1、空间几何体一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1正方体 1ABCD中， P、 Q、 R分别是 AB、 D、 1C的中点那么，正方体的过 P、 Q、 R的截面图形是 ( )A三角形 B四边形 C五边形 D六边形【答案】A2在空间直角坐标系中, 点 P(2,3,4)与 Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A关于 x 轴对称 B关于 xOy 平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对【答案】B3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为( ) A 7B
2、 6C 5D【答案】A4如图，是由 4 个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是( )A B C D【答案】D5如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是对边 OA、BC 的中点，点G 在线段 MN 上，且 2MG，现用基向量 ,OAB表示向量，设OxyzO，则 x、y、z 的值分别是( )A x 31，y ，z 31B x 31，y ，z 61C x ，y 6，z D x 6，y ，z 3【答案】D6点 P是等腰三角形 ABC所在平面外一点， ABCPABCP， 在，平 面 8中，底边BC到， 则 点， 5的距离为( )A 4B 3C 3D 32【答案】A7一
3、个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )AABCD BAB 与 CD 相交CABCD DAB 与 CD 所成的角为 60 【答案】D8下列说法正确的是( )A圆台是直角梯形绕其一边旋转而成； B圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成；C圆柱不是旋转体；D圆台可以看作是平行底面的平面截一个圆锥而得到【答案】D9设 l， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( )A若 ， ，则 lB若 l， lm/，则 C若 l/， ，则 m/D若 /， ，则 l/【答案】A10如图，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ
4、 与 RS 是异面直线的一个图是( )【答案】C11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A 34B2 C 8D 310【答案】A12已知平面 外的直线 b 垂直于 内的二条直线，有以下结论： b 一定不垂直于 ； b 1 2可能垂直于平面 ； b 一定不平行于平面 ，其中正确的结论有( ) 3A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13在空间直角坐标系中,若点 (1,2)A点 (3,14B,则 |AB .【答案】 5214一个几何体的三视图及部分数据如图所示，左视图为等腰三角形，俯视
5、图为正方形，则这个几何体的体积等于 【答案】1315四棱锥 ABCDP的三视图如右图所示,四棱锥 ABCDP的五个顶点都在一个球面上，E、 F分别是棱 、 的中点，直线 EF被球面所截得的线段长为 2，则该球表面积为 . 【答案】 1216一个几何体的三视图如下图所示，正视图是一个边长为 2 的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体积为 【答案】4 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，已知平行四边形 ABCD中， 2， CD， 45AC， EBC，垂足为E，沿直线 将 E翻折成 ，使得平面 BE平面 D连接 ， P是B
6、D上的点(I）当 BPD时，求证 CP平面 ABD；(）当 2时，求二面角 的余弦值 【答案】 （1） AE，平面 E平面 C， ECB如图建立空间直角坐标系则 )0,1(A， )1,(B， )0,(C，)0,12(D， ),(E， )21,(PBA，)0,2(，)21,(C 0P， 0ADP， BA， 又 D， C平面 B设面 PAC的法向量为 ),(zyxn，则034yxACnzP取 1yx， 3z，则 3,1， 又平面 DAC的法向量为 ),0(m，|31cos,mn二面角 P的余弦值3118如图所示，已知 BCD平 面M、N 分别是 AC、AD 的中点，BC CD(I）求证：MN平面
