1、课时分层训练(五十八) 不等式的证明1(2016全国卷)已知函数 f(x) ， M 为不等式 f(x)2 的解集|x12| |x 12|(1)求 M；(2)证明：当 a， b M 时，| a b|1 ab|.【导学号：00090382】解 (1) f(x)Error!当 x 时，由 f(x)2 得2 x2，解得 x1；12当 x 时， f(x)2；12 12当 x 时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1.12所以 f(x)2 的解集 M x|1 x1.5 分(2)证明：由(1)知，当 a， b M 时，1 a1，1 b1，从而( a b)2(1 ab)2 a2 b2 a2b21( a21)
2、(1 b2)0.因此| a b|1 ab|.10 分2已知定义在 R 上的函数 f(x)| x1| x2|的最小值为 A(1)求 a 的值；(2)若 p， q， r 是正实数，且满足 p q r a，求证： p2 q2 r23.解 (1)因为| x1| x2|( x1)( x2)|3，当且仅当1 x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.4 分(2)证明：法一：由(1)知 p q r3，且 p， q， r 大于 0，( p q r)29.又易知 p2 q2 r2 pq pr qr.8 分故 9( p q r)2 p2 q2 r22 pq2 pr2 qr3( p2 q2 r2
3、)，因此， p2 q2 r23.10 分法二：由(1)知 p q r3，又因为 p， q， r 是正实数，所以( p2 q2 r2)(121 21 2)( p1 q1 r1)2( p q r)29，故 p2 q2 r23.10 分3(2015湖南高考)设 a0， b0，且 a b .证明：1a 1b(1)a b2；(2)a2 a0， b0，得 ab1. 2 分1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1，有 a b2 2，即 a b2. 5 分ab(2)假设 a2 a0，得 00， b0，且 .1a 1b ab(1)求 a3 b3的最小值；(2)是否存在 a， b，使得 2a3 b6？并
4、说明理由解 (1)由 ，得 ab2，当且仅当 a b 时等号成立.2 分ab1a 1b 2ab 2故 a3 b32 4 ，当且仅当 a b 时等号成立a3b3 2 2所以 a3 b3的最小值为 4 . 5 分2(2)由(1)知，2 a3 b2 4 .6 ab 3由于 4 6，从而不存在 a， b，使得 2a3 b6. 10 分35(2017石家庄模拟)已知函数 f(x)| x| x1|.(1)若 f(x)| m1|恒成立，求实数 m 的最大值 M；(2)在(1)成立的条件下，正实数 a， b 满足 a2 b2 M，证明： a b2 aB解 (1) f(x)| x| x1| x( x1)|1，当
5、且仅当 0 x1 时取等号， f(x)| x| x1|的最小值为 1. 3 分要使 f(x)| m1|恒成立，只需| m1|1，0 m2，则 m 的最大值 M2. 5 分(2)证明：由(1)知， a2 b22，由 a2 b22 ab，知 ab1.又 a b2 ，则( a b) 2 aB 8 分ab ab由知， 1.ab故 a b2 aB 10 分6(2018莆田模拟)已知函数 f(x)| x1|.(1)求不等式 f(x)|2 x1|1 的解集 M；(2)设 a， b M，证明： f(ab) f(a) f( b)【导学号：00090383】解 (1)当 x1 时，原不等式可化为 x12 x2，解
6、得 x1；2 分当1 x 时，原不等式可化为 x12 x2，解得 x1，此时原不等式无12解；当 x 时，原不等式可化为 x12 x，解得 x1.12综上， M x|x1 或 x1. 5 分(2)证明：因为 f(a) f( b)| a1| b1| a1( b1)| a b|，6 分所以，要证 f(ab) f(a) f( b)，只需证| ab1| a b|，即证| ab1| 2| a b|2，即证 a2b22 ab1 a22 ab b2， 8 分即证 a2b2 a2 b210，即证( a21)( b21)0.因为 a， b M，所以 a21， b21，所以( a21)( b21)0 成立，所以原不等式成立. 10 分
