1、1母题十三 应用均值不等式求最值【母题原题 1】 【2018 天津，文 13】已知 ,abR，且 360ab，则 128ab的最小值为 【答案】 14综上可得 128ab的最小值为 14【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误【母题原题 2】 【2017 天津，文 13】若 ,abR， 0，则41ab的最小值为_【答案】 4【解析】 211424abab，当且仅当 2ab且 12，即 2,4ab时取等号【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式， （
2、1） 2,abRab，当且仅当 ab时取等号；（2） ,abR， 2ab，当且仅当 ab时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等” “作乘法” “1 的妙用”求最值若是使用 2 次，更要注意两次使用的条件是不是 能同时成立【母题原题 3】 【2015 天津，文 12】2已知 0,8,ab 则当 a 的值为 时 2logab取得最大值【答案】4【解析】 22222logl11log llog64,44b 当 ab时取等号，结合 0,8,ab可得 4,.a 【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用【名师点睛】在利用基本不等式求 最值时
3、，一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件，注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理，使之可用基本不等式来解决，若多次使用基本不等式，必须保持每次取等的一致性【命题意图】 高 考对本部分内容重点用基本不等式求最值【 命题规 律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种正用；一 种是逆用 【答题模板】解答本类题目，以 2018 年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：选基本不等式的形式 20,abaabaR 第二步：选相当于公式中字母 b的代数式第三步：下结论【 方法总结】1基本 不等式： 2ab（1）基本不等式成立的条件： 0,（2）等 号成立的条件：当且仅
4、当 a b 时取等号2几个重要的不等式（1） a2 b 22 ab(a， bR)；（2） 2( a， b 同 号)；ba ab（3） ab 2(a， bR)；(a b2 )（4） 2(a， bR)a2 b22 (a b2 )3算术平均数与几何平均数3设 a0， b0，则 a， b 的算术平 均数为 ，几 何平均 数为 ， 基本不等式可叙述为两个正数的算术a b2 ab平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则（1）如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， x y 有最小值是 2 (简记：积定和最小)p（2）如果和 x y 是定值 s，那么当且仅当
5、 x y 时， xy 有最大值是 (简记：和定积最大)s241 【2018 天津河西区三模】已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）A B C D【答案】C【名师点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件，配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答2 【2018 天津河东区二模】已知正实数 满足 ，当 取最小值时， 的最大值为（）A2 B C D【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件可以得到 ，之后将式子中的 c 用 来代换，接着化
6、简为 ，能够发现当前的式子满足积为定值，从而得到和取最小值时，是当 相等的时候，从而4得到 ，接着将 化为关于 的式子，配方即可得结果所以可以发现，当 时取得最大值 ，故选 C【名师点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，在求解的过程中，可以发现式子中有三个未知数，利用题的条件，逐步转化，首先将 c 代换，求得当 取得最小值时 的关系，之后将 化成关于的二次式，配方求得结果3 【2018 天津河北区二模】若正数 a，b 满足 ，则 的最小值为（ ）A1 B6 C9 D16【答案】B【解析】分析：由 得 ，由此可得 ， ，将 代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值详解：正数 满
7、足 ， ，解得 同理 ，当且仅当 ，即 时等号成立的最小值为 6故选 B【名师点睛】利用基本不等式求最值的类型及方法（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等4 【2018 江西莲塘一中、临川二中联考】已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）A B C D【答案】C5【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误5 【2
8、018 天津七校联考】已知点 4,2(0,)ab在圆 2:4Cxy和圆 22:4Mxy的公共弦上，则 12ab的最小值为（ ）A B C D 8【答案】D【解析】圆 2:4xy和圆 22:4Mxy的公共弦方程为40+=ab,+=1x，124248baab，选 D【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误6 【2018 河南濮阳模拟】已知 ，则 的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C6【名师点睛】条件最值的求解通
9、常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值7 【2018 山东肥城模拟】已知函数 （ ， ） ，若 ，则 的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】分析：利用函数的解析式，表示所求表达式，利用表达式的几何意义转化求解即可详解： ，表示点 A（p，q）与 B 连线的斜率，又 4，故取点E（4，4） ，当 AB 与圆的切线 EC 重合时取最小值，可求 kEC=tan15=2- ，则 的最小值为 2- ；当 AB与圆的切线 ED 重合时取最大值，可求
