1、2015-2016 学年（11 月 28 日）九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内1若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( )Ax0 Bx3 Cx 3 Dx32下列各式是二次根式的是( )A B C D3下列式子中正确的是( )A B C D4若 =m1，则 m 的取值范围是( )Am1 Bm1 Cm=1 D一切实数5一元二次方程（x1） 2=2 的解是( )Ax 1=1 ，x 2=1+ Bx 1=1 ，x 2=1+Cx 1=3，x 2=1 Dx 1=1，x 2=36如图，将正
2、方形图案绕中心 O 旋转 180后，得到的图案是( )A B C D7如果 2+ 是方程 x2cx+1=0 的一个根，那么 c 的值是( )A2 B4 C 4 或 2 D48用配方法解方程 2x2+3=7x 时，方程可变形为( )A （x ） 2= B （x ） 2= C （x ） 2= D （x ） 2=94 张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转 180后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是( )A第一张、第二张 B第二张、第三张C第三张、第四张 D第四张、第一张10我校生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全 组互赠182 件，如果全组有 x
3、 名同学，则根据题意列出的方程是( )Ax（x+1）=182 Bx（x 1）=182 C2x（x+1）=182 Dx（x1）=1822二、填空（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11方程 x22x=0 的根是_12若 ，则 =_13关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是_14等腰三角形的边长是方程 x26x+8=0 的解，则这个三角形的周长是_15如图所示，在ABC 中，B=40，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转至在ADE 处，使点 B落在 BC 的延长线上的 D 点处，则BDE=_度16下列四个命题，你认为正确的命题是_（只
4、填命题的序号）计算 + =0已知 x1、x 2 是方程 x22x1=0 的两个根，则 + =2关于 x 的一元二次方程 x2mx+（m 2）=0 有 两个不相等的实数根若 xy0，且 x+y0，那么点 P（x，y）关于原点的对称点在第二象限三、 （本大题共 3 小题，17 小题 6 分，第 18、19 小题各 7 分，共 20 分）17计算： 18小红按某种规律写出 4 个方程：x2+x+2=0；x 2+2x+3=0； x2+3x+4=0； x2+4x+5=0（1）上述四个方程根的情况如何？为什么？（2）按此规律，请你写出一个两根都为整数的方程，并解这个方程19阅读理解：我们把 称作二阶行列式
5、，规定他的运算法则为 =adbc如=2534=2（1）计算： ；（2）如果 =4，求 y 的值四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）20ABC 和EFG 是两块完全重合的等边三角形纸片（如图 所示） ，O 是 AC（或EF）的中点，ABC 不动，将 EFG 绕 O 点顺时针转 （ 0120） （1）试分别说明 是多少度时，点 F 在 ABC 外部、BC 上、内部（不证明）？（2）当点 F 不在 BC 上时，在图 、图两种情况下（设 EF 或延长线与 BC 交于P，EG 与 CA 或延长线交于 Q） ，分别写出 OP 与 OQ 的数量关系，并从图、中选一种情况给予证明21已知
6、关于 x 的方程 x22（ m+1）x+m 2=0，（1）当 m 取什么值时，原方程没有实数根；（2）对 m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和五、 （本大题共 2 小题，第 22 小题 8 分，第 23 小题 9 分，共 17 分）22某商场将某种商品的售价从原来的每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元（1）若该商店两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价 0.2 元，即可多销售 10 件若该商品原来每月可销售 500 件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？23在网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位，在 RtA
7、BC 中， C=90，AC=3，BC=6 （1）试作出ABC 以 A 为旋转中心、沿顺时针方向旋转 90后的图形ABC ；（2）若点 B 的坐标为（ 4， 5） ，试建立合适的直角坐标系，并写出 A、C 两点的坐标；（3）作出与ABC 关于原点对称的图形 ABC，并写出 A、B 、C 三点的坐标六、 （本大题共 2 小题，第 24 小题 9 分，第 25 小题 10 分，共 19 分）24在一块长 32m，宽 24m 的矩形荒地上建造一个花园，要求花轩占地面积为荒地面积的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案说明：小强的设计方案如图（1） ，其中花园四周小路的宽度一样，通过解方程得到小路的宽为
