1、1专题 04 不等式的证明知识通关1基本不等式（1）定理 1：如果 a， bR，那么 a2 b22 ab，当且仅当 a b时，等号成立（2）定理 2（基本不等式）：如果 a， b0，那么，当且仅当 a=b时，等号成立 .用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数 .（3）定理 3：如果 a， b， c为正数，那么3bca，当且仅当 a b c时，等号成立用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数 .（4）算术平均几何平均定理(基本不等式的推广)：对于 n个正数 a1， a2， an，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的
2、几何平均数，即123na ，当且仅当a1=a2=an时，等号成立 .2柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式：若 a， b， c， d都是实数，则 222()+()abcdab，当且仅当ad=bc时，等号成立 .（2）柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则 |，当且仅当 是零向量或 是零向量或存在实数 k使 =k 时，等号成立 .（3）二维形式的三角不等式：设 x1， y1， x2， y2R，那么 221xxyy2112()()xy.（4）一般形式的柯西不等式：设 1212,nnab 是实数 ,则(221naa)(221nbb) 22na，当且仅当 ai=0或 bi=0(i=1,2,n)或
3、存在一个数 k使得ai=kbi(i=1,2,n)时，等号成立 .23不等式证明的方法（1）比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.名称 作差比较法 作商比较法理论依据a ba b0 a ba b0a ba b0b0， 1 a b abb0， 1 a bab（2）综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法
4、叫分析法即“执果索因”的方法（3）反证法和放缩法反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立） ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.基础通关1比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差变形判断差的符号下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断
5、差值的符号.2综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是： AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理， B为要证结论)，它的常见书面表达式是“，”或“” 解题时，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键33当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆题组一 比较法证明不等式作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号【例 1】已知函数1()2fxx=-
6、+， M为不等式 ()2fx0， b0，且 a b1.证明：（1） a b2；（2） a2 a0， b0，得 ab1.（1）由基本不等式及 ab1，有 a b2 2，即 a b2.ab（2）假设 a2 a0，得 0a1；同理，0 b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故 a2 a2与 b2 b2不可能同时成立.能力通关1使用基本不等式时易忽视等号成立的条件利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法2个别题目也可用柯西不等式来证明，
7、注意柯西不等式使用的条件.基本不等式综合法证明不等式【例 1】已知 ,(0,)abc且 1abc证明：（1）2213；（2）2abc【解析】 （1）2,ab2,c2,ac2 ,abc2232abcabc2()1bc，213c （2）因为222,cbaba6所以2222,abcabc即22,c即21a.【例 2】已知函数 1fxx的最大值为 k.（1）求 k的值；（2）若 mn（ 0， n） ，求证： 2mn.【解析】 （1）由于31,xf所以 fx的最大值为 12f，即 k.（2）由（1）得 mn.因为 0， ，所以 2n1122n2mn，当且仅当 1m， 2n时，等号成立.柯西不等式及其应用
8、【例 3】已知函数 1fxx,且对任意 xR,都有 0fxf.（1）求 0x及 0的值；（2）若 ,abcR, 且 220abcfx,求 bac的最大值及 2abc的最大值.【解析】 （1） 1fx11x,其中 x取等号的条件是 0,即 , xx取等号的条件是 1x,所以 01, 02f.7【名师点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用,基本不等式及柯西不等式的应用,意在考查分类讨论思想方法,以及分析问题、解决问题的能力不等式证明的综合问题【例 4】已知在 ABC 中，角 ， ， C所对的边分别为 a， b， c（1）证明： 3312abca；（2）若 bc，且 k恒成立，求实数 k的最小值【解析
9、】 （1）因为 ， ， 为正实数，所以由均值不等式可得33 311abcabc，即 331abca，所以 331abc，又223ab，所以 331cab，当且仅当 63abc时，取等号8【例 5】已知函数 ()2|3|fxx.（1）解不等式： 15；（2）若函数 ()fx的最小值为 m，正实数 ,ab满足 425bm，证明：1490ab.【解析】 （1）依题意， 2|3|1x；当 3x时，原式化为 ()()，解得 x；当 2时，原式化为 5x，解得 2，故不等式无解；当 x时，原式化为 (2)3()1，解得 x.综上所述，不等式的解集为 ,4,U.（2）由题意，可得5()()132xf，所以当
10、 3x时，函数 ()fx有最小值 10，即 4510ab.故11129(425(9)00abab，当且仅当25时等号成立，此时,7ab.9高考通关1已知函数 f(x)| x1|.（1）求不等式 f(x)|2 x1|1 的解集 M；（2）设 a， b M，证明： f(ab) f(a) f( b)【解析】 （1）当 x1 时，原不等式可化为 x12 x2，解得 x1；当1 x 2时，原不等式可化为 x12 x2，解得 x1，此时原不等式无解；当 x 时，原不等式可化为 x12 x，解得 x1.综上， M x|x1 或 x1.（2）因为 f(a) f( b)| a1| b1| a1( b1)| a
11、b|，所以，要证 f(ab) f(a) f( b)，只需证| ab1| a b|，即证| ab1| 2| a b|2，即证 a2b22 ab1 a22 ab b2，即证 a2b2 a2 b210，即证( a21)( b21)0.因为 a， b M，所以 a21， b21，所以( a21)( b21)0 成立，所以原不等式成立.2已知 ,为任意实数.（1）求证： 42426abab;（2）求函数 4331621fxxab的最小值.【解析】（1）4242 2244ab2abab.因为 40,所以226.10（2） fx= 4243321621abxab=4|( 3)()|33|21xab41xa2
12、46|b= 4,即 minf.3设函数 ()|x.（1）当 2a时，解不等式 ()4|1|fx；（2）若 ()1fx的解集为 02,，(0)amn,，求证： 24mn.【解析】（1）当 a=2时，不等式为 |1|4x， 若 x，则 214x，解得 2；若 1，则 ，即 1，无解；若 2x，则 4x，解得72x.所以不等式的解集为1(,).（2） ()1fx即 |a，解得 1xa，而 ()f的解集是 02,，所以02，解得 a=1，所以1()mn,，所以12()224mnmn，当且仅当nm，即 ,n时取等号. 4已知定义在 R上的函数 f(x)| x1| x2|的最小值为 a.（1）求 a的值；
13、11（2）若 p， q， r是正实数，且满足 p q r a，求证： p2 q2 r23.【解析】 （1）因为| x1| x2|( x1)( x2)|3，当且仅当1 x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.5已知不等式 |1|xm()R对任意实数 x恒成立（1）求实数 的最小值 t；（2）若 ,(0,)abc，且满足 abct，求证： bcababcac【解析】 （1）不等式 |1|xm等价于 |1|xm令 ()gx，则不等式 |()R对任意实数 x恒成立等价于min而1,()|20,xgx作出函数 ()的图象，由图可知，函数 ()gx的最小值为 1，即 min()1gx，所以 1m，即 ，12故 1t（2）由（1）知 1abc，其中 ,(0,)abc，所以 ， ，1，所以原不等式等价于abca()下面证明不等式 ()：因为122bcaba（当且仅当 ab时取等号） ，cc（当且仅当 c时取等号） ， 122aba（当且仅当 a时取等号） 三式相加得：1()()cbc（当且仅当 abc时取等号） ，所以1abac，即aba【名师点睛】本题考查含有绝对值的不等式恒成立问题、不等式的证明、函数图象的应用，意在考查推理论证能力、运算求解能力