7、BCD；(II）求证：平面 B CD平面 ABC；(III）若 AB1，BC 3，求直线 AC 与平面 BCD 所成的角【答案】 (1）因为 ,MN分别是 ,ACD的中点，所以 /MNCD又 MN平面 BCD且 平面 BC，所以 /MN平面 BCD(2)因为 A平面 , 平面 D，所以 A又 且 ，所以 平面 又 平面 ，所以平面 平面 (3)因为 平面 ，所以 A为直线 与平面 所成的角 在直角 B中， 3=1,，所以 3tanCB所以 30ACB故直线 AC与平面 D所成的角为 019如图，已知正三棱柱 1BC各棱长都为 ， P为线段 1上的动点.（）试确定1:PB的值，使得 PA；(）若
8、 2:3A，求二面角 B的大小；【答案】 【法一】 （）当 PCAB时，作 P在 上的射影 D. 连结 C.则 AB平面 PCD， ABCD， 是 的中点，又 1/D， 也是 1A的中点，即 1:. 反之当 1:P时，取 的中点 ，连接 、 . B为正三角形， . 由于 为 的中点时， 1/PA 平面 C， PD平面 C， ABC.（）当 :2:3B时，作 在 A上的射影 . 则 底面 AB.作D在 上的射影 E，连结 ，则 E. 为二面角 的平面角.又1/P， 12P， 5ADa. 3605Dsina，又 135PD，35a. 3tnE， PCB的大小为 PE.【法二】以 A为原点， B为
9、x轴，过 点与 垂直的直线为 y轴， 1A为 z轴，建立空间直角坐标系 xyz，如图所示，设 ,0z，则 ,0a、 1,a、 3,02aC.（）由0CPAB得 3,2aza，即 2x， 1x，即 P为 1AB的中点，也即 1:APB时， ABC.(）当 1:2:3时， P点的坐标是 23,05a. 取 3,2m.则,05amAP， ,2,0amAC. m是平面C的一个法向量.又平面 B的一个法向量为 0,1n. 1,2ncos，二面角PAB的大小是 60.20一个多面体的直观图和三视图如图所示： (I）求证：PABD；(II）连接 AC、BD 交于点 O，在线段 PD 上是否存在一点 Q，使直
10、线 OQ 与平面 ABCD 所成的角为30o？若存在，求DQP的值；若不存在，说明理由【答案】(I）由三视图可知 P-ABCD 为四棱锥，底面 ABCD 为正方形，且 PAPBPCPD，连接 AC、BD 交于点 O，连接 PO 因为 BDAC，BDPO，所以 BD平面 PAC，即 BDPA(II）由三视图可知，BC2，PA2 2，假设存在这样的点 Q，因为 ACOQ，ACOD，所以DOQ 为直线 OQ 与平面 ABCD 所成的角在POD 中，PD2 ，OD 2，则PDO60o，在DQO 中，PDO60o，且QOD30o所以 DPOQ所以 OD 2，QD 所以14DQP21如图，在四梭锥 P -
11、ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD,AD =2，AB1.点 M 线段 PD的中点(I）若 PA2，证明：平面 ABM 平面 PCD；(II）设 BM 与平面 PCD 所成的角为 ，当棱锥的高变化时，求 sin 的最大值【答案】 () PA平面 BCD， AP.点 M 为线段 PD 的中点，PA= AD =2， M.又 B平面 ， .D平面 .又 平面 ，平面 A平面 .()设点 B 到平面 PCD 的距离为 d.ABCD, AB平面 PCD.点 B 到平面 PCD 的距离与点 A 到平面 PCD 的距离相等.过点 A 在平面 PAD 内作 ANPD 于 N,平面 ABM平
12、面 PCD， AN平面 PCD.所以 AN 就是点 A 到平面 PCD 的距离.设棱锥的高为 x，则 dAN= 24x.在 Rt ABM中， 22AMB 4241)2(2xAPDPB.sin 2422 31134xxxBMd .因为 22131x，当且仅当 2，即 43时，等号成立.故sin22 x. 22如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，PD=DC=4，AD=2，E 为 PC 的中点.(I）求证：ADPC；(II）求三棱锥 P-ADE 的体积；(III）在线段 AC 上是否存在一点 M，使得 PA/平面 EDM，若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说
13、明理由.【答案】 （I）因为 PD平面 ABCD.所以 PDAD.又因为 ABCD 是矩形，所以 ADCD.因为 ,DCP所以 AD平面 PCD.又因为 平面 PCD，所以 ADPC.(II）因为 AD平面 PCD，V P-ADE=VA-PDE，所以 AD 是三棱锥 APDE 的高.因为 E 为 PC 的中点，且 PD=DC=4，所以 .42121APDCPS又 AD=2，所以 .3842131PDEPDEASV(III）取 AC 中点 M，连结 EM、DM，因为 E 为 PC 的中点，M 是 AC 的中点，所以 EM/PA，又因为 EM平面 EDM，PA 平面 EDM，所以 PA/平面 EDM.所以 .521AC即在 AC 边上存在一点 M，使得 PA/平面 EDM，AM 的长为 5.
