1、1专题十三 二项式定理【母题原题 1】 【2018 浙江，14】二项式 的展开式的常数 项是_【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第 r+1 项，再根据项的次数为零解得 r，代入即得结果.详解：二项式 的展开式的通项公式为 ,令 得 ，故所求的常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出特定项的系数.【母题原题 2】 【2017 浙江，13】已知多项式 31x 22= 54321
2、1245xaxax，则4a=_， 5a=_.【答案】 16 4【命题意图】考查二项式定理的基础知识和基本解题方法、规律；考查运算能力及分析问题解决问题的能力.【命题规律】二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 1rnrTCab；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项 式系数和；（3）二项式定理的应用近两年，浙江紧紧围绕二项展开式的通项公式 1rnrTCab命题，考查某一项或考查某一项的系数.【答题模板】求二项展开式中的指定项（系数），一般考虑：利用通项公式进行化简,令
3、字母的指数符合要求 (求常 数项时 ,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数2r+1,代回通项公式即可.【方法总结】(1)利用二项式定理求解的两种常用思路二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值一般取“1,-1 或 0”,有时也取其他值.（2）一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则 f(x)的展开式中各项系数之和为 f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+= ,偶数项系数之和为 a1+a3+a5+= .(1)
4、+(-1)2 (1)-(-1)2(3)【警示】在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随 之确定；T r1 是展开式中的第 r1 项，而不是第 r 项；公式中，a，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置；对二项式(ab) n展开式的通项公式要特别注意符号问题1 【2018 届浙江省杭州市第二次检测】二项式 的展开式中 x3项的系数是（ ）（ 21x)5A. 80 B. 48 C. 40 D. 80【答案】D【 解析】分析：写出二项式 的展开式的通项，由 的指数为 3 求得 值，代入即可求出结果. (21)5 详解：由题意，根据二项式定
5、理展开式的通项公式得， ，由 ，解得+1=(1)25552 52=3，则所求 项的系数为 ，故正解答案为 D.=1 3 (1)2415=802 【“超级全能生”浙江省 2017 届 3 月联考】在二项式 的展开式中，常数项是（ ）62xA. -240 B. 240 C. -160 D. 160【答案】C【解析】 ,由 得 ,所以常数项是666211221rr rr rrTCxCx 0r33选 C.63210.C3 【浙江省湖州、衢州、丽水三市 2017 届 4 月联考】二项式 72x的展开式中含 5x项的系数是( )A. 21 B. 35 C. 84 D. 280【答案】C【解析】 5x的系数
6、为： 57284C，故选 C4 【2018 届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】 的展开式中的 的系数为（ ）(2+1)(1)5 5A. 1 B. C. 11 D. 21-9【答案】C.5 【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考】 412x展开式中 2x的系数为（ ）A. 16 B. 12 C. 8 D. 4【答案】C【解析】 412344122xCxxC ，故展开式中 2x的系数为 3248C，选 C6 【2018 届浙江省台州中学模拟】二项式 的展开式中常数项为_所有项的系数和为(+12)5_【答案】 325【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出 展开式的通项，令 的指数为 0，求
7、出 的值，将 的值(+13)5 代入通项求出展开式的常数项，令 ，得到所有项的系数和.=1详解：展开式的通项为 ，+1=5()5(12)=55252令 ，解得 ，5252=0 =14所以展开式中的常数项为 ，2=15=5令 ，得到所有项的系数和为 ，得到结果.=1 25=327 【2018 届浙江省杭州市第二中学 6 月热身】已知多项式，则 _； _(+1)6(32+1)2=0+1+22+99+1010 0= 2=【答案】 1. 21.【解析】分析：题设 中给出的等式是恒等式，可令 得到 另外，我们可利用二项式定理求出 的=0 0 (+1)6展开式中 的系数和常数项，再利用多项式的乘法得到 2
8、 28 【2018 届浙江省金丽衢十二校第二次联考】在 的展开式中，常数项为_；系数最大的项是(122)9_【答案】 212 93【解析】分析：先 根据二项展开式通项公式得项的次数与系数，再根据次数为零，算出系数得常数项，根据系数大小比较，解得系数最大的项.详解：因为 ，所以由 得 常数项为+1=99(122)=9(12)93 93=0 =3, 39(12)3=212因为系数最大的项系数为正，所以只需比较大小09(12)0=1， 29(12)2=9， 49(12)4=638， 69(12)6=2116， 89(12)8= 9256因此 r=2 时系数最大，项是 ，939 【2018 届浙江省嵊
9、州市高三上期末】 的展开式的第 项的系数为_，展开式中 的系数为71x3x_【答 案】 21 -355【解析】 的通项为 ，要得到展开式的第 项的系数，令 ，71x7211rrrTCx32372,1xTC令 的系数为 ，故答案为 (1) ， (2) .72,3r37521510 【2018 届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】 展开式中 的系数为_ _62x3x【答案】14.11 【2018 届浙江省部分市学校（新昌中学、台州中学等）上学期 9+1 联考】在 的展开式中，各项1nx系数之和为 64，则 _；展开式中的常数项为_.n【答案】 6 15【解析】在 的展开式中，各项系数之和为 641nx将 代 入，得264n 6n 3621 61rrrrTCxCx令 ，即 ，则其系数为302615故答案为：6，1512 【2018 届浙江省杭州市高三上期末】在二项式 的展开式中，若含 的项的系数为-10，52axR7x则 _a【答案】-26