8、4m 或 24m，小颖的设计方案如图（2） ，其中每个角上的扇形半径都相同（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由（2）请你帮助小颖求出图中的 x （ 的值取 3 结果保留根号）（3）你还有其他的设计方案吗？请在图（3）中画出一个与图（1） （2）有共同特点的设计草图，并加以说明25如图，在ABC 中，AC=AB=2 ， A=90，将一块与ABC 全等的三角板的直角顶点放在点 C 上，一直角边与 BC 重叠（1）操作 1：固定ABC，将三角板沿 CB 方向平移，使其直角顶点落在 BC 的中点M，如图 2 所示，探究：三 角板沿 CB 方向平移的距离为_；（2）操作 2：在（1）的情况下，将三角板
9、 BC 的中点 M 顺时针方向旋转角度 a（0a90） ，如图 3 所示，探究：设三角形板两直角边分别与 AB、AC 交于点 P、Q ，观察四边形 MPAQ 形状的变化，问：四边形 MPAQ 的面积 S 是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；（3）在（2）的情形下，连 PQ，设 BP=x，记MPQ 的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数关系式，并求 x 为何值时，y 的值是四边形 MPAQ 的面积的一半，此时，指出四边形 MPAQ的形状一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内1若 在实数范围内有意义，
10、则 x 的取值范围是( )Ax0 Bx3 Cx 3 Dx3【考点】二次根式有意义的条件 【专题】常规题型【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解：使 在实数范围内有意义，x30，解得 x3故选：C【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 02下列各式是二次根式的是( )A B C D【考点】二次根式的定义 【分析】根据二次根式的概念，逐一判断【解答】解：A、70， 不是二次根式；B、当 m0 时， 不是二次根式；C、a 2+10， 是二次根式；D、 根指数是 3，不是二次根式故选 C【点评】主要考查了二次根式的概念二次根式
11、的概念：式子 （a0）叫二次根式 （a 0）是一个非负数3下列式子中正确的是( )A B C D【考点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的运算法则分析各个选项【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，错误；B、运用合并同类二次根式的法则，正确；C、已是最简根式，不用再开方了，错误；D、二次根式不能化简，不可计算，错误故选 B【点评】注意：（1）同类二次根式的被开方数相同；（2）最简二次根式的判断依据：被开方数每个因式的指数都为 1， 只有一个因式4若 =m1，则 m 的取值范围是( )Am1 Bm1 Cm=1 D一切实数【考点】二次根式的性质与化简 【分析】直接利用二次根式的性质得出
12、 m1 的符号进而得出答案【解答】解： =m1，m10，m1故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的性质，得出 m1 的符号是解题关键5一元二次方程（x1） 2=2 的解是( )Ax 1=1 ，x 2=1+ Bx 1=1 ，x 2=1+Cx 1=3，x 2=1 Dx 1=1，x 2=3【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】直接用开平方法求解【解答】解：（x1） 2=2，x1= ，x=1 故选 B【点评】 （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a（a0） ；ax 2=b（a，b 同号且 a0） ；（x+a） 2=b（b 0） ； a（x+b） 2=c（a，c 同号且 a0
13、） 法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点6如图，将正方形图案绕中心 O 旋转 180后，得到的图案是( )A B C D【考点】利用旋转设计图案 【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心 O 旋转 180后，得到的图案是 D故选 D【点评】本题考查了利用旋转涉及图案的知识，图形的旋转是图形
14、上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的 大小和形状没有改变7如果 2+ 是方程 x2cx+1=0 的一个根，那么 c 的值是( )A2 B4 C 4 或 2 D4【考点】一元二次方程的解 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值 即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：把 2+ 代入方程得（2+ ） 2（2+ ）c+1=0解得：c=4故选 D【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题8用配方法解方程 2x2+3=7x 时，方程可变形为( )A （x
15、 ） 2= B （x ） 2= C （x ） 2= D （x ） 2=【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意 解题步骤的准确应用【解答】解：2x 2+3=7x，2x27x=3，x2 x= ，x2 x+ = + ，（ x ） 2= 故选 D【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数94 张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转 180后得到如图（2）所示
