1、 专题 6 函数的周期性函数的周期性1周期函数对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期周期函数 y f(x)满足：(1)若 f(x a) f(x a)，则函数的周期为 2a；(2)若 f(x a) f(x)，则函数的周期为 2a；(3)若 f(x a) ，则函数的周期为 2a；1f x(4)若 f(x a) ，则函数的周期为 2a；1f x(5)若函
2、数 f(x)关于直线 x a 与 x b 对称，那么函数 f(x)的周期为 2|b a|；(6)若函数 f(x)关于点( a,0)对称，又关于点( b, 0)对称，则函数 f(x)的周期是 2|b a|；(7)若函数 f(x)关于直线 x a 对称，又关于点( b,0)对称，则函数 f(x)的周期是 4|b a|；(8)若函数 f(x)是偶函数，其图象关于直线 x a 对称，则其周期为 2a；(9)若函数 f(x)是奇函数，其图象关于直线 x a 对称，则其周期为 4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明 f(xT)f(x)(T0)即可(2)应用：根据函数的周期性，可以
3、由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期典例 (1)(2017郑州模拟)已知函数 f(x)Error!如果对任意的 nN *，定义 fn(x) ，那么 f2 016(2)的值为( )A0 B1 C2 D3(2)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) f(x)，且当 x0,2)时， f(x)2 x x2，则 f(0) f(1) f(2) f(2 018)_.解析 (1) f1(2) f(2)1， f2(2) f(1)0， f3(2) f(0)2， fn(2)的值具有周期性，且周期为 3， f2 01
4、6(2) f3672(2) f3(2)2，故选 C.1已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1， f(5) ，则实数 a 的取值范围为2a 3a 1_解析： f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， f(5) f(56) f(1) f(1)， f(1)1， f(5) ， 1，即 0，解得1 a4.2a 3a 1 2a 3a 1 a 4a 1答案：(1,4)2奇函数 f(x)的周期为 4，且 x0,2， f(x)2 x x2，则 f(2 018) f(2 019) f(2 020)的值为_3设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件： f(x) f(
5、x)0； f(x) f(x2)；当 0 x1时， f(x)2 x1.则 f f(1) f f(2) f _.(12) (32) (52)解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，则 f f(1) f f(2) f f f(1)(12) (32) (52) (12) f f(0) f f f(1) f(0)2 12 11 2 01 .(12) (12) (12) 12 2答案： 21设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x2,1)时， f(x)Error!则 f ( )(52)A0 B1 C. D112解析：选 D 因为 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以 f f
6、f 4 221，故选(52) ( 12 3) ( 12) ( 12)D.2(2017沈阳模拟)函数 f(x)满足 f(x1) f(x)，且当 0 x1 时， f(x)2 x(1 x)，则 f 的值(52)为( )A. B. C D12 14 14 12解析：选 A f(x1) f(x)， f(x2) f(x1) f(x)，即函数 f(x)的周期为 2. f f(52) f 2 .(12 2) (12) 12 (1 12) 123(2016江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上， f(x)Error!其中aR.若 f f ，则 f(5a)的值是_(52) (
7、92)4若对任意 xR，函数 f(x)满足 f(x2 017) f(x2 018)，且 f(2 018)2 017，则 f(1)_.解析：由 f(x2 017) f(x2 018)，得 f(x2 017) f(x2 0171)，令 x2 017 t，即f(t1) f(t)，所以 f(t2) f(t)，即函数 f(x)的周期是 2.令 x0，得 f(2 017) f(2 018)2 017，即 f(2 017)2 017，又 f(2 017) f(1) f(1)，所以 f(1)2 017.答案：2 0175定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6) f(x)，当3 x1 时， f(x)( x
8、2) 2；当1 x3 时，f(x) x.求 f(1) f(2) f(3) f(2 018)的值解： f(x6) f(x)， T6.当3 x1 时， f(x)( x2) 2；当1 x3 时， f(x) x， f(1)1， f(2)2， f(3) f(3)1， f(4) f(2)0， f(5) f(1)1， f(6) f(0)0， f(1) f(2) f(6)1， f(1) f(2) f(6) f(7) f(8) f(12) f(2 005) f(2 006) f(2 010) f(2 011) f(2 012) f(2 016)1， f(1) f(2) f(2 016)1 336.2 0166而 f(2 017) f(2 018) f (1) f(2)123. f(1) f(2) f(2 018)3363339._
