1、圆与方程一.选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线 过点 ， 与圆 有两个交点时，斜率 的取值范围是( )A B C D2.圆 在点 处的切线方程为（ ）A B C D3.若方程 x +y +4kx2y+5k=0 表示圆，则 k 的取值范围是( )A, 1 C. k= 或 k=1 D.k 任意实数4.设直线 过点 ，且与圆 相切，则 的斜率是（ ）A B C D5. 圆 上的点到直线 的距离最大值是（ ）A B C D 6.直线 3x4 y50 与圆 2x22 y24 x2 y10 的位置关系是( )A相离 B
2、相切 C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心7.圆 关于原点 对称的圆的方程为 ( )A B C D 8.直线 x y40 被圆 x2 y24 x4 y60 截得的弦长等于( )A B2 C2 D49.圆 x2+y2+2x+4-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 的点共有( )个A. 1 B.2 C.3 D.410.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上且到直线 x+y+1=0 的距离为 的点共有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个11.过点 P(2,4)作圆 O：( x2) 2( y1) 225 的切线 l，直线 m： ax3 y0 与直线 l 平行，则直线 l 与
3、 m 的距离为( )A4 B2 C. D.12.若直线 mx2 ny40( m.nR， n m)始终平分圆 x2 y24 x2 y40 的周长，则 mn的取值范围是( )A(0,1) B(0，1) C(，1) D(，1)二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上）13.三角形 ABC 的三个顶点 A(1,4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则ABC 的外接圆方程是 。14.已知圆的方程 x2+y2-8x-2y+12=0，P(1,1)，则圆上距离 P 点最远的点的坐标是 。15.以点 为圆心，且与 轴相切的圆的方程是 16.过点 作直线 与圆 交于 M.
4、N 两点，若 =8，则 的方程为 三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.有一圆与直线 l：4 x3 y60 相切于点 A(3,6)，且经过点 B(5,2)，求此圆的方程18. 已知圆 O： x2 y21 和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 P(a， b)向圆 O 引切线 PQ，切点为Q，| PQ| PA|成立，如图(1)求 a.b 间关系；(2)求| PQ|的最小值；(3)以 P 为圆心作圆，使它与圆 O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程19.已知圆 x2 y22 x4 y m0.(1)此方程表示圆，求 m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线 x2 y40
5、相交于 M.N 两点，且 OM ON(O 为坐标原点)，求 m 的值；(3)在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程20.一束光线 l 自 A(3,3)发出，射到 x 轴上，被 x 轴反射后与圆 C： x2 y24 x4 y70有公共点(1)求反射光线通过圆心 C 时，光线 l 所在直线的方程；(2)求在 x 轴上，反射点 M 的横坐标的取值范围21.已知圆 和 轴相切，圆心在直线 上，且被直线 截得的弦长为 ，求圆 的方程。22.已知圆 C :(x1) 2( y2) 22，点 P 坐标为(2，1)，过点 P 作圆 C 的切线，切点为A， B(1)求直线 PA， PB 的方程；(2)求过
6、 P 点的圆的切线长；(3)求直线 AB 的方程参考答案一.选择题1.C ，相切时的斜率为2.D 的在点 处的切线方程为3.B；4.D 得三角形的三边 ，得 的角 5. B 圆心为6.D 7. A 关于原点 得 ，则得8.C解析：因为圆的标准方程为( x2) 2( y2) 22，显然直线 x y40 经过圆心所以截得的弦长等于圆的直径长即弦长等于 2 9.C； 10.C；11.解析：选 A.点 P 在圆上，切线 l 的斜率 k .直线 l 的方程为 y4 (x2)，即 4x3 y200.又直线 m 与 l 平行，直线 m 的方程为 4x3 y0.故两平行直线的距离为 d 4.12.解析：选 C
