1、1专题 4 函数的性质【典例解析】1.（必修 1 第 44 页复习参考题 A 组第 9 题）已知函数 2()48fxk在 5,20上具有单调性，求实数 k的取值范围.【解析】方法一： 2()48fxk的对称轴 8k，要使函数 2()fx在 ,上具有单调性，则 58k或 0，解得 的取值范围 40或 16.方法二：可逆向思考，若 28k时，在区间 5,2上 2()48fxk无单调性，解得：4016k取它的补集得： 的取值范围 40k或 16.【反思回顾】 （1）知识反思；函数单调性的概念，二次函数及其性质；（2）解题反思；本题已知区间有单调性，而对称轴不确定，即为轴动区间定问题。可先求出二次函数
2、含有参数的对称轴方程，再根据题中条件所给的区间建立方程或不等式求出参数的范围。2.（必修 1 第 39 页习题 1.3 题 A 组第 6 题）已知函数 ()fx 是定义域在 R 上的奇函数，当 0x 时， ()1)fx。画出函数的图象，并求出函数的解析式。【答案】见解析【解析】设 时，则 0，又当 x时， ()1)fx，则 2()(1)fxx又 ()fx是定义域在 R 上的奇函数；所以 f则得： 2()ffx，可得2,0()xf；【反思回顾】 （1）知识反思；函数奇偶性的概念，二次函数的图像；（2）解题反思；本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数 ()fx的图象，在利用奇函数的定义求出2函
3、数 ()fx的解析式利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式， x 就设在哪个区间内利用 ()f的奇偶性 f(x) = f( x)或 f(x) =f( x)要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出 f(x) 3.（必修 1 第 39 页复习参考题 B 组第 3 题）已知函数 是偶函数，而且在 (0,)上是减函数，判断 ()fx在 ,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.【解析】 在 (上是减函数；证明：设 x1x 20 则-x 1-x 20， ()f在（0，+）上是增函数f（-x 1）f（-x 2）又 x是偶函数f（-x 1）=f（x 1） ，f（-
4、x 2）=x 2）f（x 1）f（x 2） ()f在（-，0）上是减函数。【反思回顾】 （1）知识反思；函数奇偶性与单调性（2）解题反思；本题为抽象函数单调性的证明，可由条件出发，遵循单调性的证明步骤（设，作差，下结论） ，关键需借助偶函数的性质进行替换，完成证明。同时启发我们注意函数性质之间的联系。【知识背囊】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2定义当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(
5、2)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，3区间 D 叫做函数 y f(x)的单调区间.2.函数的最值前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意 x I，都有 f(x) M；(2)存在 x0 I，使得 f(x0) M(3)对于任意 x I，都有 f(x) M；(4)存在 x0 I，使得 f(x0) M结论 M 为最大值 M 为最小值3.函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)是
6、偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称4.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.【变式训练】变式 1.已知函数 24fxa在区间 ,6内单调递减，则 a 的取值范围是（ ）A 3a B 3 C 3a D 3a【答
7、案】D【解析】函数 24fxa图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 2x，由已知函数在区间,6内单调递减可知区间 ,6应在直线 2xa的左侧， 6a，解得 3，故选D变式 2.已知函数 f(x)2 ax24( a3) x5 在区间(，3)上是减函数，则 a 的取值范围是( )A. B. C. D.(0，34) (0， 34 0， 34) 0， 34【答案】D【解析】当 a0 时， f(x)12 x5，在(，3)上是减函数；4当 a0 时，由0,4(3)a得 0a . 综上， a 的取值范围是 0 a .34 34变式 3.函数 ()fx在 ,)单调递减，且为奇函数若 (1)f，则满足 2()1x
8、f的 的取值范围是( )A 2, B 1, C 0,4 D 1,3【答案】D【解析】由已知，使 ()fx成立的 x满足 1，所以由 2x得 x，即使 1(2)1fx成立的 满足 13，选 D.变式 4.已知定义域为 R的奇函数 fx满足 0fxf，且当 3,02x时， 2log7fx，则 2017f（ ）A. -2 B. log3 C. 3 D. 2log5【答案】D【解析】因为奇函数 fx满足 0fxf，所以 33fxfxf，即周期为 3，所以 2201715log ，故选 D变式 5.已知函数 fx为奇函数，且当 x时， 1fx，则 ()f-=_.【答案】-2 【解析】函数 f为奇函数,且
9、当 0时,2fx， ()(12ff。变式 6.若 在区间 上是增函数，则 的取值范围是_.12ax,a【答案】 ,【解析】函数 ，结合复合函数的增减性，再根据 在 为增函数，21xaxaf xf2,可得 在 为增函数， ，解得 ，故答案为： .21xg, 021a1,5变式 7.已知定义在-2,2上的偶函数 f(x)在区间0,2上是减函数,若 f(1-m)f(m),则实数 m 的取值范围是_.【答案】 12m【解析】由偶函数的定义, ()(|1|)ffm,又由 f(x)在区间0,2上是减函数,所以 0|1| 2.故答案： 12.变式 8.已知函数 2fx为奇函数， gxf，若 ()09nag=
10、，则数列 na的前 2018 项和为 【答案】2018【解析】函数 12fx为奇函数图象关于原点对称，函数 fx的图象关于点( 12,0)对称，函数 gf的图象关于点( 12,1)对称， 1g， ()09nag=，数列的前 2018 项之和为 3206178)()().()()1090992g+。反思：本题主要考查函数的奇偶性及对称性结合数列，抓住通项特征可以看出是首尾相加是定值，采用倒序相加会很快得出答案。【高考链接】1.【2015 高考广东理 3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A xey B xy1 C xy21 D 21xy【答案】 【解析】记 xfe，则 1fe， 1
