1、2015-2016 学年八年级（上）期中数学试卷一选择题：（本题共 10 小题，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）1下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )A1，2，6 B2，2，4 C1，2，3 D2，3，42一个正多边形的每个外角都等于 36，那么它是( )A正五边形 B正六边形 C正八边形 D正十边形3在平面直角坐标系中，点 P（2，3）关于 y 轴的对称点的坐标为 ( )A （2，3） B （2，3） C （ 2，3） D （2，3）4下列“数字
2、”图形中，有且仅有一条对称轴的是( )A B C D5如图，将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合已知 AC=5cm， ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为 ( )A7cm B10cm C12cm D22cm6已知三角形两边的长分别是 4 和 10，则此三角形第三边的长可能是( )A5 B6 C11 D167如图，ABC 中，AB=AC ，A=36 ，BD 是 AC 边上的高，则DBC 的度数是( )A18 B24 C30 D368如图，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的高，下列能使 ABDACD 的条件是( )AAB=AC BBAC=90 CBD=AC D B
3、=459已知等腰ABC 中，AD BC 于点 D，且 AD= BC，则ABC 底角的度数为( )A45 B75C45或 15或 75 D60 10已知：如图，菱形 ABCD 的四边相等，且对角线互相垂直平分在菱形 ABCD 中，对角线 AC、DB 相交于点 O，且 ACBD，则图中全等三角形有( )A7 对 B8 对 C9 对 D10 对二、填空题（本大题共 8 小题，共 32 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）11一个等腰三角形的两边分别为 5 和 6，则这个等腰三角形的周长是_12如图，ABC 中，AB=AC ，ADBC，垂足为 D，若BAC=70，则BAD=_13在平面直角坐
4、标系中，点 P（20，a）与点 Q（b，13）关于 x 轴对称，则 a+b 的值为_14已知一个多边形的每一个内角都等于 108，则这个多边形的边数是 _15如图所示，一个角 60的三角形纸片，剪去这个 60角后，得到一个四边形，则1+2=_16如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0） ，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A、B、C 三点不在同一条直线上，当 ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是_17如图，ABC 是等边三角形P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PE AB 于点 E，线段BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF=2，则 PE
5、的长为_18如图所示，每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定 x 的值为_三解答题：本大题共 6 小题，总分 58 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19如图，写出ABC 的各顶点坐标，并画出 ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，写出ABC 关于 X 轴对称的 A2B2C2 的各点坐标20如图，在ABC 和ABD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AD=BC ， DAB=CBA，求证：AC=BD21如图，已知点 A、F 、E、C 在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE （1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明22如图正方形
6、ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点（1）求证：ADEABF （2）求AEF 的面积23如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作EFDE，交 BC 的延长线于点 F（1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长24问题提出：用 n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余） ，能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究：不妨假设能搭成 m 种不同的等腰三角形，为探究 m 与 n 之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论探究一：（1）用 3 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不
7、同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形所以，当 n=3 时，m=1（2）用 4 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？只可分成 1 根木棒、1 根木棒和 2 根木棒这一种情况，不能搭成三角形，所以，当 n=4 时，m=0（3）用 5 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成 1 根木棒、1 根木棒和 3 根木棒，则不能搭成三角形若分为 2 根木棒、2 根木棒和 1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当 n=5 时，m=1（4）用 6 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成 1 根木棒、1 根木棒和 4 根木棒，则不能搭成三角形若
