1、2015-2016 学年九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 24 分.）1关于 x 的方程 ax23x+1=0 是一元二次方程，则( )Aa0 Ba 0 Ca 0 Da=12如图在 RtABC 中， C=90，AC=12，BC=5，则 sinA 的值是( )A B C D3若二次函数 y=（a+1）x 2+3x+a21 的图象经过原点，则 a 的值必为( )A1 或1 B1 C 1 D04已知圆锥的底面的半径为 3cm，高为 4cm，则它的侧面积为( )A15cm 2 B16cm 2 C19cm 2 D24cm 25下列语句中正确的是( )A长度相等
2、的两条弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦C相等的圆心角所对的弧相等D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴6如图，点 E 在ABCD 的边 BC 延长线上，连 AE，交边 CD 于点 F在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( )A1 对 B2 对 C3 对 D4 对二、填空题（本大题共 10 小题，每空 2 分，共 18 分.）7若一组数据 1、2、3、0，则这组数据的极差为 _8二次函数 y=x22x+6 的顶点坐标是_9在一个不透明的口袋中装有若 干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有 4 个红球，且摸出红球的概率为 ，那么袋中的球共有_个10已知一组数据 1，2，x，5 的平均数是 4，则
3、x 是_这组数据的方差是_11如图，O 是ABC 的外接圆，已知OAB=40，则ACB 为_12关于 x 的一元二次方程 kx2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_13圆弧的半径为 3，弧所对的圆心角为 60，则该弧的长度为 _14如图，点 D 是ABC 的边 AC 的上一点，且 ABD=C；如果 = ，那么=_15若 A（4，y 1） ，B （1， y2） ，C（1，y 3）为二次函数 y=x2+4x5 的图象上的三点，则y1，y 2，y 3 的大小关系是_16如图，已知边长为 a 的正方形 ABCD 内有一边长为 b 的内接正方形 EFGH，则EBF的内切圆半径是_三、
4、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分 ）17解 方程：（1）x 2=2x（2）2x 24x1=018如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中有ABC，建立平面直角坐标系后，点 O 的坐标是（0，0） （1）以 O 为位似中心，作A BCABC，相似比为 1：2，且保证AB C在第三象限；（2）点 B的坐标为（_，_） ；（3）若线段 BC 上有一点 D，它的坐标为（a，b） ，那么它的对应点 D的坐标为（_，_） 19已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x 2x+a23a3=0 有一根是 1（1）求 a 的值；（2）求方程的另一根20桌面上放有 4 张卡片，正面分别标有数字 1，2
5、，3，4这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙也从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加（1）请用列表或画树状图的方法求两数之和为 5 的概率；（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为 5 时，甲胜；当两数之和不为 5 时，则乙胜若甲胜一次得 12 分，谁先达到 120 分为胜那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平？21某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了 50 名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是 18 这 8 个整数，现提供统计图的部分信息如图
6、，请解答下列问题：（1）根据统计图，求这 50 名工人加工出的合格品数的中位数；（2）写出这 50 名工人加工出的合格品数的众数的可能取值；（3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于 3 件为技能合格，否则，将接受技能再培训已知该厂有同类工人 400 名，请估计该厂将接受技能再培训的人数22如图，C=90，以 AC 为半径的圆 C 与 AB 相交于点 D若 AC=3，CB=4，求 BD长23某德阳特产专卖店销售“中江柚”，已知“ 中江柚”的进价为每个 10 元，现在的售价是每个 16 元，每天可卖出 120 个市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每天要少卖出10 个；每降价
7、1 元，每天可多卖出 30 个（1）如果专卖店每天要想获得 770 元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？24如图，在 RtABC 中， ACB=90，以斜边 AB 上一点 O 为圆心，OB 为半径作O，交 AC 于点 E，交 AB 于点 D，且BEC=BDE（1）求证：AC 是 O 的切线；（2）连接 OC 交 BE 于点 F，若 ，求 的值25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的负半轴上， B（5，0） ，点 C 在 y 轴的负半轴上，且 OB=OC，抛物线 y=x2+bx+c
