1、八年级（上）期末数学试卷一、单项选择题：（本大题共 8 题，每题 2 分，满分 16 分）1函数 y= 自变量 x 的取值范围是（ ）A x3 B x3 C x3 D x32下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）A B C D 3以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（ ）A 32，4 2，5 2 B C D 4已知 a、b、c 是常数，且 a0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有实数根的条件是（ ）A b24ac0 B b24ac0 C b24ac0 D b24ac05已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线 y=3x 上的两点，且 x1x 2，则 y1
2、 与 y2 的大小关系是（ ）A y1y 2 B y1y 2 C y1=y2 D 以上都有可能6下列说法正确的是（ ）A 三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系B 长方形的面积一定时，它的长和宽满足正比例关系C 正方形的周长与边长满足正比例关系D 圆的面积和它的半径满足正比例关系7如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（ ）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等边三角形 D 直角三角形8下列说法错误的是（ ）A 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线B 到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆
3、心，半径长为 1cm 的圆C 到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2cm 的直线D 等腰ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线二、填空题：（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）9化简： = 10方程：x（x1）=2x 的根是 11在实数范围内分解因式：x 2x3= 12已知函数 ，则 f（3）= 13已知一次函数的图象 y=kx+3 与直线 y=2x 平行，则实数 k 的值是 14反比例函数 y= 的图象，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 15已知一个两位数，个位上的数字比十
4、位上的数字小 4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小 4，设个位上的数字为 x，列出关于 x 的方程： 16如图，AD 是ABC 的角平分线，若 ABC 的面积是 48，且 AC=16，AB=12 ，则点 D到 AB 的距离是 17已知三角形三个内角的度数之比 3：2：1，若它的最大边长是 18，则最小边长是 18如图，CD 是ABC 的 AB 边上的高，CE 是 AB 边上的中线，且ACD=DCE=ECB，则B= 19某种货物原价是 x（元） ，王老板购货时买入价按原价扣去 25%，王老板希望对此货物定一个新价 y（元） ，以便按新价八折销售时仍然可以获得原价 25%的利润，
5、则新价 y 与原价 x 的函数关系式是 20如图，已知长方形 ABCD 纸片，AB=8，BC=4 ，若将纸片沿 AC 折叠，点 D 落在 D，则重叠部分的面积为 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 48 分）21用配方法解方程：x 24x96=022已知 ，求 的值23化简： 24弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在 010 千克范围内） ，测得一弹簧的长度 y（厘米）与所挂物体的质量 x（千克）有如下关系：x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8y（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16（1）此弹簧的原长度是 厘米；（2）物体每增加一千克重量弹簧伸长
6、 厘米；（3）弹簧总长度 y（厘米）与所挂物体的重量 x（千克）的函数关系式是 25等腰直角三角形 ABC 中， A=90，B 的平分线交 AC 于 D，过点 C 向 BD 做垂线，并与 BD 延长线交于点 E，求证：BD=2CE26已知等边ABC 的两个顶点坐标是 A（0，0） ，B（ ，3） （1）求直线 AB 的解析式；（2）求ABC 的边长，直接写出点 C 的坐标27 （12 分） （2014 秋 长宁区期末）如图，已知 ABC（ABAC） ，在BAC 内部的点 P到BAC 两边的距离相等，且 PB=PC（1）利用尺规作图，确定符合条件的 P 点（保留作图痕迹，不必写出作法） ；（2）
7、过点 P 作 AC 的垂线，垂足 D 在 AC 延长线上，求证：ABAC=2CD ；（3）当BAC=90 时，判断PBC 的形状，并证明你的结论；（4）当BAC=90 时，设 BP=m，AP=n，直接写出ABC 的周长和面积（用含 m、n 的代数式表示） 参考答案与试题解析一、单项选择题：（本大题共 8 题，每题 2 分，满分 16 分）1函数 y= 自变量 x 的取值范围是（ ）A x3 B x3 C x3 D x3考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，列不等式求解解答： 解：根据题