8、分为 2 根木棒、2 根木棒和 2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当 n=6 时，m=1综上所述，可得表n 3 4 5 6m 1 0 1 1探究二：（1）用 7 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表中）（2）分别用 8 根、9 根、10 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表中）n 7 8 9 10m你不妨分别用 11 根、12 根、13 根、14 根相同的木棒继续进行探究，解决问题：用 n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余） ，能搭成多少种不同的等腰三角形？（设 n 分别等
9、于 4k1、4k、4k+1、4k+2，其中 k 是整数，把结果填在表 中）n 4k1 4k 4k+1 4k+2m问题应用：用 2016 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余） ，能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了_根木棒 （只填结果）期中数学试卷一选择题：（本题共 10 小题，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）1下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )A1，2，6 B2，2，4 C1，2，3 D2，3，4
10、【考点】三角形三边关系 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可【解答】解：A、1+2 6，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、2+34，能组成三角形，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理2一个正多边形的每个外角都等于 36，那么它是( )A正五边形 B正六边形 C正八边形 D正十边形【考点】多边形内角与外角 【分析】利用多边形的外角和 360，除以外角的度数，即可求得边数【解答】解：360
11、 36=10故选 D【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是 360 度是关键3在平面直角坐标系中，点 P（2，3）关于 y 轴的对称点的坐标为 ( )A （2，3） B （2，3） C （ 2，3） D （2，3）【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【分析】根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 ”解答【解答】解：点 P（ 2，3）关于 y 轴的对称点的坐标为（ 2，3） 故选 B【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于
12、y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数4下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是( )A B C D【考点】轴对称图形 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，找到各选项中的对称轴即可【解答】解：A、有一条对称轴，故本选项正确；B、没有对称轴，故本选项错误；C、有两条对称轴，故本选项错误；D、有两条对称轴，故本选项错误 ；故选：A【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握轴对称图及对称轴的定义，属于基础 题5如图，将ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与
13、点 A 重合已知 AC=5cm， ADC 的周长为 17cm，则 BC 的长为 ( )A7cm B10cm C12cm D22cm【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】首先根据折叠可得 AD=BD，再由 ADC 的周长为 17cm 可以得到 AD+DC 的长，利用等量代换可得 BC 的长【解答】解：根据折叠可得：AD=BD，ADC 的周长为 17cm，AC=5cm，AD+DC=175=12（cm） ，AD=BD，BD+CD=12cm故选：C【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等6已知三角形两边的长分
14、别是 4 和 10，则此三角形第三边的长可能是( )A5 B6 C11 D16【考点】三角形三边关系 【专题】探究型【分析】设此三角形第三边的长为 x，根据三角形的三边关系求出 x 的取值范围，找出符合条件的 x 的值即可【解答】解：设此三角形第三边的长为 x，则 104x10+4 ，即 6x14，四个选项中只有 11 符合条件故选：C【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边7如图，ABC 中，AB=AC ，A=36 ，BD 是 AC 边上的高，则DBC 的度数是( )A18 B24 C30 D36【考点】等腰三角形的性质 【分析】根据已知可求得两
15、底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得DBC 的度数【解答】解：AB=AC，A=36，ABC=ACB=72BD 是 AC 边上的高，BDAC，DBC=9072=18故选 A【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般8如图，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的高，下列能使 ABDACD 的条件是( )AAB=AC BBAC=90 CBD=AC D B=45【考点】全等三角形的判定 【专题】压轴题【分析】此题是开放型题型，根据题目现有条件，AD=AD，ADB= ADC=90，可以用HL 判断确定，也可以用 SAS
16、，AAS，SSS 判断两个三角形全等【解答】解：添加 AB=AC，符合判定定理 HL；添加 BD=DC，符合判定定理 SAS；添加B= C，符合判定定理 AAS；添加BAD=CAD，符合判定定理 ASA；选其中任何一个均可故选：A【点评】本题主要考查了学生对三角形全等判断的几种方法的应用能力，既可以用直角三角形全等的特殊方法，又可以用一般方法判定全等，关键是熟练掌握全等三角形的判定定理9已知等腰ABC 中，AD BC 于点 D，且 AD= BC，则ABC 底角的度数为( )A45 B75C45或 15或 75 D60 【考点】含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质；等腰直角三角形 【专题