8、 经过 A、B、 C 三点（1）求此抛物线的函数关系式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上一点，当 APCP 时，求点 P 的坐标；（3）设 E（x，y）是抛物线对称轴右侧上一动点，且位于第四象限，四边形 OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形求OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围；当OEBF 的面积为 时，判断并说明OEBF 是否为菱形？一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 24 分.）1关于 x 的方程 ax23x+1=0 是一元二次方程，则( )Aa0 Ba 0 Ca 0 Da=1【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的一般
9、形式是 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 都是常数）及其定义 ，即可求解【解答】解：使 x 的方程 ax23x2=0 是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不为 0，a0故选：C【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点2如图在 RtABC 中， C=90，AC=12，BC=5，则 sinA 的值是( )A B C D【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理 【分析】根据勾股定理列式求出 AB 的长，再根据锐角的正弦
10、值等于对边比斜边列式计算即可得解【解答】解：C=90 ，AC=12，BC=5，AB= = =13，sinA= = 故选 B【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3若二次函数 y=（a+1）x 2+3x+a21 的图象经过原点，则 a 的值必为( )A1 或1 B1 C 1 D0【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】计算题【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出 a=1 或 a=1，然后根据二次函数的定义确定 a 的值【解答】解：把（0，0）代入 y=（a+1）x 2+3x+a21 得
11、a21=0，解得 a=1 或 a=1，而 a+10，所以 a 的值为 1故选 B【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式注意不要掉了 a+104已知圆锥的底面的半径为 3cm，高为 4cm，则它的侧面积为( )A15cm 2 B16cm 2 C19cm 2 D24cm 2【考点】圆锥的计算；弧长的计算；扇形面积的计算 【专题】计算题【分析】先利用勾股定理计算出母线长 PA，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可【解答】解：如图，OA=3cm ，高 PO=4cm，在 RtPA
12、O 中，PA= = =5，圆锥的侧面积= 235=15（cm 2） 故选 A【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了扇形的面积公式以及勾股定理5下列语句中正确的是( )A长度相等的两条弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦C相等的圆心角所对的弧相等D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【考点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 【分析】根据等弧的定义对 A 进行判断；根据垂径定理对 B 进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对 C 进行判断；根据圆的对称性对 D 进行判断【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以 A
13、 选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以 B 选项错误；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以 C 选项错误；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以 D 选项正确故选 D【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等） 也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系6如图，点 E 在ABCD 的边 BC 延长线上，连 AE，交边 CD 于点 F在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有( )A1 对 B2 对 C3 对 D4 对【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进
14、行分析即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB CD，AFDEFCEAB故选 C【点评】此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似二、填空题（本大题共 10 小题，每空 2 分，共 18 分.）7若一组数据 1、2、3、0，则这组数据的极差为 5【考点】极差 【分析】求出该组数据最大值与最小值的差即为极差；【解答】解：这组数据的极差=3