8、意得：3x0，解得 x3故选 D点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数2下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）A B C D 考点： 同类二次根式 分析： 先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答解答： 解：A、 与 被开方数相同，故是同类二次根式；B、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；C、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；D、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；故选 A点评： 此题考查同类二次根式的定义，正
9、确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键3以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（ ）A 32，4 2，5 2 B C D 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形最长边所对的角为直角由此判定即可解答： 解：A、因为（3 2） 2+（4 2） 2（5 2） 2 所以三条线段不能组成直角三角形；B、因为 22+（ ） 213（ ） 2 所以三条线段能组成直角三角形；C、因为（ 1） 2+（ 1） 2=（ ） 2，所以三条线段能组成直角三角形；D、因为（ ） 2+（ ） 2（
10、 ） 2，所以三条线段不能组成直角三角形；故选：C点评： 此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算4已知 a、b、c 是常数，且 a0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有实数根的条件是（ ）A b24ac0 B b24ac0 C b24ac0 D b24ac0考点： 根的判别式 分析： 根据关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a 0）有实数根的条件是0 即可得出正确的选项解答： 解：a、b、c 是常数，且 a0，关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有实数根的条件是：b 24ac0，故选
11、 C点评： 本题考查了根的判别式，当0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根5已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线 y=3x 上的两点，且 x1x 2，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）A y1y 2 B y1y 2 C y1=y2 D 以上都有可能考点： 一次函数图象上点的坐标特征 专题： 数形结合分析： 根据正比例函数的增减性即可作出判断解答： 解：y=3x 中30，y 随 x 的增大而减小，x1 x2，y1 y2故选 B点评： 此题考查了正比例函数的增减性，根据 k 的取值判断出函数的增减性是解题的关键6下列说法正确的是（ ）A
12、 三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系B 长方形的面积一定时，它的长和宽满足正比例关系C 正方形的周长与边长满足正比例关系D 圆的面积和它的半径满足正比例关系考点： 正比例函数的定义 分析： 分别利用三角形、矩形、圆的面积公式得出函数关系，进而判断得出即可解答： 解：A、三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足反比例关系，故此选项错误；B、长方形的面积一定时，它的长和宽满足反比例关系，故此选项错误；C、正方形的周长与边长满足正比例关系，正确；D、圆的面积和它的半径满足二次函数关系，故此选项错误；故选：C点评： 此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握各函数的定
13、义是解题关键7如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（ ）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等边三角形 D 直角三角形考点： 线段垂直平分线的性质 分析： 根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答解答： 解：如图，CA、CB 的中点分别为 D、E，CA、CB 的垂直平分线 OD、OE 相交于点 O，且点 O 落在 AB 边上，连接 CO，OD 是 AC 的垂直平分线，OC=OA，同理 OC=OB，OA=OB=OC，A、 B、C 都落在以 O 为圆心，以 AB 为直径的圆周上，C 是直角故选 D点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据题意画出图形利用
14、数形结合求解是解答此题的关键8下列说法错误的是（ ）A 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线B 到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为 1cm 的圆C 到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2cm 的直线D 等腰ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线考点： 轨迹 分析： 根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可解答： 解：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，A 正确；到点 P 距离等于
