1、1专题 1 集合的表示及其关系【典例解析】1. (必修 1第 7页练习第三题（3） ）判断下列两个集合之间的关系：4020,AxNBxmN 是 与 的 公 倍 数 ，【解析】本题为判断两个集合的关系，集合间存在有子集，相等与真子集的关系。而分析集合间的关系需从集合中的元素入手，联系定义作出判断；方法 1； 20,46,8.20,46,8.， 可知 AB。方法 2；亦可将 A集合进行表达方式的转换即；4 与 10的最小公倍数为 20，则所有的公倍数为；,xnN，可得 AB。【反思回顾】 （1）知识反思：需要熟悉集合的表达方式（列举法、描述法、韦恩图） ，明确集合间关系（子集，真子集，相等）的概念
2、。（2）解题反思：由于给出的集合为无限集合，判断它们间的关系，可采用转换为列举法表示（明确简单，但较为繁琐，同时不够全面） ，或对集合进行解读，再采用对应思想进行比较。2.（必修 1第 44页复习参考题 A组第 4题）已知集合 21Ax，集合 1Bxa，若 BA，求实数 a的值.【错解】由题； ,1， ,B 1或 B，解得； a。【错题剖析】本题以方程的解为载体，考查了集合的子集概念。易忽视空集的情况，即空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。概念不清造成漏解。【正解】题目给出了两个集合的关系，求参数的值；则 1,AA，则当 B时，可得 0a，当 B时，可得 a，当 1B时，得 a综上：
3、 1,a；【反思回顾】 （1）知识反思：涉及集合的表示，集合间的关系，一次和二次方程的求解问题。（2）解题反思；本题给出集合为两个方程的根，条件 AB，可从元素分析入手，即 B集合中的所有元素都在集合 A中。由于空集的存在需对集合 B的情况进行分类，从而求出 a的值；体现了分类思想和对集合语言（方程的根）的深刻理解和运用。注意：空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，2在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误。【知识背囊】1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和
4、.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意 x A，都有 x B，则 AB或 BA.(2)真子集：若 AB，且集合 B中至少有一个元素不属于集合 A，则 AB 或 BA .(3)相等：若 AB，且 BA，则 A B.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 .【变式训练】变式 1.已知集合 Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，Cx|x 是正方形， D x|x是菱形，则（ ）A B B C C D D A【答案】B.【解析】选项 A错，应当是. A.选项 B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形选项 C错，正方形一定是
5、菱形，但菱形不一定是正方形选项 D错，应当是 A.变式 2.已知集合 A x|y ， xR， B x|x m2， m A，则( )1 x2A. A B B. BA C. AB D. B A【答案】B.【解析】易知 A集合中元素为函数定义域： A x|1 x1，由 A集合可得 B x|x m2， m A x|0 x1，因此 BA 。变式 3.已知集合 1|,MkZ， |1,2kNZ，若 0xM，则 0x与 N的关系是（）A 0xN B 0x C. 0x或 0N D不能确定【答案】A3变式 4.已知集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由 可得 是方程 的两根
6、，再根据韦达定理列方程求解.，由 ，可得 是方程的 两根，由韦达定理可得 ，即 ，故选 B.反思：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意化归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解变式 5. S（A）表示集合 A中所有元素的和，且 A1，2，3，4，5，若 S（A）能被 3整除，则符合条件的非空集合 A的个数是（ ）A10 B11 C12 D13【答案】C变式 6. 2|60Ax， |10Bxm，且 AB，则 m的取值是_.【答案】 10,3
7、m【解析】由 2603,2Ax，当 B 时， 0 ，当 时， 1x ，4所以 12m 或 3,所以 12m或 3,所以 10,23m反思：已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.变式 7已知集合 26Ax09Bx若 AB，则 的取值范围为_.【答案】 (1,3)【解析】集合 23x，集合 xm若 AB，则 92m或 3即 1或 3那么 ，则 1反思：本题正面考虑不太好想，所以采用了“反证法”的“正难则反”的思想，从反面入手先解得满足 AB的 的取值范围，再利
8、用补集思想转回来解决了问题所以只要是出现 AB求参数范围的问题，我们都可以从它的对立面利用 解决问题方便的原则来考虑【高考链接】1.【2015 高考重庆理 1】已知集合 A=1,23,B= ，则（ ）A、 A=B B、 AB= C、 AB D、 BA【答案】 D【解析】由于 2,3,1,，故 A、B、 C均错， D是正确的，选 D.2.【2015 新课标高考】已知集合 4xMN且0，集合 40xNZ，则（）A MN B MC 20xZ D 40x【答案】D.【解析】由题可得； ,xkN， ,xkZ，故选 D.3.【2015 湖南理 2】设 A， B是两个集合，则“ AB”是“ AB”的（ ）A
9、.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5【答案】C.【解析】由题意得， AB，反之， ABA，故为充要条件，选 C.4.【2014 上海理 11】. 已知互异的复数 a,b满足 ab0，集合a,b= 2a,b,则 = .【答案】 1【解析】由题意2ab或2ba，因为 b， 0a，132ib132ia或，因此 15.【2014 福建,理 15】若集合 ,4321,dcba且下列四个关系： 1； b； 2c；4d有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 ),(dcba的个数是_.【答案】6【解析】分析：由于题意是只有一个是正确的所以不成立,否则成立.即可得 1a.由 b即23,4b.可得 2,14,3;,14,2bcdabcda.两种情况.由 2,43,1cd.所以有一种情况.由 即 .可得,;,3,1,4daccbc.共三种情况.综上共 6种.【反思】本题主要考查集合、推理及分类讨论思想，此类题的易错点是：分类不严谨；审题不认真.本题若对“有且只有”这四个字不敏感，则在解题过程中不易找到突破口.因此这类题一定要认真审题，分类做到不重不漏，才不会陷入命题人设计的陷阱.