15、（2）=5故答案为：5【点评】本题考查了极差的知识，属于基础题， 掌握极差的定义是关键8二次函数 y=x22x+6 的顶点坐标是（1，5） 【考点】二次函数的性质 【专题】压轴题【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可【解答】解：y=x 22x+6，=（x 22x+1）1+6，=（x1） 2+5，顶点坐标为（1，5） 故答案为：（1，5） 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解题的关键9在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有 4 个红球，且摸出红球的概率为 ，那么袋中的球共有 12 个【考点】概率公式 【分析】根
16、据红球的概率公式列出方程求解即可【解答】解：设袋中的球共有 m 个，其中有 4 个红球，则摸出红球的概率为 ，根据题意有 = ，解得：m=12故本题答案为：12【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 10已知一组数据 1，2，x，5 的平均数是 4，则 x 是 8这组数据的方差是 7.5【考点】方差；算术平均数 【分析】先由平均数的公式计算出 x 的值，再根据方差的公式计算即可【解答】解：数据 1，2，x，5 的平均数是 4，（ 1+2+x+5）4=4，x=8，这组数据
17、的方差= （14） 2+（2 4） 2+（8 4） 2+（54） 2=7.5故答案为：8，7.5【点评】本题考查方差的定义：一般地设 n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差S2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立11如图，O 是ABC 的外接圆，已知OAB=40，则ACB 为 50【考点】圆周角定理 【分析】由 OA=OB，可求得OBA=OAB=40，继而求得AOB 的度数，然后由圆周角定理，求得答案【解答】解：OA=OB，OBA=OAB=40，AOB=180OABOBA=100，ACB= AO
18、B=50故答案为：50【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用12关于 x 的一元二次方程 kx2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 且k0【考点】根的判别式 【专题】方程思想【分析】根据一元二次方程 kx2x+1=0 有两个不相等的实数根，知=b 24ac0，然后据此列出关于 k 的方程，解方程即可【解答】解：kx 2x+1=0 有两个不相等的实数根，=14k0，且 k0，解得，k 且 k0；故答案是：k 且 k0【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为 0”这一条件13圆
19、弧的半径为 3，弧所对的圆心角为 60，则该弧的长度为 【考点】弧长的计算 【分析】利用弧长公式即可直接求解【解答】解：弧长是： =故答案是：【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确记忆公式是关键14如图，点 D 是ABC 的边 AC 的上一点，且 ABD=C；如果 = ，那么 = 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由已知先证ABC ADB，得出 = = ，再根据 = ，求出 AB，最后根据= ，即可求出答案【解答】解：A=A， ABD=C，ABCADB， = = ， = ，设 AD=1，则 CD=3，AC=4， = ，AB=2， = = =2， = 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角
20、形的判定和性质，识别两三角形相 似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，关键是求出 AB15若 A（4，y 1） ，B （1， y2） ，C（1，y 3）为二次函数 y=x2+4x5 的图象上的三点，则y1，y 2，y 3 的大小关系是 y2y 1y 3【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将 A（4，y 1） ，B（ 1，y 2） ，C（1，y 3）分别代入二次函数的关系式，分别求得 y1，y 2，y 3 的值，最后比较它们的大小即可【解答】解：A（ 4，y 1） ， B（1，y 2） ，C （1，y 3）为二次函数 y=x2+4
21、x5 的图象上的三点，y1=16165=5，即 y1=5，y2=145=8，即 y2=8，y3=1+45=0，即 y3=0，850，y2 y1y 3故答案是：y 2y 1y 3【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征经过图象上的某点，该点一定在函数图象上16如图，已知边长为 a 的正方形 ABCD 内有一边长为 b 的内接正方形 EFGH，则EBF的内切圆半径是 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】首先利用正方形的性质得出AEHBFE（AAS） ，再利用直角三角形内切圆半径求法得出即可【解答】解：边长为 a 的正方形 ABCD 内有一边长为 b 的内接正方形 EFGH，AEH+FEB=9
22、0， AEH+AHE=90，AHE=BEF，在AEH 和 BFE 中，AEHBFE（AAS ） ，AE=BF，BE+BF=AB=a，故EBF 的内切圆半径是 故答案为： 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出AEHBFE（AAS）是解题关键三、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分 ）17解方程：（1）x 2=2x（2）2x 24x1=0【考 点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -公式法 【专题】计算题【分析】 （1）先移项得到 x22x=0，然后利用因式分解法解方程；（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程【解答】解：（1）x 22x=0，x