16、，那么她所旋转的牌从左起是( )A第一张、第二张 B第二张、第三张C第三张、第四张 D第四张、第一张【考点】中心对称图形 【专题】压轴题【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义即可求解【解答】解：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张故选 A【点评】当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的，有变化的时候，旋转的便是有变化的10我校生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠182 件，如果全组有 x 名同学，则根据题意列出的方程是( )Ax（x+1）=182 Bx（x 1）=182 C2x（x+1）=
17、182 Dx（x1）=1822【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】其他问题【分析】如果全组有 x 名同学，那么每名学生要赠送的标本数为 x1 件，全组就应该赠送x（x1）件，根据“ 全组互赠 182 件”，那么可得出方程为 x（x1）=182【解答】解：根据题意得 x（x1）=182故选 B【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键二、填空（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11方程 x22x=0 的根是 x1=0，x 2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】因为 x22x 可提取公因式，故用因式分解法解较简便【解答】解：因式分解得
18、x（x2）=0，解得 x1=0，x 2=2故答案为 x1=0，x 2=2【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为 0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便 方法，要会灵活运用12若 ，则 = 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性可知两个非负数相加为 0，意味着每个式子都为0，求出 x 和 y，代入所求代数式中计算即可【解答】解： ，x25=0，x+y2=0，解得 x=25，y=23 = 故 【点评】此题主要考查了
19、绝对值和二次根式的非负性，根据它们的非负性求解13关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k1且 k0【考点】根的判别式 【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足=b 24ac0【解答】解：依题意列方程组解得 k1 且 k0【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件14等腰三角形的边长是方程 x26x+8=0 的解，则这个三角形的周长是 10 或 6 或 12【考点】解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的
20、性质 【分析】由等腰三角形的底和腰是方程 x26x+8=0 的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当 2 是等腰三角形的腰时与当 4 是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可【解答】解：x 26x+8=0，（ x2） （x4）=0，解得：x=2 或 x=4，等腰三角形的底和腰是方程 x26x+8=0 的两根，当 2 是等腰三角形的腰时，2+2=4，不能组成三角形，舍去；当 4 是等腰三角形的腰时，2+44，则这个三角形的周长为 2+4+4=10当边长为 2 的等边三角形，得出这个三角形的周长为 2+2+2=6当边长为 4 的等边三角形，得出这个
21、三角形的周长为 4+4+4=12这个三角形的周长为 10 或 6 或 12故答案为：10 或 6 或 12【点评】此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法解题的关键是注意分类讨论你思想的应用解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键15如图所示，在ABC 中，B=40，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转至在ADE 处，使点B 落在 BC 的延长线上的 D 点处，则BDE=80 度【考点】旋转的性质 【分析】利用旋转的性质解题，由对应点到旋转中心的距离相等，即 AB=AD，可知ADB=B=40；由对应角相等，可知 ADE=B=40，两角相加
22、得BDE【解答】解：点 B 落在 BC 的延长线上的 D 点处，AB=AD，ADB=40，BDE=ADB+ADE=80【点评】本 题考查旋转的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度16下列四个命题，你认为正确的命题是（只填命题的序号）计算 + =0已知 x1、x 2 是方程 x22x1=0 的两个根，则 + =2关于 x 的一元二次方程 x2mx+（m 2）=0 有 两个不相等的实数根若 xy0，且 x+y0，那么点 P（x，y）关于原点的对称点在第二象限【考点】命题与定理 【分析】化简二
23、次根式；利用根与系数的关系求值；根据根的判别式判断实数根的情况；先根据已知条件确定 x、y 的取值，然后再判断关于原点对称点的象限【解答】解：原式=3 4 + =0，正确；x1+x2=2，x 1x2=1， + = = =2，正确；=b24ac=（ m） 241（m2）=m 24m+8=（m2） 2+40，方程有两个不相等的实数根，正确；xy0，且 x+y0，x0，y0，P 点关于原点对称的点在第三象限，错误故正确的命题有【点评】本题利用了二次根式的化简、一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、坐标系中任意点关于原点对称的点的确定三、 （本大题共 3 小题，17 小题 6 分，第 18、19 小
