1、专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1 【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】已知椭圆 的左右焦点分别为，离心率为 ；圆 过椭圆 的三个顶点.过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于 两点.（）求椭圆的标准方程；（）证明：在轴上存在定点 ，使得 为定值；并求出该定点的坐标.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得 ，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（）设直线的方程为 ，将方程与椭圆方程联立求得 两点的坐标，计算得 。设 x 轴上的定点为 ，可得，由定值可得需满足 ，解得 可得定点坐标。解得 。椭圆的标准方程为 .
2、（）证明：由题意设直线的方程为 ，由 消去 y 整理得 ，设 ， ，要使其为定值，需满足 ，解得 .故定点 的坐标为 .点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意2 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为 k的直线 l经过点 1,0与抛物线 2:Cypx（ 0,为常数）交于不同的两点 ,MN，当 12时，弦 MN的长为 45.（1）求抛物线 的标准方程；（2）过
3、点 M的直线交抛物线于另一点 Q，且直线 经过点 ,B，判断直线 Q是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】 （1） 24yx;（2）直线 N过定点 1,4【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设 2221,MtNtQt，则 12MNkt，则 11:0Nxtyt；同理： 22Q11:2xtyt.由 ,0在直线 MN上 1t（1） ；由 1,在直线 Q上 20tt将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 方程 124xyt，即可得出直线 NQ过定点（2）设 2221,MtNtQt，则 12=MNtkt，则 21:ytxt即 110ty
4、t；同理： 22: 0Qtyt；11:2Nxt.由 ,0在直线 MN上 1t，即 1t（1） ；由 1,在直线 MQ上 20tt将（1）代入 1212tt （2）将（2）代入 N方程 124xyt，易得直线 NQ过定点 ,43 【四川省成都市第七中学 2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线 2:0Cymx过点1,， P是 C上一点，斜率为 的直线 l交 C于不同两点 ,AB（ l不过 P点） ，且 AB的重心的纵坐标为 23.（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线 ,PAB的斜率分别为 12,k，求 12k的值.【答案】 （1）方程为 24yx;其焦点坐标为 ,0（
5、2） 120【解析】试题分析;（1）将 ,代入 2ymx，得 4，可得抛物线 C的方程及其焦点坐标；（2）设直线 l的方程为 yxb，将它代入 得 220bx（ ） ，利用韦达定理，结合斜率公式以及 PAB的重心的纵坐标 3，化简可 12k 的值；因为 PAB的重心的纵坐标为 23，所以 12py，所以 py，所以 1px，所以 1211212 yxkx ，又 1221yxyx21bbx121xx0.所以 120k.4已知椭圆2:1(0)xyCab的短轴端点到右焦点 10F， 的距离为 2（）求椭圆 的方程；（）过点 F的直线交椭圆 于 AB， 两点，交直线 4lx： 于点 P，若 1AF，2
6、PB，求证： 12为定值【答案】(1) 243xy;(2)详见解析.【解析】试题分析：（）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（）联立直线和椭圆的方程，得到关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（）由题意直线 AB过点 1,0F，且斜率存在，设方程为 1ykx,将 4x代人得 P点坐标为 43k， 由2 143yk，消元得 228410xk，设 1,Axy， 2,Bxy，则 0且2122834 kx， 方法一：因为 1PF，所以 11PAxF. 同理 224Bx，且 1x与 24异号， 所以 1212 123xx123x 2286434kk0. 所以，
7、12为定值 .当 12x时，同理可得 120. 所以， 为定值 0.同理 223PBmyF，且 1y与 23my异号， 所以 121212y 3609m. 又当直线 AB与 x轴重合时， 12， 所以， 12为定值 0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于 x或 y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线 AB过点 1,0F，在设方程时，往往设为1xmy0，可减少讨论该直线是否存在斜率. 5 【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线 C： 24yx， F为 C的焦点，过 F的直线 l与 C相交于 ,AB两
8、点.（1）设 的斜率为 1，求 ；（2）求证： O是一个定值.【答案】(1) 8AB（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线 l的方程为 1xky，由 21 4xky得 240 12， 12y,OAxBx， 121212yky，211212443kyy， OAB是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成