23、（x2） =0，x=0 或 x2=0，所以 x1=0，x 2=2；（2）解：=（ 4） 242（1）=24，x= = ，所以 x1= ，x 2= 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 也考查了公式法解一元二 次方程18如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中有ABC，建立平面直角坐标系后，点 O 的坐标是（0，0） （1）以 O 为位似中心，作A BCAB
24、C，相似比为 1：2，且保证AB C在第三象限；（2）点 B的坐标为（2， 1） ；（3）若线段 BC 上有一点 D，它的坐标为（a，b） ，那么它的对应点 D的坐标为（ ， ） 【考点】作图-位似变换 【分析】 （1）利用位似图形的性质进而得出AB C各顶点的位置，进而得出答案；（2）利用所画图形，得出点 B的坐标；（3）利用位似图形的性质得出点的坐标变化规律即可【解答】解：（1）如图所示：AB C即为所求；（ 2）点 B的坐标为：（2，1） ；故答案为：2， 1（3）若线段 BC 上有一点 D，它的坐标为（a，b） ，那么它的对应点 D的坐标为：（ ，） 故答案为： ， 【点评】此题主要考
25、查了位似图形画法，得出对应点位置是解题关键19已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x 2x+a23a3=0 有一根是 1（1）求 a 的值；（2）求方程的另一根【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题【分析】 （1）将 x=1 代入方程（a+1）x 2x+a23a3=0 可 得（a+1）1+a 23a3=0，解得 a 的值；（2）根据根与系数的关系，可得两根之积的值，再由其中一根为 1，解可得方程的另一根【解答】解：（1）将 x=1 代入方程（a+1）x 2x+a23a3=0 可得（a+1）1+a 23a3=0，解可得：a= 1
26、，a=3；a=1 时，原方程是一元一次方程，故舍去；则 a=3；（2）由（1）得：a=3，则原方程为 4x2x3=0，且其中有一根为 1，设另一根是 m，则 m1=m= ，故 m= 【点评】主要考查了根与系数的关系要掌握根与系数的关系式：x 1+x2= ，x 1x2= 把所求的代数式变形成 x1+x2，x 1x2 的形式再整体代入是常用的方法之一20桌面上放有 4 张卡片，正面分别标有数字 1，2，3，4这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀，乙也从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加（1）请用列表或
27、画树状图的方法求两数之和为 5 的概率；（2）若甲与乙按上述方式做游戏，当两数之和为 5 时，甲胜；当两数之和不为 5 时，则乙胜若甲胜一次得 12 分，谁先达到 120 分为胜那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平？【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 （1）用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可；（2）计算出两种情况的概率，然后比较；【解答】解：（1）共有 16 种等可能的情况，和为 5 的有（1，4） ， （2，3） ， （3，2）（4，1）共 4 种情况，可得：P（数字之和为 5）= ；（2）因为 P（甲胜）= ，P （乙胜）= ，故甲胜一次得 12 分，要
28、使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：123=4（分） 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比21某厂为了解工人在单位时间内加工同一种零件的技能水平，随机抽取了 50 名工人加工的零件进行检测，统计出他们各自加工的合格品数是 18 这 8 个整数，现提供统计图的部分信息如图，请解答下列问题：（1）根据统计图，求这 50 名工人加工出的合格品数的中位数；（2）写出这 50 名工人加工出的合格品数的众数的可能取值；（3）厂方认定，工人在单位时间内加工出的合格品数不低于 3 件为技能
29、合格，否则，将接受技能再培训已知该厂有同类工人 400 名，请估计该厂将接受技能再培训的人数【考点】条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数 【专题】计算题【分析】 （1）将合格品数从小到大排列，找出第 25 与 26 个数，求出平均数即可求出中位数；（2）众数的话要看剩余的 18 人可能落在哪里，有可能合格品是 5 的有 10 人，合格品是 6的有 8 人，或合格品是 5 的有 8 人，合格品是 6 的有 10 人，所以推出 4，5，6 都可能为众数；（3）50 名工人中，合格品低于 3 件的有 2+6=8（人） ，除以 50 人求出百分比，再乘以 400即可求出所求【解答】解：（1）把合格
30、品数从小到大排列，第 25，26 个数都为 4，中位数为 4；（2）众数要看剩余的 18 人可能落在哪里，有可能合格品是 5 的有 10 人，合格品是 6 的有8 人，或合格品是 5 的有 8 人，合格品是 6 的有 10 人，所以推出 4，5，6；4 和 5；4 和 6都可能为众数故众数可能为 4，5，6；4 和 5；4 和 6；（3）这 50 名工人中，合格品低于 3 件的人数为 2+6=8（人） ，故该厂将接受再培训的人数约有 400 =64（人） 【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的关键22如图，C=90，以 AC 为半径的圆 C 与 AB