24、题各 7 分，共 20 分）17计算： 【考点】实数的运算 【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式=（4 4 +6 ）2 =（4 +4 ）=2 +2【点评】本题主要考查了实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算注意：负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数18小红按某种规律写出 4 个方程：x2+x+2=0；x 2+2x+3=0； x2+3
25、x+4=0； x2+4x+5=0（1）上述四个方程根的情况如何？为什么？（2）按此规律，请你写 出一个两根都为整数的方程，并解这个方程【考点】解一元二次方程-因式分解法；根的判别式 【专题】开放型【分析】 （1）只要看根的判别式=b 24ac 的值的符号就可以了；（2）二次项的系数恒为 1，第 4 个式子一次项的系数为 4，常数项为 5，那么第 5 个式子的二次项的系数为 1，一次项的系数为 5，常数项为 6，解方程即可【解答】解：（1）无实数根，因为它们每个方程的0 ；（2）x 2+5x+6=0，（x+2） （x+3）=0，解得 x=2 或3【点评】正确理解各个方程的系数与方程的序号之间的关
26、系，是解决本题的关键19阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定他的运算法则为 =adbc如=2534=2（1）计算： ；（2）如果 =4，求 y 的值【考点】二次根式的混合运算；解一元二次方程-公式法 【专题】阅读型；新定义【分析】 （1）根据二阶行列式直接列出关系式解答即可；（2）由二阶行列式直接列出关于 y 的方程，然后解方程即可【解答】解：（1）根据题意得：原式=（7+4 ）（74 ） （3 +1）（3 +1）=494845+1=456 （2）根据题意得：原式=（2y+1）（y2） 31=4，整理得：2y 23y1=0，x1= ，x 2 【点评】本题考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶
27、行列式列出方程，再解方程四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）20ABC 和EFG 是两块完全重合的等边三角形纸片（如图 所示） ，O 是 AC（或EF）的中点，ABC 不动，将 EFG 绕 O 点顺时针转 （ 0120） （1）试分别说明 是多少度时，点 F 在 ABC 外部、BC 上、内部（不证明）？（2）当点 F 不在 BC 上时，在图 、图两种情况下（设 EF 或延长线与 BC 交于P，EG 与 CA 或延长线交于 Q） ，分别写出 OP 与 OQ 的数量关系，并从图、中选一种情况给予证明【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质 【专题】分类讨论【分析
28、】 （1）按照 =60，060，60120分类说明；（2）利用 ASA，寻找证明三角形全等的条件【解答】解：（1）当 0 60，点 F 在 ABC 的外部，当 =60，点 F 在 BC 的中点，当 60120，点 F 在ABC 的内部；（2）两种情况下均有 OP=OQ；证明：如图，E= C=60，OE=OC= AC，EOQ=COP，EOQCOP，OP=OQ【点评】本题考查了旋转的性质、旋转知识在证明三角形全等中的运用等知识21已知关于 x 的方程 x22（ m+1）x+m 2=0，（1）当 m 取什么值时，原方程没有实数根；（2）对 m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个
29、实数根的平方和【考点】根的判别式；根与系数的关系 【专题】计算题；压轴题；判别式法【分析】 （1）要使原方程没有实数根，只需0 即可，然后可以得到关于 m 的不等式，由此即可求出 m 的取值范围；（2）根据（1）中求得的范围，在范围之外确定一个 m 的值，再根据根与系数的关系求得两根的平方和【解答】解：（1）方程没有实数根b24ac=2（m+1） 24m2=8m+40， ，当 时，原方程没有实数根；（2）由（1）可知， 时，方程有实数根，当 m=1 时，原方程变为 x24x+1=0，设此时方程的两根分别为 x1，x 2，则 x1+x2=4，x 1x2=1，x12+x22=（x 1+x2） 22
30、x1x2=162=14，当 m=1 时，原方程有两个实数根，这两个实数根的平方和是 14【点评】此题要求学生能够用根的判别式求解字母的取值范围，熟练运用根与系数的关系求关于两个根的一些代数式的值五、 （本大题共 2 小题，第 22 小题 8 分，第 23 小题 9 分，共 17 分）22某商场将某种商品的售价从原来的每件 40 元经两次调价后调至 每件 32.4 元（1）若该商店两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价 0.2 元，即可多销售 10 件若该商品原来每月可销售 500 件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题
31、【分析】 （1）设调价百分率为 x，根据售价从原来每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元，可列方程求解（2）根据的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是 x，依题意得：40（1x ） 2=32.4，解得：x 1=0.1=10%，x 2=1.9（舍去） ；故这个降价率为 10%；（2）降价后多销售的件数：（4032.4）0.210=380，两次调价后，每月可销售该商品数量为：380+500=880（件） 故两次调价后，每月可销售该商品 880 件【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后