15、1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为 1cm 的圆，B 正确；到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2cm 的直线，C 正确；等腰ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线（BC 的中点除外） ，D 错误，故选：D点评： 本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质是解题的关键二、填空题：（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）9化简： = 3 考点： 二次根式的性质与化简 分析： 把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可解答： 解：原式=3 故答案为：3 点评：
16、本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键10方程：x（x1）=2x 的根是 0 或 3 考点： 解一元二次方程-因式分解法 分析： 先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解，最后解方程即可解答： 解：由原方程，得x（x1 2）=0，即 x（x3）=0，所以 x=0 或 x3=0，解得 x1=0，x 2=3，故答案是：0 或 3点评： 本题考查了解一元二次方程因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的
17、解11在实数范围内分解因式：x 2x3= 考点： 实数范围内分解因式 分析： 首先解一元二次方程 x2x3=0，即可直接写出分解的结果解答： 解：解方程 x2x3=0，得 x= ，则：x 2x3= 故答案是： 点评： 本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式若是关于一个字母的二次三项式分解，可以利用一元二次方程的求根公式进行分解，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止12已知函数 ，则 f（3）= +1 考点： 函数值 分析： 根据函数关系式，把 x 的值代入，即可解答解答： 解：f（3）= = = = ；故答案为： +1点评： 本题考查了函数
18、关系式，解决本题的关键是用代入法求解13已知一次函数的图象 y=kx+3 与直线 y=2x 平行，则实数 k 的值是 2 考点： 两条直线相交或平行问题 分析： 由平行直线的特征可求得 k 的值解答： 解：一次函数的图象 y=kx+3 与直线 y=2x 平行，k=2故答案为：2点评： 本题主要考查平行直线的特征，掌握平行直线的比例系数 k 相等是解题的关键14反比例函数 y= 的图象，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 k3 考点： 反比例函数的性质 专题： 探究型分析： 先根据当 x0 时，y 随 x 的增大而增大判断出 k3 的符号，求出 k 的取值范围即可解答：
19、 解：反比例函数 y= 的图象，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，k30 ，解得 k3故答案为：k3点评： 本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数 y= （k0）的图象是双曲线，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大15已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小 4，设个位上的数字为 x，列出关于 x 的方程： x 2+（x+4）2=x+10（ x+4）4 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程 专题： 数字问题分析： 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为 x+4，那么这两位数为：10（x+
20、4）+x，这两个数的平方和为：x 2+（x+4 ） 2，再根据两数的值相差 4 即可得出答案解答： 解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）这两个数的平方和为：x 2+（x+4） 2，两数相差 4，x2+（x+4） 2=x+10（x+4 ）4故答案为：x 2+（x+4 ） 2=x+10（x+4）4点评： 本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解16如图，AD 是ABC 的角平分线，若 ABC 的面积是 48，且 AC=16，AB=12 ，则点 D到 AB 的距离是 考点： 角平分线的性质 分析： 过 D 作 DEAB 与 E，过 D