17、】几何图形问题；分类讨论【分析】作出图形，分点 A 是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得 BD=CD，从而 得到 AD=BD=CD，再利用等边对等角的性质可得B=BAD ，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；点 A 是底角顶点时，再分 AD 在ABC 外部时，根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出ACD=30，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是 15，AD 在ABC 内部时，根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出C=30，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可【解答】解：如图 1，点 A 是顶点时，AB=AC ，ADBC，B
18、D=CD，AD= BC，AD=BD=CD，在 RtABD 中， B=BAD= （18090）=45；如图 2，点 A 是底角顶点，且 AD 在ABC 外部时，AD= BC，AC=BC ，AD= AC，ACD=30，BAC=ABC= 30=15；如图 3， 点 A 是底角顶点，且 AD 在ABC 内部时，AD= BC，AC=BC ，AD= AC，C=30，BAC=ABC= （180 30）=75 ；综上所述，ABC 底角的度数为 45或 15或 75故选 C【点评】本题考查了 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的
19、性质，难点在于要分情况讨论求解10已知：如图，菱形 ABCD 的四边相等，且对角线互相垂直平分在菱形 ABCD 中，对角线 AC、DB 相交于点 O，且 ACBD，则图中全等三角形有( )A7 对 B8 对 C9 对 D10 对【考点】菱形的性质；全等三角形的判定 【分析】根据菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案【解答】解：图中全等三角形有：ABO ADO， ABOCDO， ABOCBO；AODCOD，AODCOB；DOCBOC；ABDCBD，ABCADC；共 8 对故选：B【点评】此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理，在查
20、找时要有序的进行，否则很容易出错二、填空题（本大题共 8 小题，共 32 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）11一个等腰三角形的两边分别为 5 和 6，则这个等腰三角形的周长是 16 或 17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为5；（2）当等腰三角形的腰为 6；两种情况讨论，从而得到其周长【解答】解：当等腰三角形的腰为 5，底为 6 时，周长为 5+5+6=16当等腰三角形的腰为 6，底为 5 时，周长为 5+6+6=17故这个等腰三角形的周长是 16 或 17故答案为：16 或 17【点评】本题考查了等
21、腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键12如图，ABC 中，AB=AC ，ADBC，垂足为 D，若BAC=70，则 BAD=35【考点】等腰三角形的性质 【分析】先根据ABC 中，AB=AC ，ADBC 可知 AD 是 BAC 的平分线， 由角平分线的性质即可得出结论【解答】解：ABC 中，AB=AC，ADBC，AD 是 BAC 的平分线，BAD= BAC= 70=35故答案为：35【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一” 的性质是解答此题的关键
22、13在平面直角坐标系中，点 P（20，a）与点 Q（b，13）关于 x 轴对称，则 a+b 的值为33【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【分析】利用关于 x 轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点 P的坐标是（x，y） ，进而得出答案【解答】解：点 P（20，a）与点 Q（b，13）关于 x 轴对称，b=20，a=13，则 a+b 的值为：20 13=33故答案为：33 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键14已知一个多边形的每一个内角都等于 108，则这个多边形的边数是 5【考点】多边形内角与外
23、角 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用 360除以一个外角的度数即可得到边数【解答】解：多边形的每一个内角都等于 108，多边形的每一个外角都等于 180108=72，边数 n=36072=5故答案为：5【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键15如图所示，一个角 60的三角形纸片，剪去这个 60角后，得到一个四边形，则1+2=240【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理 【分析】三角形纸片中，剪去其中一个 60的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于 360 度即可求得1+2 的度数【解答】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去1 ，