9、 1xky也给解题带来了方便.6 【内蒙古包头市第三十三中 2016-2017 学年高一下学期期末】已知椭圆 C: 21(0,)xyab的离心率为 3,右焦点为( 2,0).(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过原点 作两条互相垂直的射线,与椭圆交于 A,B 两点,求证:点 O 到直线 AB 的距离为定值.【答案】(1) 213xy,(2) O 到直线 AB 的距离为定值 32.【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出 a， b， c；（2）对于 AB 有无斜率进行讨论，设出 A， B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有 OA OB 知 x1x2+y1y2=x1x2
10、+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得 4 m2=3 k2+3 原点到直线 AB 的距离 23d ， 当 AB 的斜率不存在时 , y ,可得, 13d 依然成立.所以点 O 到直线 的距离为定值 32 . 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法设而不求，套用公式解决7 【四川省成都市石室中学 2017-2018 学年高二 10 月月考】已知双曲线 210xybaa渐近线方程为 3yx， O为坐标原点，点 3,M在双曲线上（）求双曲线的方程；（）已知 ,PQ为双曲线上不同两点，点
11、 O在以 PQ为直径的圆上，求 221OPQ的值【答案】 （）216xy；（） 22113.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点 M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得 OPQ，可设出直线 ,OPQ的方程，代入双曲线方程求得点 ,PQ的坐标可求得2213。（）由题意知 OPQ。设 直线方程为 ykx，由21 6xyk，解得2263 ky， 222261| 33kOPxk。由 Q直线方程为 1yx.以 代替上式中的 ，可得222266| 3113kO。 22222 1+=366kkPQ。 8 【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学 2018 届高三上学期两校
12、期中联考】已知椭圆 E: 21(0)xyab经过点 P(2,1)，且离心率为 32（）求椭圆的标准方程；（）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M， N 满足 O，直线 PM、 PN 分别交椭圆于 A， B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】 （1）218xy；（2）直线 AB 过定点 Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。x1+x2= 84kt， x1x2= 48tk， 又直线 PA 的
13、方程为 y1= 1（ x2） ，即 y1= 12kxt（ x2） ，因此 M 点坐标为（0， 12ktx） ，同理可知： N（0， 2ktx） ，当且仅当 t=2 时，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）. 9 【广西桂林市第十八中学 2018 届高三上学期第三次月考】已知椭圆 2:10xyCab的左，右焦点分别为 12,F.过原点 O的直线 与椭圆交于 ,MN两点，点 P是椭圆 上的点，若 14PMNk，10NM，且 1N的周长为 423.（1）求椭圆 C的方程；（2） 设椭圆在点 P处的切线记为直线 ，点 12,FO在 上的射影分别为 ,ABD，过 P作 的垂线交x轴于点
14、 Q，试问 12FABOD是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 24xy;(2)1.【解析】试题分析; （1）设 ,Mmn，则 ,Nn， 21mnab，设 0,Pxy， ,APBPynykkxmx，以及 14ABk， 2.ab ，由 1FNM,由椭圆的定义可得 243.2ac ，结合 3c ，综合 23可得： 24,1b，可得椭圆 C的方程；（2）由（1）知 2,0,F，直线 的方程为： 014xy，由此可得12AB.，又 PQ， 的方程为 0y，可得 03,4xQ则可得20164xy，又 20416ODxy， 1POD.，故 12FABP.当直线 平行于 x轴时，
15、易知 121FAPQODFB，结论显然成立.综上，可知 12FABODP为定值 1.有 12FNM，则 112243.2FNFMca .3abc ，综合 3可得： ,1b椭圆 C的方程为： 214xy. （2）由（1）知 123,0,F，直线 的方程为： 014xy即： 04xy，所以 012203366xAy002223+34166xFBxyy20001222163xAx. PQ， 的方程为 04y，令 y，可得 034x， 0,xQ则2 220001634164xxxyy又点 O到直线 的距离为 204ODxy，2020164146xyPQODxy. 12FABODPQ.当直线 平行于 x
16、轴时，易知 121FAPQODFB，结论显然成立.综上， 12FABP.【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大10 【云南省玉溪第一中学 2018 届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l与抛物线y24 x 相交于不同的 A， B 两点, O 为坐标原点(1) 如果直线 l过抛物线的焦点且斜率为 1，求 AB的值；（2）如果 4O，证明：直线 l必过一定点，并求出该定点.【答案】 （1）8；（2）证明见解析【解析】试题分析：（）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，