7、.圆 x2 y24 x2 y40 可化为( x2) 2( y1) 29，直线 mx2 ny40始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以 2m2 n40，即 m n2， mn m(2 m) m22 m( m1) 211，当 m1 时等号成立，此时 n1，与“ m n”矛盾，所以mn1.二.填空题13.x2+y22x+2y-23=014.15. 16. 三.简答题17.解：法一：由题意可设所求的方程为( x3) 2( y6) 2 (4x3 y6)0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得 1，所以所求圆的方程为x2 y210 x9 y390.法二：设圆的方程为( x a)2(
8、 y b)2 r2，则圆心为 C(a， b)，由| CA| CB|， CA l，得解得 所以所求圆的方程为( x5) 2( y )2 .法三：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，由 CA l， A(3,6)， B(5,2)在圆上，得解得所以所求圆的方程为 x2 y210 x9 y390.法四：设圆心为 C，则 CA l，又设 AC 与圆的另一交点为 P，则 CA 的方程为y6 (x3)，即 3x4 y330.又因为 kAB 2，所以 kBP ，所以直线 BP 的方程为 x2 y10.解方程组 得 所以 P(7,3)所以圆心为 AP 的中点(5， )，半径为| AC| .所以所求圆的方程
9、为( x5) 2( y )2 .18.解：(1)连接 OQ.OP，则 OQP 为直角三角形，又| PQ| PA|，所以| OP|2| OQ|2| PQ|21| PA|2，所以 a2 b21( a2) 2( b1) 2，故 2a b30.(2)由(1)知， P 在直线 l：2 x y30 上，所以| PQ|min| PA|min，为 A 到直线 l 的距离，所以| PQ|min .(或由| PQ|2| OP|21 a2 b21 a2912 a4 a215 a212 a85( a1.2) 20.8，得| PQ|min .)(3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点，半径最小时为与圆 O 相切的情形
10、，而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径，圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l与 l 的交点P0，所以 r 1 1，又 l： x2 y0，联立 l：2 x y30 得 P0( ， )所以所求圆的方程为( x )2( y )2( 1) 2.19.解：(1)方程 x2 y22 x4 y m0，可化为(x1) 2( y2) 25 m，此方程表示圆，5 m0，即 m5.(2)消去 x 得(42 y)2 y22(42 y)4 y m0，化简得 5y216 y m80.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由 OM ON 得 y1y2 x1x20即 y1y2(42
11、y1)(42 y2)0，168( y1 y2)5 y1y20.将两式代入上式得168 5 0，解之得 m .(3)由 m ，代入 5y216 y m80，化简整理得 25y280 y480，解得 y1 ， y2 . x142 y1 ， x242 y2 . M ， N ， MN 的中点 C 的坐标为 .又| MN| ，所求圆的半径为 .所求圆的方程为 2 2 .20.解：圆 C 的方程可化为( x2) 2( y2) 21.(1)圆心 C 关于 x 轴的对称点为 C(2，2)，过点 A， C的直线的方程 x y0 即为光线l 所在直线的方程(2)A 关于 x 轴的对称点为 A(3，3)，设过点 A
12、的直线为 y3 k(x3)当该直线与圆 C 相切时，有 1，解得 k 或 k ，所以过点 A的圆 C 的两条切线分别为 y3 (x3)， y3 (x3)令 y0，得 x1 ， x21，所以在 x 轴上反射点 M 的横坐标的取值范围是 ，121.解：设圆心为 半径为 ，令而，或22.解：(1)设过 P 点圆的切线方程为 y1 k(x2)，即 kxy2k10因为圆心(1，2)到直线的距离为 ， ， 解得 k7，或 k1故所求的切线方程为 7xy150，或 x y10(2)在 Rt PCA 中，因为| PC| ，| CA| ，所以| PA|2| PC|2| CA|28所以过点 P 的圆的切线长为 2 (3)容易求出 kPC3，所以 kAB 如图，由 CA2 CDPC，可求出 CD 设直线 AB 的方程为 y x b，即 x3 y3 b0由 解得 b1 或 b (舍)所以直线 AB 的方程为 x3 y30(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解