24、2 后的两角的度数为 18060=120，则根据四边形的内角和定理得：1+2=360120=240故答案为：240【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是 360 度的实际运用与三角形内角和 180 度之间的关系16如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0） ，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A、B、C 三点不在同一条直线上，当 ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（0，3） 【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 【分析】根据轴对称做最短路线得出 AE=BE，进而得出 BO=CO，即可得出ABC 的周长最小时 C 点坐标【解答】解：作 B 点关于 y
25、轴对称点 B点，连接 AB，交 y 轴于点 C，此时ABC 的周长最小，点 A、 B 的坐标分别为（ 1， 4）和（3，0） ，B点坐标为：（ 3，0） ，AE=4 ，则 BE=4，即 BE=AE，COAE，BO=CO=3，点 C的坐标是（ 0，3） ，此时 ABC 的周长最小故答案为（0，3） 【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出 C 点位置是解题关键17如图，ABC 是等边三角形P 是ABC 的平分线 BD 上一点，PE AB 于点 E，线段BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q若 BF=2，则 PE 的长为 【考点】等边三角形的性质；含 3
26、0 度角的直角三角形 【分析】在直角BFQ 中，利用三角函数即可求得 BQ 的长，则 BP 的长即可求得，然后在直角BPE 中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半即可求得 PE 的长【解答】解：ABC 是等边三角形P 是ABC 的平分线 BD 上一点，FBQ=EBP=30，在直角BFQ 中，BQ=BFcos FBQ=2 = ，又 QF 是 BP 的垂直平分线，BP=2BQ=2 直角 BPE 中，EBP=30 ，PE= BP= 故答案是： 【点评】本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形的性质和三角函数，正确求得 BQ的长是关键18如图所示，每个表格中的四 个数都是按相同规律填写的：根据此
27、规律确定 x 的值为 209【考点】规律型：数字的变化类 【分析】首先根据图示，可得第 n 个表格的左上角的数等于 n，左下角的数等于 n+1；然后根据 41=3，62=4 ，8 3=5， 104=6，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是 3、4、5、，n+2，据此求出 a 的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出 x 的值是多少即可【解答】解：a+（a+2）=20，a=9，b=a+1，b=a+1=9+1=10，x=20b+a=2010+9=200+9=209故答案为：209【点评】此题主要考查了数字的变化规律，注意观察总结出
28、规律，并能正确的应用规律三解答题：本大题共 6 小题，总分 58 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19如图，写出ABC 的各顶点坐标，并画出 ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1，写出ABC 关于 X 轴对称的 A2B2C2 的各点坐标【考点】作图-轴对称变换 【专题】作图题【分析】利用轴对称性质，作出 A、B、C 关于 x 轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于 y 轴对称的A 1B1C1；利用轴对称性质，作出 A、B 、C 关于 y 轴的对称点，顺次连接各点，即得到关于 x 轴对称的A 2B2C2；然后根据图形写出坐标即可【解答】解：ABC 的各顶点的坐标分别为：A（3，2
29、） ，B （4，3） ，C （1，1） ；所画图形如下所示，其中A 2B2C2 的各点坐标分别为：A 2（ 3，2） ，B 2（ 4， 3） ，C 2（1，1） 【点评】本题考查了轴对称作图， 作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点； 按原图形中的方式顺次连接对称点20如图，在ABC 和ABD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AD=BC ， DAB=CBA，求证：AC=BD【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题【分析】根据“SAS” 可证明 ADBBAC，由全等三角形的性质即可证明 AC=BD【解答】证明：在ADB 和B
30、AC 中，ADBBAC（SAS） ，AC=BD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件21如图，已知点 A、F 、E、C 在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE （1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明【考点】全等三角形的判定 【专题】证明题【分析】 （1）根据题目所给条件可分析出ABE CDF，AFDCEB ；（2）根据 ABCD 可得1=2，根据 AF=CE 可得 AE=FC，然后再证明 ABECDF 即可【解答】解：（1）ABECDF ， AF
31、DCEB；（2）AB CD，1=2，AF=CE，AF+EF=CE+EF，即 AE=FC，在ABE 和CDF 中，ABECDF（AAS） 【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角22如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点（1）求证：ADEABF （2）求AEF 的面积【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题【分析】 （1）由四边形 ABCD 为
32、正方形，得到 AB=AD，B=D=90 ，DC=CB，由 E、F分别为 DC、BC 中点，得出 DE=BF，进而证明出两三角形全等；（2）首先求出 DE 和 CE 的长度，再根据 SAEF=S 正方形 ABCDSADESABFSCEF 得出结果【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形，AB=AD，D= B=90，DC=CB ，E、 F 为 DC、BC 中点，DE= DC，BF= BC，DE=BF，在ADE 和 ABF 中，ADEABF（SAS ） ；（2）解：由题知ABF、ADE、 CEF 均为直角三角形，且 AB=AD=4，DE=BF= 4=2，CE=CF= 4=2，SAEF=S 正
