLdyx),2(ni Ldyx=QPiLidyPx1注：1 平面上光滑闭
13、曲线如何规定方向呢?此时无所谓 “起点”,“终点”,若为封闭有向线段,则记为 cfds2 设 是 的反向曲线(即 和 方向相反),则LLQyPxdyPx即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关,(注意第一类曲线积分表达示是函数与弧长的乘积,它与曲线的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差别.L二 第二型曲线积分的计算曲线的自然方向: 设曲线 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.L设 为光滑或按段光滑曲线， : .L ttytx ,)( ,)(, ； 函数 和 在 上连续, 则沿 的自然方向( A)(,B)( ,PxQLL即从点 到点 的方向)有. L dttttdyxQyxP )( ,)()( ,)(),(,(证略)注：起点参数值作下限，终点参数值作上限例 1 计算 ，其中 分别沿以下路线从点 到点Ldyxy)(L)1,(A)3,2(B1）直线 AB2）抛物线 ：C1)(2xy3）三角形周界 D解 1）直线 :ABtyx21,0故 =ABdx)(6250dtt2）抛物线 ： ，C1)(2yx= =ABdxy)(dxx 10 22 14130