32、的价格列方程求解，然后根据该商品每降价 0.2 元，即可多售 10 件，从而求出售出的总件数23在网格图中，每个小正方形的边长均为 1 个单位，在 RtABC 中， C=90，AC=3，BC=6 （1）试作出ABC 以 A 为旋转中心、沿顺时针方向旋转 90后的图形ABC ；（2）若点 B 的坐标为（ 4， 5） ，试建立合适的直角坐标系，并写出 A、C 两点的坐标；（3）作出与ABC 关于原点对称的图形 ABC，并写出 A、B 、C 三点的坐标【考点】作图-旋转变换 【专题】作图题；压轴题【分析】 （1）分别找出点 B、 C 绕点 A 沿顺时针方向旋转 90后的对应点，然后再顺次连接三个点，
33、即可得到ABC；（2）先根据点 B 的坐标确定出原点是点 A 向右一个单位，向上一个单位，然后建立平面直角坐标系，即可写出点 A、 C 的坐标；（3）分别找出点 A、B、C 关于原点的对称点，然后顺连接即可【解答】解：（1）如图；（2）点 A（1， 1） ，点 C（ 4，1） ；（3）A（1，1） ，B（4，5 ） ，C（4，1） 【点评】本题考查旋转变换作图，做这类题的关键是按要求旋转后找对应点，然后顺次连接， （2）中准确找出坐标原点是解题的关键，难度中等六、 （本大题共 2 小题，第 24 小题 9 分，第 25 小题 10 分，共 19 分）24 在一块长 32m，宽 24m 的矩形荒
34、地上建造一个花园，要求花轩占地面积为荒地面积的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案说明：小强的设计方案如图（1） ，其中花园四周小路的宽度一样，通过解方程得到小路的宽为 4m 或 24m，小颖的设计方案如图（2） ，其 中每个角上的扇形半径都相同（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由（2）请你帮助小颖求出图中的 x （ 的值取 3 结果保留根号）（3）你还有其他的设计方案吗？请在图（3）中画出一个与图（1） （2）有共同特点的设计草图，并加以说明【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题；图表型【分析】 （1）根据条件路的宽度小于 24，故得出小强的结果不对，应该是 4 米；（2）根据四
35、个扇形的面积=矩形的面积的一半建立方程求出 x 的值即可；（3）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可【解答】解：（1）小强的结果不对设小路的宽为 x 米，由题意，得（322x ） （24 2x）= 3224，解得：x 1=24（舍去） ，x 2=4道路的宽度必须小于 24 米，故舍去道路的宽为 4 米；（2）由题意，得3x2= 3224，解得：x=8 答：x 的值为 8 ；（3）答案不唯一例如：左边的图形，取上边长的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图横竖两条小路
36、，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为 4 米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半【点评】本题考查了一元二次方程的解法的运用，矩形的面积公式的运用，扇形的面积公式的运用，解答时抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键25如图，在ABC 中，AC=AB=2 ， A=90，将一块与ABC 全等的三角板的直角顶点放在点 C 上，一直角边与 BC 重叠（1）操作 1：固定ABC，将三角板沿 CB 方向平移，使其直角顶点落在 BC 的中点M，如图 2 所示，探究：三角板沿 CB 方向平移的距离为 ；（2）操作 2：在（1）的情况下，将三角板 BC 的中点 M 顺时针方向旋转角度 a（
37、0a90） ，如图 3 所示，探究：设三角形板两直角边分别与 AB、AC 交于点 P、Q ，观察四边形 MPAQ 形状的变化，问：四边形 MPAQ 的面积 S 是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；（3）在（2）的情形下，连 PQ，设 BP=x，记MPQ 的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数关系式，并求 x 为何值时，y 的值是四边形 MPAQ 的面积的一半，此时，指出四边形 MPAQ的形状【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定；平移的性质 【分析】 （1）M 是 BC 的中点，三角板沿 CB 方向平移的距离为 CM，根据勾股定理可求BC，那么 CM 可求；（2
38、）连 AM，分别证明MAQMBP 和MAP MCQ，那么四边形 MPAQ 的面积 S 就是ABC 面积的一半；（3）用四边形 MPAQ 的面积减去 APQ 可得MPQ 的面积，而 AQ=PB=x，AP=2x，据此列出 y 关于 x 的函数关系式，将函数值代入函数关系式可得自变量，根据自变量可以判断四边形 MPAQ 的形状【解答】解：（1）BC= =2CM= BC=故三角板沿 CB 方向平移的距离为： （2）四边形 MPAQ 的面积 S 不变，如图，连 AM，M 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 的中点，AM=BM，而 QMA=PMB=a，QAM=PBM=45MAQMBP，同理可得：MAPMCQ ，S 四边形 MPAQ=SMAQ+SMAP= SABC= 22=1（3）y=1 x（2x）= x2x+1如果 y 的值是四边形 MPAQ 的面积的一半，则有， x2x+1=1 解得，x=1 四边形 MPAQ 为正方形【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、正方形的判定及函数关系式的运用