21、 作 DFAC 于 F，由 AD 是ABC 的角平分线，根据角平分线的性质，可得 DE=DF，又由 ABC 的面积等于 48，AC=12，AB=16 ，S ABC=SABD+SACD，即可求得答案解答： 解：过 D 作 DEAB 与 E，过 D 作 DFAC 于 F，AD 是 ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF，ABC 的面积等于 48，AC=12，AB=16 ，SABC=SABD+SACD= ABDE+ ACDF= ABDE+ ACDE= DE（AB+AC） ，即 DE（12+16）=48 ，解得：DE= 故答案为： 点评： 此题考查了角平分线的性质以及三角形的面积问题，正确
22、的作出辅助线是解题的关键17已知三角形三个内角的度数之比 3：2：1，若它的最大边长是 18，则最小边长是 9 考点： 含 30 度角的直角三角形 分析： 先根据三角形三个内角之比为 1：2：3 求出各角的度数判断出三角形的形状，再根据特殊角的三角函数值求解解答： 解：先根据三角形三个内角之比为 1：2：3，设三角形最小的内角为 x，则另外两个内角分别为 2x， 3x，x+2x+3x=180，x=30，3x=90 ，此三角形是直角三角形，它的最小的边长，即 30 度角所对的直角边长为： 18=9，故答案是：9点评： 本题考查的是三角形内角和定理，含 30 度角的直角三角形解答此题的关键是根据三
23、角形三个内角度数的比值判断出三角形的形状18如图，CD 是ABC 的 AB 边上的高，CE 是 AB 边上的中线，且ACD=DCE=ECB，则B= 30 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 分析： 过 E 作 EFBC 于 F，证出ADC EDC，得到 AD=DE，根据 CE 是 AB 边上的中线，得到 AE=BE，根据角平分线的性质得到 EF=DE，由于 sinB= = ，于是得到结论解答： 解：过 E 作 EFBC 于 F，CDAB，ADC=EDC=90，在ADC 与 EDC 中， ，ADCEDC，AD=DE，CE 是 AB 边上的中线，AE=BE，DCE=ECB，EF
24、=DE，DE= AE= BE=EF，sinB= = ，B=30故答案为：30点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质，三角形的高线和中线，角平分线的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键19某种货物原价是 x（元） ，王老板购货时买入价按原价扣去 25%，王老板希望对此货物定一个新价 y（元） ，以便按新价八折销售时仍然可以获得原价 25%的利润，则新价 y 与原价 x 的函数关系式是 考点： 根据实际问题列一次函数关系式 分析： 根据题意可得：新价八折=买入价+利润，根据等量关系代入数据进行计算即可解答： 解：由题意得：y 80%=（1 25%）x+25%x，
25、整理得：y= x故答案为： 点评： 此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，关键是正确理解题意，掌握售价、进价、利润的关系20如图，已知长方形 ABCD 纸片，AB=8，BC=4 ，若将纸片沿 AC 折叠，点 D 落在 D，则重叠部分的面积为 10 考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 过点 F 作 FEAC，垂足为 E，由勾股定理得：AC=4 ，然后证明 ACF 为等腰三角形，由等腰三角形的性质可求得 AE 的长，接下来证明AEFABC，从而可求得 EF的长为 ，最后根据三角形的面积公式求得ACF 的面积即可解答： 解：如图所示：过点 F 作 FEAC，垂足为 E由勾股定理得：AC= =
26、4 DCAB，DCA=CAB由翻折的性质可知：DCA=DCAFAC=FCAAF=CF又 FEACAE=CE=2 EAF=BAC， FEA=CBA=90，AEFABC ，即 EF= =10故答案为：10点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、翻折变换，证得ACF 为等腰三角形，由等腰三角形的性质可求得 AE 的长是解题的关键三、解答题：（本大题共 7 题，满分 48 分）21用配方法解方程：x 24x96=0考点： 解一元二次方程-配方法 分析： 移项，配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可解答： 解：x 24x96=0x24x+4=96+4，配方得：（x2 ）
27、 2=100，开方得：x2= 10，解得 x1=12，x 2=8点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数22已知 ，求 的值考点： 二次根式的化简求值 分析： 先将已知化简，再代入即可解答： 解：x=3 ，原式= 点评： 本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简再代入是解答此题的关键23化简： 考点： 二次根式的性质与化简 分析： 先根据二次根式的性质，确定 a 的取值范围为 a0，再进行化简，即可解答解答： 解：根据题意得 a0，原式=6 a+（12a）+ （a）=74a点评
28、： 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是确定 a 的取值范围24弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在 010 千克范围内） ，测得一弹簧的长度 y（厘米）与所挂物体的质量 x（千克）有如下关系：x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8y（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16（1）此弹簧的原长度是 12 厘米；（2）物体每增加一千克重量弹簧伸长 0.5 厘米；（3）弹簧总长度 y（厘米）与所挂物体的重量 x（千克）的函数关系式是 y=0.5x+12 考点： 函数关系式 分析： （1）观察表格，当所挂物体质量为 0 时，即是弹簧不挂物体时的长度