17、是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于 y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；（）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于 y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4，做出数量积表示式中的 b 的值，即得到定点的坐标令 b24 b4， b24 b40， b2，直线 l 过定点(2,0)若 4，则直线 l 必过一定点点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推
18、理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.11 【黑龙江省佳木斯市第一中学 2017-2018 学年高二上学期期中】已知椭圆 2:10xyCab，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为 21，最小距离为 21.（1）求椭圆的方程；（2）过点 10,3S的动直线 l交椭圆 C于 ,AB两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 Q，使得以线段 AB为直径的圆恒过点 Q?若存在，求出点 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆方程为21xy;(2) 以线段 AB为直径的圆恒过点 0,1Q.当 l与 y轴平行时，以线段 AB为直径的圆的方程为 21xy.故若存在定点 Q，则 的坐标只可能为 0,
19、1Q.下面证明 0,1为所求：若直线 l的斜率不存在，上述己经证明. 若直线 的斜率存在，设直线 1:3lykx， 12,AxyB， QAB，即以线段 A为直径的圆恒过点 0,1Q.点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为 0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。12 【四川省成都市新津中学 2018 届高三 11 月月考】已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 2，且过点 2,1.（1）求椭圆 C的方程；（2）设 P是椭圆 长轴上
20、的一个动点，过点 P作斜率为 2的直线 1交椭圆 C于 ,AB两点，求证： 2AB为定值.【答案】 （1）214xy；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率 2cea，求得 2ac，由 22bc，得 2c，将点 2,1代入21xyb，即可求得 a和 b的值，求得椭圆方程；（2）设 ,02Pm， 直线 l的方程是 2m与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将2PAB用 表示，化简后消去 即可得结果. 2 222121 114,mxxPABxmyxy2222211 154x m 22122125544xxxx4m（定值） ， PAB为定值.【方法点睛】本题主要考查待定待
21、定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.13 【北京朝阳日坛中学 2016-2017 学年高二上学期期中】已知椭圆2:1(0)xyab的离心率为23，半焦距为 (0)c，且 1ac，经过椭圆的左焦点 F，斜率为 10k的直线与椭圆交于 A， B两点， O为坐标原点（ I）求椭圆 的标准方程（ II）设 1,0R，延长 A， BR分别与椭圆交于 C， D两点，直线 C的斜率为 2k，求证： 12k为
22、定值【答案】 （ I）2195xy；（ II）见解析.【解析】试题分析：（ I）依题意,得2 31ca,再由 22bac求得 b,从而可得椭圆的标准方程;（ II）设 3,Cxy， 4,Dxy， 可求得直线的方程为 1yx,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得211345x,进一步可求 11594,yCx, 同理 22594,Dx,从而可得 2k,化简运算即可.试题解析：（ I）由题意，得2 31ca解得 3 2ac， 225bc，故椭圆 的方程为219xy点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立 ,abc的方程，求出 2,
23、ab即可，注意 22,cabea的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出 12,x，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用14 【20172018 学年高中数学（苏教版）选修 11 课时跟踪训练】已知平面内的动点 P 到定直线l： x 2的距离与点 P 到定点 F( 2，0)之比为 2.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)若点 N 为轨迹 C 上任意一点(不在 x 轴上)，过原点 O 作直线 AB，交(1)中轨迹 C 于点
24、 A、 B，且直线AN、 BN 的斜率都存在，分别为 k1、 k2，问 k1k2是否为定值？【答案】(1) 24xy(2) k1k2 【解析】试题分析：（1）设出点 P，利用两点间的距离公式分别表示出 P 到定直线的距离和到点 F 的距离的比，建立方程求得 x 和 y 的关系式，即 P 的轨迹方程 （2）设出 N， A，则 B 的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得 k1k2 证明原式试题解析：(1)设点 P(x， y)，依题意，有 .整理，得 1.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 1.(2)由题意，设 N(x1， y1)， A(x2， y2)，则 B( x2， y2)， 1， 1.