11、fe，那么 ff， ff，所以 xye既不是奇函数也不是偶函数，依题可知 B、 C、 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选 A2.【2017 北京文 5】已知函数1()3()xf，则 ()fx为（ ）（A）是偶函数，且在 R 上是增函数 （B）是奇函数，且在 R 上是增函数（C）是偶函数，且在 R 上是减函数 （D）是奇函数，且在 R 上是增函数6【答案】B【解析】133xxxf fx，所以函数是奇函数，并且 3x是增函数，13x是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选 B.3.【2017 课标 1 文 9】已知函数 ()ln(2)fxx，则（ ）A ()fx在（0，2）单调
12、递增 B f在（0，2）单调递减C y= 的图像关于直线 x=1 对称 D y= ()x的图像关于点（1，0）对称【答案】 C【解析】由题意知， (2)ln()l()f xf，所以 ()f的图象关于直线 1x对称， C 正确，D 错误；又 11)()fxx（ 02） ，在 0,1上单调递增，在 ,2)上单调递减， A， B错误，故选 C4.【2014 课标理 3】设函数 )(,gf的定义域为 R，且 )(xf是奇函数， )(xg是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A )(xgf是偶函数 B )(|gxf 是奇函数 C. | 是奇函数 D |是奇函数【答案】C【解析】设 ()()Hxfgx，则
13、()()Hxfgx，因为 )(xf是奇函数， )(xg是偶函数，故()f，即 |f是奇函数，选 C反思：本题主要考查了函数的奇偶性，在研究函数 |()|fx的奇偶性时，一定要注意 )(xf的奇偶性，只有)(xf具备奇偶性，函数 |()|fx才是偶函数，否者不成立.5.【2014 高考陕西版理第 7 题】下列函数中，满足“ fyfxy”的单调递增函数是（ ）（ A） 12fx（ B） 3fx （ C） 12xf（ D） 3xf【答案】 D7【解析】 A选项：由 12fxy， 1122()fxyxy，得 fxyfy，所以 错误； B选项：由 3， 33f，得fxyfy，所以 B错误； C选项：函数
14、 12xf是定义在 R上减函数，所以 C错误；D选项：由 3xf， 3xyxf ，得 fyfy；又函数3xf是定义在 R上增函数，所以 D正确；故选 .6.【2017 山东，文 10】若函数 exf(e=2.71828 ,是自然对数的底数)在 fx的定义域上单调递增,则称函数 fx具有 M 性质,下列函数中具有 M 性质的是A . 2 B. 2fx C. 3xf D. cosfx 【答案】A【解析】由 A,令 ()exg, 11()eln)e2(ln)0xxxg,则 ()g在 R 上单调递增,()fx具有 M 性质,故选 A.7.【2017 课标 II 文 8】函数2()ln8)fxx的单调递
15、增区间是( )A.(,2) B. ,1 C. 1, D. (4,) 【答案】D【解析】函数有意义，则： 280x ，解得： 2x 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 4, .故选 D.8.【 2014 湖南 3】已知 )(,xgf分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且 1)(23xgxf ，则 )1(gf( )A. 3 B. C. 1 D. 3【答案】C【解析】分别令 1x和 可得 fg和 1fg,因为函数 )(,xgf分别是定义在 R上的偶函数和奇函数,所以 1,即 1f81fg,则 1312fgf1fg,故选 C.9.【2016 高考
16、山东理数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时， 3()fx ；当 1x 时，()(fxf；当 12x 时， 1()2ff .则 f(6)= （ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）2【答案】D【解析】当 x时， 1()()2fxf,所以当 12x时，函数 ()fx是周期为 1 的周期函数，所以(6)1f，又函数 是奇函数，所以 3()2ff，故选 D.10 【2018 年理数全国卷 II】已知 是定义域为 的奇函数，满足 若，则 ( )A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为 是
17、定义域为 的奇函数，且 ，所以,因此，因为，所以 ， ，从而，选 C.反思：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解11 【2018 年理新课标 I 卷】设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的斜率 ，进而求得切线方程.9详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，所以 ， ，所以，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简可得 ，选 D.12. 【2015 高考新课标 1
18、理 13】若函数 f(x)= 2ln)ax为偶函数，则 a= 【答案】1【解析】由题知 2ln()yxa是奇函数，所以 22l()ln()x =2ln()0ax，解得 =1.13.【2017 课标 II 文 14】已知函数 ()fx是定义在 R上的奇函数，当 (,0)时，32()fx,则 (2)f _. 【答案】12【解析】 ()2)(8)412ff.14. 【2014 新课标，理 15】已知偶函数 fx在 0,单调递减， 20f.若 10fx，则 x的取值范围是_.【答案】 (1,3)【解析】因为 fx是偶函数，所以不等式 (1)0(|1|)(2fxfxf，又因为 ()fx在 0,)上单调递
19、减，所以 |2，解得 13.15.【2016 年高考四川理数】已知函数 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，()4xf，则 5()(2ff= .【答案】-2【解析】：因为函数 ()fx是定义在 R上周期为 2 的奇函数，所以(1)(,12(1)ff f，所以 ()1f，即 ()0f，25)()42ffff，所以 52ff.16.【2017 山东文 14】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 3,0 时,()6xf,则 f(919)= .【答案】10【解析】由 f(x+4)=f(x-2)可知, fx是周期函数,且 6T,所以 (91)(6531)(fff1)6f.17. 【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递增.若实数 a足 1(2)(2)aff，则 a 的取值范围是_.【答案】 3,【解析】由题意 ()fx在 0,)上递减，又 ()fx是偶函数，则不等式 1(2)(2)aff或化为1(2)af，则 12a， 12，解得 3a，即答案为 3,