29、；（2）根据当 x=1 时，y=12.5，即可解答；（3）根据表格数据可得 y 与 x 成一次函数关系，设 y=kx+b，取两点代入可得出 y 与 x 的关系式；解答： 解：（1）弹簧的原长度是 12 厘米，故答案为 12； （2）x=1 时，y=12.5 ，物体每增加一千克重量弹簧伸长 12.512=0.5（厘米） ，故答案为：0.5；（3）设 y=kx+b，将点（0，12） ， （2，13）代入可得解得：则 y=0.5x+12故答案为：y=0.5x+12点评： 本题考查了函数关系式及函数值的知识，解答本题的关键是观察表格中的数据，得出 y 与 x 的函数关系式25等腰直角三角形 ABC 中
30、， A=90，B 的平分线交 AC 于 D，过点 C 向 BD 做垂线，并与 BD 延长线交于点 E，求证：BD=2CE考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题： 证明题分析： 根据已知条件，易证BFE BCE，所以 BF=BC，所以 F=BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质可得：CE=FE，再证明ABD ACF，证得 BD=CF，从而证得BD=2CE解答： 证明：延长 CE，交 BA 延长线于点 FBE 平分ABC，ABD=DBC，又 BEEC，BEC=BEF=90，在BEF 和BEC 中，BEFBEC，EF=EC，即 CF=2EC，AB=AC，BAC=90CAF=90RtAB
31、D 中，ABD+ ADB=90，RtAEF 中，ABD+ F=90，ADB=F，在ABD 和 ACF 中，ABDACF，BD=CF，CF=2EC，BD=2CE点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质26已知等边ABC 的两个顶点坐标是 A（0，0） ，B（ ，3） （1）求直线 AB 的解析式；（2）求ABC 的边长，直接写出点 C 的坐标考点： 待定系数法求一次函数解析式 分析： （1）因为直线过（0，0） ，因此此函数是正比例函数，设解析式：y=kx（k0） ，把 B 代入可解出 k 的值，进而可得答案；（2）根
32、据 A、B 两点坐标可得 AB 的长，再由三角形是等边三角形可得 C 点坐标解答： 解：（1）设直线 AB 的解析式：y=kx（k0） ，把 B 代入得： ，解得 AB 直线的解析式为 （2）A（0， 0） ，B （ ， 3） ， ，ABC 是等边三角形， 和 C（0，6） 点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及等边三角形的判定，关键是掌握凡是经过原点的直线都是正比例函数27 （12 分） （2014 秋 长宁区期末）如图，已知 ABC（ABAC） ，在BAC 内部的点 P到BAC 两边的距离相等，且 PB=PC（1）利用尺规作图，确定符合条件的 P 点（保留作图痕迹，不必写出
33、作法） ；（2）过点 P 作 AC 的垂线，垂足 D 在 AC 延长线上，求证：ABAC=2CD ；（3）当BAC=90 时，判断PBC 的形状，并证明你的结论；（4）当BAC=90 时，设 BP=m，AP=n，直接写出ABC 的周长和面积（用含 m、n 的代数式表示） 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形 分析： （1）作BAC 的平分线和线段 BC 的垂直平分线，两线交于点 P，则点 P 即为所求；（2）如图 2，作 PEAB 于点 E，联结 PB、PC，由点 P 在BAC 的平分线上，得到PD=PE，证得 RtPEBRtPDC，得到 BE=CD，推出 RtAEP
34、RtADP，得到 AE=AD，由于 AE=ABBE，AD=AC+CD ，即可得到结论；（3）根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论；（4）由（3）证得BPC 是等腰直角三角形，推出AEP 是等腰直角三角形，求得AE= AP，即 AE= n，由于 AE=AD，BE=CD，于是得到 AB+AC=AE+AD= n，求得ABC 的周长= （m+n ） ，根据 RtPEBRtPDC，得到 SABC=S 四边形 ABPCSBPC= n2= m2解答： 解：（1）如图 1 所示，点 P 即为所求作的点；（2）如图 2，作 PEAB 于点 E，联结 PB、PC，点 P 在BAC 的平分线上，PD=PE，在
35、 RtPEB 和 RtPDC 中，RtPEBRtPDC，BE=CD，在 RtAEP 和 RtADP 中，RtAEPRtADP，AE=AD，AE=ABBE，AD=AC+CD，ABBE=AC+CD，又 BE=CD，ABAC=2CD；（3）BAC=90，EAP=PAC=45，在 RtAEP 中， EAP+EPA=90，EPA=45，同理APD=45 ，EPD=90=EPC+CPD，由（2）知 RtPEBRtPDC，BPE=CPD，BPE+EPC=90，即BPC=90，又 BP=PC，BPC 是等腰直角三角形；（4）由（3）证得BPC 是等腰直角三角形，BC= PB，PB=m，BC= m，AP 平分BAC， CAB=90，EAP=45，AEP 是等腰直角三角形，AE= AP，AP=n，AE= n，AE=AD，BE=CD，AB+AC=AE+AD= n，ABC 的周长= （m+n） ，RtPEBRtPDC，S 四边形 ABPC=S 四边形 AEPD=AE2= n2，SABC=S 四边形 ABPCSBPC= n2= m2点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，正确的作出辅助线是解题的关键