25、k1k2 ，为定值15 【河北省鸡泽县第一中学 2017-2018 学年高二 10 月月考】如图，已知椭圆2:0xyCab的左焦点为 1,0F，过点 F 做 x 轴的垂线交椭圆于 A， B 两点，且 3AB(1)求椭圆 C 的标准方程：(2)若 M， N 为椭圆上异于点 A 的两点，且直线 ,AMN的倾斜角互补，问直线 MN 的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】(1) 2143xy;(2) 2.试题解析:（1）由题意可知 1c， 令 x，代入椭圆可得2bya，所以23，又 21ab，两式联立解得： 24,3a， 2143xy. 又直线 AM的斜率与 N的斜率互为相反
26、数，在上式中以 k代替 ，可得2413Nkx， 32Nykx,所以直线 M的斜率 12MNMNxk， 即直线 的斜率为定值，其值为 12. 点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用16 【北京市西城鲁迅中学 2016-2017 学年高二上学期期中】过点 0,1M且与直线 :1ly相切，设圆心 C的轨迹为曲线 E， A，
27、 B（ 在 y轴的右侧）为曲线 E上的两点，点 0,()Pt，且满足(1)ABP（）求曲线 的方程（）若 6t，直线 AB的斜率为 12，过 A， B两点的圆 N与抛物线在点 A处共同的切线，求圆 N的方程（）分别过 ， 作曲线 E的切线，两条切线交于点 Q，若点 恰好在直线 l上，求证： t与QAB均为定值【答案】(1) 24xy (2) 22315xy(3)见解析【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得曲线 E为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB 方程与抛物线方程解出 A,B 两点坐标，再利用导数求出在点 A处的切线的斜率，则得圆心与 A 连线的直线方程，设圆一般式方程，利
28、用三个条件解方程组得圆 N的方程 （3）设21,4x， 2,4xB， ,1Qa，则利用导数求出在点 处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方程 210a，同理可得 240x，即得 240xa两根为 12,x，利用韦达定理化简直线 AB 斜率得 ，即得 AB方程为 1y，因此 t，再根据向量数量积可计算得 QAB=0由24 10xy，得 6,9A， 4,B 2，即 2x，yx抛物线 24y在点 A处切线的斜率163y圆 C的方程为2222334xy，整理得2215（）设21,4xA， 2,4xB， ,1Qa，过点 的切线方程为211yx，即 2140xa，同理得 2， 1x， 12x，又212124
29、ABkx，整理得2248410aa， t与 QAB均为定值点睛：1.求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 ykxb，然后利用条件建立 ,kb等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关17 【南宁市 2018 届高三毕业班摸底联考】已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 .（ l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点 的纵坐标为 1，过点 的直线与抛物线交于 两个不同的点（均与点 不重合
30、） ，设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程 ，及 ， ，设过点 的直线的方程为 ,代入 得 ,由韦达定理可求得 为定值上。（2） 点在抛物线上，且 . ，设过点 的直线的方程为 ，即 ，代入 得 ，设 ， ，则 ， ，所以 .18如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 （）求椭圆的方程（）经过点 ，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点， （均异于点 ） ，判断直线 与 的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由【答案】 （1） （）斜率之和为定值【解析】 （1）根据题意知： ， ，结合 ，解得：， ， ，椭圆的方程为：
