1、集合的包含关系,子集与真子集,(1)子集:一般地,对于两个集合A 、B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B 或B A ,读作“A 含于B”或“B 包含A”.,(2)真子集:如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A ,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记为A B或B A,读作“A 真包含于B”或“B 真包含A”.,(3)子集和真子集的区别与联系:集合A 的真子集一定是其子集,而集合A 的子集不一定是其真子集.若集合A 有n 个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.,例1.写出
2、集合1,3,5的所有子集.,解:集合1,3,5的子集有 ,1 ,3 ,5 ,1,3 ,1,5 ,3,5 ,1,3,5.,注意:切勿忘记空集和集合本身这两个特殊的子集. 解完以后验证个数,含有3个元素的集合的子集个数为23=8.,变式: 集合A = x | 0 x 3, xN 的真子集的个数为( )A.16 B.8 C.7 D.4,C,例2.集合A = x | -1 x 3, B = x | x a ,若A B,则实数a的取值范围 .,解析:因为A B ,所以集合 A 中所有元素均属于集合 B ,利用数轴可知 a 3.,a 3,例3.集合A =0,1, B = x | x A ,则下列关于集合A
3、与B的关系说法正确的是 ( )A. A B B. A B C. B A D. AB,解析:因为x A,所以B=,0,1,0,1,则集合 A=0,1是集合B中的元素,所以AB,故选D.,注意:本题比较特殊,集合B中的元素为集合,当集合A是集合B中的元素时, A与B是从属关系,而A中元素是数,因而A与B非包含关系.本题易错选B.,D,A.6个 B.7个 C.8个 D.15个,例4.满足7 M 1,3,5,7的集合M 共有( ),解:集合1,3,5的真子集有23-1=7个.分别为: ,1 ,3 ,5 ,1,3 ,1,5 ,3,5.,B,集合M 为1,3,5的真子集与7取并集,即在1,3,5的真子集中
4、加入元素7.因此个数与1,3,5的真子集个数相同.分别是:7,1,7 ,3,7 ,5,7 ,1,3,7 ,1,5,7 ,3,5,7.,注意:集合M 为1,3,5的真子集,同时一定含有元素7.这类问题我们可以: 7 M 1,3,5,7,即 M 1,3,5,即M 1,3,5.不影响计算 M 的个数.,例5.集合A = x | -1 -1 D.a -1,解:因为A B ,所以集合 A 中至少有一个元素不在 B 中,利用数轴可知 a 3.,A,例6.若集合A =-3,2, B = x | mx =12 ,且 ,则m的值为 .,注意 “两个集合具有包含关系”在试题中常采用以下等价说法:,解: , . A
5、 =-3,2,而集合B至多含有一个元素, B =,或B =-3或B =2. 当m=0时, B = x | 0x =12 =,符合题意;当m0时, 由mx =12得, ,从而 . 解得m=-4或 m=6. 综上所述, m的值为0或-4或6.,0或-4或6,(1)解决集合与集合之间的关系问题,常用的方法有:特征分析法、元素分析法、图示法等,其中图示法就是利用Venn图或数轴或平面图形把两个集合表示出来,再判断它们之间的关系. 一般地,元素分析法和图示法能使集合具体化、形象化,从而降低思维难度,简化解题过程.,(2)集合之间的关系与运算技巧:,(3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,若忽视这一点,则会导致漏解,从而产生错误的结论,要多加注意.,在解题中要注意上述关系的应用;,