33、方形 ABCDSADESABFSCEF=44 42 42 22=6【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不大23如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 DEAB，过点 E 作EFDE，交 BC 的延长线于点 F（1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长【考点】等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 【专题】几何图形问题【分析】 （1）根据平行线的性质可得EDC =B=60，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的
34、性质即可求解【解答】解：（1）ABC 是等边三角形，B=60，DEAB，EDC=B=60，EFDE，DEF=90，F=90EDC=30；（2）ACB=60，EDC=60，EDC 是等边三角形ED=DC=2，DEF=90，F=30，DF=2DE=4【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直 角三角形的性质，30 度的锐角所对的直角边等于斜边的一半24问题提出：用 n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余） ，能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究：不妨假设能搭成 m 种不同的等腰三角形，为探究 m 与 n 之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论探究一：
35、（1）用 3 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形所以，当 n=3 时，m=1（2）用 4 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？只可分成 1 根木棒、1 根木棒和 2 根木棒这一种情况，不能搭成三角形，所以，当 n=4 时，m=0（3）用 5 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成 1 根木棒、1 根木棒和 3 根木棒，则不能搭成三角形若分为 2 根木棒、2 根木棒和 1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当 n=5 时，m=1（4）用 6 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？若分成
36、1 根木棒、1 根木棒和 4 根木棒，则不能搭成三角形若分为 2 根木棒、2 根木棒和 2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当 n=6 时，m=1综上所述，可得表n 3 4 5 6m 1 0 1 1探究二：（1）用 7 根相同的木棒搭成一个三角 形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表中）（2）分别用 8 根、9 根、10 根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表中）n 7 8 9 10m你不妨分别用 11 根、12 根、13 根、14 根相同的木棒继续进行探究，解决问题：用 n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒
37、无剩余） ，能搭成多少种不同的等腰三角形？（设 n 分别等于 4k1、4k、4k+1、4k+2，其中 k 是整数，把结果填在表 中）n 4k1 4k 4k+1 4k+2m问题应用：用 2016 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余） ，能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积最大的等腰三角形每个腰用了 672 根木棒 （只填结果）【考点】作图应用与设计作图；等腰三角形的判定与性质【分析】探究二：（1）周长为 7，让腰长从 1 开始逐个验证即可；（2）周长为 8、9、10，方法同上；解决问题：问题的本质是，给定三角形的周长 n，且 n=2a+b，求满足要求的 a 的整数解的个数
38、 m因此，根据三角形三边关系，我们将 a 的取值范围用 n 表示出来，从而就可以确定 n 在取任意值时，a 的整数解个数 m；任意一个整数，均可以表示成 4k1，4k，4k+1，4k+2 四种形式当中的一种，让 n 取这四种值，得出 m 的值填表；问题应用：（1）根据上面探究得出的一般结论，只需看 2016 符号哪种情况即可n=2016=504 4，m=504 1=503；（3）周长相同的情况下，等边三角形面积最大；【解答】解：探究二：（1）7=1+1+5（舍去） ；7=2+2+3（符合要求） ；7=3+3+1（符合要求） ；（2）8=1+1+6（舍去） ；8=2+2+4（舍去） ；8=3+3
39、+2（符合要求） ；9=1+1+7（舍去） ；9=2+2+5（舍去） ；9=3+3+3（符合要求） ；9=4+4+1（符合要求） ；10=1+1+8（舍去） ；10=2+2+6（舍去） ；10=3+3+4（符合要求） ；10=4+4+2（符合要求） ；填表如下：n 7 8 9 10m 2 1 2 2解决问题：令 n=a+a+b=2a+b，则：b=n 2a，根据三角形三边关系定理可知：2ab 且 b0， ，解得： ，若 n=4k1，则 ，a 的整数解有 k 个；若 n=4k，则 ka2k，a 的整数解有 k1 个；若 n=4k+1，则 ，a 的整数解有 k 个；若 n=4k+ 2，则 ，a 的整数解有 k 个；填表如下：n 4k1 4k 4k+1 4k+2m k k1 k k问题应用：（1）2016=4504，k=504，则可以搭成 k1=503 个不同的等腰三角形； （2）当等腰三角形是等边三角形时，面积最大，20163=672【点评】本题以一种探究的方式考查了腰三角形的性质、三角形三边关系、整数解问题，命题新颖，视角独特，是一道经典好题探究过程中，体现从特殊到一般的归纳思想掌握好等腰三角形性的基本性质及三角形三边关系是解决本题的关键
