1、1专题 04 数列问题1 （2018 新课标全国理科）设 nS为等差数列 na的前 项和，若 324S， 1a，则 5A 2 B 10C 0 D【答案】B【解析】设等差数列的公差为 d，根据题中的条件可得 32432dd，整理解得 3d，所以 514210a，故选 B【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差 d的值，之后利用等差数列的通项公式得到 5a与1ad,的关系，从而求得结果.2 （2018 新课标全国理科）记 nS为数列 na的前 项和，若 21nSa，则 6S_【答案】 63【名师点睛】该题考
2、查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 1n，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.3 （2018 新课标全国理科）记 nS为等差数列 na的前 项和，已知 17a， 315S（1）求 na的通项公式；2（2）求 nS，并求 n的最小值【解析】 （1）设 an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an的通项公式为 an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（ n4） 216所
3、以当 n=4 时， Sn取得最小值，最小值为16【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前 n 项和公式得 S关于 n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.4 （2018 新课标全国理科）等比数列 na中， 1534a， （1）求 na的通项公式；（2）记 S为 的前 n项和若 63mS，求 【解析】 （1）设 的公比为 q，由题设得 1naq.由已知得 42q，解得 0（舍去） ， 2或 .故 1()nna
4、或 1na.（2）若 12nn，则 ()3nnS.由 63mS得 (2)18m，此方程没有正整数解.若 1na，则 n.由 m得 24，解得 .综上， 6m.1等差数列、等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式、性质、前 n 项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前 n 项和及性质综合进行考查.2在高考中常出两道客观题或一道解答题，若是以客观题的形式出现，一般一道考查数列的定义、性质或求和的简单题，另一道则是结合其他知识，考查递推数列等的中等难度的题.若在解答题中出现，则一般结合等差数列和等比数列考查数列的通项，前 n 项和等知识，难度中等.3指点 1：等差
5、数列及其前 n项和1求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前 n项和法，即根据前 n项和 nS与na的关系求解.2等差数列前 n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用 1()=2nSad；若已知通项公式，则使用1()=2nnaS，同时注意与性质“ 12132nnna ”的结合使用.【例 1】已知等差数列 n满足 917S， 9，数列 nb满足 1ib.（1）求数列 na、 b的通项公式；（2）求数列 1nn的前 项和.【解析】 （1）依题意， 97S，即 517a，所以 513a，则 7532ad，故 7()()32nadn.因
6、为 12ib，所以 1124nbb，当 时， 1231n， 得 nb，即 1n.当 时， 1满足上式.数列 n的通项公式为 12n. （2）由（1）知， 1 1()(3)32nan， 12nb， 记数列 1n的前 项和为 nS， b的前 项和为 nT，4则 111( )347323n nSn ，211nT，故数列 1nba的前 项和为 123nnST.指点 2：等比数列及其前 项和1求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用1naq求解但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形nmaq可以简化解题过程2当 1q时，若已知 1,，则用 1()nnaqS-=求解较方便；若已知 1,naq，
7、则用 1nnaqS-=求解较方便.【例 2】已知等比数列 na的各项均为正数，且 26a， 3472.（1）求数列 n的通项公式；（2）若数列 b满足： *()nN，求数列 nb的前 项和 nS.指点 3：数列的综合应用1解决等差数列与等比数列的综合问题时，若同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；若两个数列是通过运算综合5在一起的，则要把两个数列分开求解.2 数 列 常 与 函 数 、 不 等 式 结 合 起 来 考 查 ， 其 中 数 列 与 不 等 式 的 结 合 是 考 查 的 热 点 ， 注 意 知 识 之
8、 间 的 灵 活运 用 .【例 3】设等差数列 na的前 项和为 nS，等比数列 nb的前 项和为 nT，已知 1a， 1b，23ab（1）若 7，求数列 nb的通项公式；（2）若 3T，且 0n，求 S（2）因为231()Tbq，所以213q，解得 q或 4， 又 0n，所以 ，因为 2ab，所以 1d，即 1d， 所以 1()2nnSad【例 4】已知公差大于零的等差数列 na的前 项和为 nS，且 3417a， 25a（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb是等差数列，且nSbc，求非零常数 c的值（3）设 1nCa， nT为数列 nC的前 项和，是否存在正整数 M，使得 8nT
9、对任意的 *N均成立？若存在，求出 M的最小值；若不存在，请说明理由6【解析】 （1）因为数列 na为等差数列， 25a，所以 2354aa，又 347a，所以 3， 4是方程 170x的两个根， 由 20x解得 19， 23，设等差数列 n的公差为 d，由题意可得 d，所以 34a，所以 39a， 413，所以1 3a，解得1， 所以 ()nn，故数列 n的通项公式为 43na（2）由（1）知，2()nS，所以2nSbc，所以bc， 26c， 315bc，因为数列 n是等差数列，所以 213，即2153cc，即 20c，解得c（ 0舍去） ，当1时， 2nb，易知数列 nb是等差数列，满足题
10、意故非零常数 c的值为1 （3）由题可得 111()(43)43nCann， 利用裂项相消法可得 nT，故 82nT， 所以存在正整数 2M，使得 n对任意的 *N均成立，所以 的最小值为 71等差数列 na的前 项和为 nS,若 679218a,则 63SA18 B27C36 D45【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得 6345653Saa，而 679622218aad，所以 9，所以 6327S，故选 B2已知等比数列 n中， ， 5， 3lognnb，数列 nb的前 项和为 nT，则 8A36 B28C45 D32【答案】B【解析】由题可得： 3527aq，所以 2213nnaq，故
11、 13lognnb，所以 nb是以公差为 1 的等差数列，故 1882bT，故选 B3 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作九章算术 、 算法统宗中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列 na的前 项和 24nS， *N，等比数列 nb满足12ba， 34ba，则 3bA4 B5C9 D16【答案】C4 已知数列 na的前 项和为 nS， 12a， *1(2,)nSnN.（1）求 的通项公式；（2）若 nb，求 nb的前 项和 nT.8【解析】 （1）*12(,)nSnN，当 3n时， 12(1)nSn.-得， a， 12a，所以 12(3)n.当 时， 121a，得 20
12、a，则2112.所以 n是从第二项起，以 2 为公比的等比数列.则2nn，*(,)nN.所以2,1,na.（2）易知2,nnb.0123(3)nnT n ，214 ，-得 22321 1()241nnn nnT 1(1)()()n.所以21()nnT.5已知数列 na为等比数列，数列 nb为等差数列，且 1ba， 212a， 36b.（1）求数列 ， n的通项公式；（2）设 21ncb，数列 nc的前 项和为 nT，证明： 53nT.【解析】 （1）设数列 na的公比为 q，数列 nb的公差为 d，9由题意得 1dq， 216d，解得 2q，所以 2,nab.（2）因为 2nc113423nn，所以1 1453712nT n 132423nn，因为104，所以1nT，又因为 nT在 ,上单调递增，所以当 1时， n取最小值 15T，所以 53nT.