10、 kED=tan75=2+ ，则 最大值为 2+ ；故 的取值范围是：2-，2+ 故选 D【名师点睛】本题考查函数一方程的应用，判断表达式的几何意义，利用数形结合转化求解是解题的关键8 【2018 浙江金华模拟】已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）A B C D【答案】C【解析】分析：先分离出 a2+b2，应用基本不等式转化为关于 c 的二次函数，进而求出最小值详解：若 ab+c 取最小值，则 ab 异号，c0，根据题意得：1-c 2=a2+b2，又由 a2+b22|ab|=-2ab，即有 1-c2-72ab， ，即 ab+c 的最小值为-1，故选 C【名师点睛】本题考查代数式求和，考查一元
11、二次不等式性质、完全平方和、完全平方差公式基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9 【2018 浙江金丽衢十二校二模】设 ab0，当 取得最小值 c 时，函数 f（x）=|xa|+|xb|+|xc|的最小值为（ ）A3 B C5 D【答案】A因为 ，所以因此当 时，f（x）取最小值为 3选 A【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误10 【2018 天津南开中学模拟】平行四边形 中， ， 是平行四边形
12、 内一点，且 ，若 ，则 的最大值为_【答案】2【解析】分析：根据 ，利用 ，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出 的最大值详解：因为 ，所以 ，又 ，即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时， 取得最大值2，故答案是 28【名师点睛】该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确使用11 【2018 天津部分区二模】已知函数 的图象过点 ，则 的最小值为_【答案】9故答案为：9【名师点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等一正：关系式中，各项均为正数；二
13、定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值12 【2018 天津十二校二模】已知 ，二次三项式 对于一切实数 恒成立，又 ，使成立，则 的最小值为_【答案】【解析】分析： 对于一切实数 恒成立，可得 ；再由 ，使 成立，可得 ，所以可得 ， 可化为 ，平方后换元，利用基本不等式可得结果9（当 时，等号成立） ，所以， 的最小值为 ，故 的最小值为 ，故答案为 【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定
14、是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） 13 【2018 天津 9 校联考】已知 0a， b，函数 2logfxab的图象经过点 14,2，则 ab的最小值为_【答案】16【解析】a，bR +，函数 f（x）=alog 2x+b 的图象经过点 14,2，可得 2a+b= 12，则 a+b=2（ 1+ ） （2a+b）=8+ ba 48ba=16，当且仅当 b=2a= 4时取等号，表达式的最小值为 16故答案为：16【名师点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个
15、条件：一正二定三相等一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值14 【2018 天津滨海新区七校模拟】已知正实数 ,ab满足 2,且 12ab，则241ab的最小值为10_【答案】 23【解析】由题意得 0ab， 241ab22 3432abab，当且仅当2ab， 73，填 【点睛】当 0,时，22abba(当且仅当 ab时取“ ”号)利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等15 【2018 天津市十二模拟一】已知 0ab，则 322ab的最小值为_当32 ab时， 323abab，即 22ab取得最小值为2
16、3故答案为 2【名师点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） 16 【2018 天津十二校联考】已知 ，且 是 与 的等差中项，则 的最大值为_【答案】11【易错点晴】本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是
17、，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） 17 【2018 天津部分区期末考】已知函数 12(0)xf，则 fx的最小值为_【答案】3【解析】 0x， 21x，故 0x 1123xx xx xf ，当且仅当 12xx，即 时等号成立 f的最小值为 3答案： 18 【2018 天津一中月考五】已知点 在椭圆 上运动，则 最小值是_【答案】即所求的最小值为 ，故12答案为 【名师点睛】本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小
18、值，解题的关键是利用了的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式19 【2018 天津一中月考三】对任意的 0,2，不等式 22141sincox恒成立，则实数 x的取值范围是_【答案】 4,5【解析】 222222221cos4incos4insinc559sincoi i，所以 21x9,45x【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误20 【2018 天津耀华中学模拟三】已知三次函数 32()afxbxcdab在 R上单调递增，则324abc的最小值为_【答案】22【解析】 2fxabxc