31、 相交于点 D若 AC=3，CB=4，求 BD长【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据勾股定理求得 AB 的长，再点 C 作 CEAB 于点 E，由垂径定理得出 AE，即可得出 BD 的长【解答】解：（1）在三角形 ABC 中， ACB=90，AC=3 ，BC=4，AB= = =5，点 C 作 CEAB 于点 E，则 AD=2AE，AC 2=AEAB，即 32=AE5AE=1.8，AD=2AE=21.8=3.6BD=ABAD=53.6=1.4【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂径定理、勾股定理的具体内容是解题的关键23某德阳特产专卖店销售“中江柚”，已知“ 中江柚”的进价为每个
32、 10 元，现在的售价是每个 16 元，每天可卖出 120 个市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每天要少卖出10 个；每降价 1 元，每天可多卖出 30 个（1）如果专卖店每天要想获得 770 元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （1）设应涨价 x 元，利用每一个的利润售出的个数=总利润，列出方程解答即可；（2）分两种情况探讨：涨价和降价，列出函数，利用配方法求得最大值，比较得出答案即可【解答】解：（1）设售价应涨价 x 元，则：（16+
33、x 10） （12010x）=770 ，解得：x 1=1，x 2=5又要尽可能的让利给顾客，则涨价应最少，所以 x2=5（舍去） x=1答：专卖店涨价 1 元时，每天可以获利 770 元（2）设单价涨价 x 元时，每天的利润为 w1 元，则：w1=（16+x 10） （12010x）=10x2+60x+720=10（x 3） 2+810（0 x12） ，即定价为：16+3=19（元）时，专卖店可以获得最大利润 810 元设单价降价 z 元时，每天的利润为 w2 元，则：w2=（16 z10） （120+30z ）=30z2+60z+720=30（z1） 2+750（0z 6） ，即定价为：16
34、1=15（元）时，专卖店可以获得最大利润 750 元综上所述：专卖店将单价定为每个 19 元时，可以获得最大利润 810 元【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值24如图，在 RtABC 中， ACB=90，以斜边 AB 上一点 O 为圆心，OB 为半径作O，交 AC 于点 E，交 AB 于点 D，且BEC=BDE（1）求证：AC 是 O 的切线；（2）连接 OC 交 BE 于点 F，若 ，求 的值【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）连接 OE，证得 OEAC 即可确定 AC 是切线；（2）
35、根据 OEBC，分别得到AOEACB 和 OEFCBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解【解答】解：（1）证明：连接 OE，OB=OE，OBE=OEB，ACB=90，CBE+BEC=90，BD 为O 的直径，BED=90，DBE+BDE=90，CBE=DBE，CBE=OEB，OEBC，OEA=ACB=90，即 OEAC，AC 为O 的切线；（2）OE BC， AOEABC， ， ， ， ，OEBC，OEFCBF， 【点评】本题考查了切线的性质及判断，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直25如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的负半轴上
36、， B（5，0） ，点 C 在 y 轴的负半轴上，且 OB=OC，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B、 C 三点（1）求此抛物线的函数关系式和对称轴；（2）P 是 抛物线对称轴上一点，当 APCP 时，求点 P 的坐标；（3）设 E（x，y）是抛物线对称轴右侧上一动点，且位于第四象限，四边形 OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形求OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围；当OEBF 的面积为 时，判断并说明OEBF 是否为菱形？【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）根据 OB=OC 求出点 C 坐标，将 B、C 坐标代入解析式坐标，求出 b，c 的值，
37、继而可得出抛物线的函数关系式和对称轴；（2）设 P（2， m） ，过点 C 作 CN抛物线对称轴于点 N，根据 APCP，利用相似三角形的性质求出点 P 的坐标；（3）设点 E（x，x 24x5） ，根据平行四边形的性质可得四边形 OEBF 的面积=2S OBE，代入可求得OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，然后将面积为 代入求出 x 的值，然后证明四边形 OEBF 为菱形【解答】解：（1）由题意，得 C（0， 5） ，抛物线过点 B、C，代入得： ，解得： ，抛物线的解析式为：y=x 24x5，对称轴为直线 x=2；（2）如图 1，设 P（2， m） （ m0） ，由解析式可得点
38、 A 坐标为：（ 1，0） ，设抛物线对称轴交 x 轴于点 M，过点 C 作 CN抛物线对称轴于点 N，APCP， AMP=90，PNC=90，RtAMPRtPNC， = ， = ，解得：m 1=2， m2=3，点 P1（2， 2） ，P 2（2，3） ；（3）如图 2，设点 E（x，x 24x5） ，则 S 四边形 OEBF=2SOBE=2 OB（x 2+4x+5）=5x 2+20x+25，其中：2x5，当 S 四边形 OEBF= 时，代入可得： =5x2+20x+25，x1= ，x 2= （舍去） ，OB=5，点 E 的横坐标为 ，点 E 在线段 OB 的中垂线上，OE=BE，平行四边形 OEBF 是菱形【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及了利用待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的对称轴交点坐标的求法等知识此题难度适中，解题时注意仔细分析题意，注意数形结合思想的应用
