1、九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面关于 x 的方程中：ax 2+bx+c=0；3（x 9） 2（x+1 ）2=1；x+3= ；（a 2+a+1）x 2a=0；（5） =x1，一元二次方程的个数是（ ）A1 B2 C3 D42下列说法正确的是（ ）A对应边都成比例的多边形相似B对应角都相等的多边形相似C边数相同的正多边形相似D矩形都相似3目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系某校去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元，今年上半年发放了 438 元，设每半年发放的资助金额
2、的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正确的是（ ）A438（1+x） 2=389 B389 （1+x） 2=438 C389（1+2x ） 2=438 D438（1+2x）2=3894平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（3，0） ，B（0，2） ，C（3，0） ，D（0， 2） ，则四边形 ABCD 是（ ）A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形5已知：如图，在矩形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点若 AB=2， AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）A3 B4 C6 D86如图，在菱形 ABCD 中，AB=5， BCD=120，则
3、对角线 AC 等于（ ）A20 B15 C10 D57掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为 11 的概率为（ ）A B C D8已知 x1、x 2 是方程 x2=2x+1 的两个根，则 的值为（ ）A B2 C D29如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A10cm 2 B20cm 2 C40cm 2 D80cm 210如图是一张矩形纸片 ABCD，AD=10cm，若将纸片沿 DE 折叠，使 DC 落在 DA 上，点 C 的对应点为点 F，若 BE=6cm，则 CD=（ ）A4cm B6cm C
4、8cm D10cm11若关于 x 的方程 kx2+2x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk 1 Ck 1 且 k0 Dk1 且 k012如图，在大小为 44 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A和 B和 C和 D 和13事件 A：打开电视，它正在播广告；事件 B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件 C：在标准大气压下，温度低于 0时冰融化3 个事件的概率分别记为 P（A ） 、P（B） 、 P（C ） ，则 P（A） 、 P（B ） 、P （C ）的大小关系正确的是（ ）AP（C）P（A）=P（B） BP（C ）P （A ）P（B） CP（C ）P（
5、B）P（A） DP （A）P（B）P（C）14一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入 8 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A28 个 B30 个 C36 个 D42 个15如图，在ABC 中， A=36，AB=AC，AB 的垂直平分线 OD 交 AB 于点 O，交 AC于点 D，连接 BD，下列结论错误的是（ ）AC=2 A BBD 平分ABCCS BCD=SBOD D点 D 为线段 AC 的黄金分割点二、填空题（本大题共 5 小题，
6、每小题 4 分，共 20 分）16若一元二次方程 ax2bx2015=0 有一根为 x=1，则 a+b= 17已知菱形的周长为 40，一条对角线长为 12，则这个菱形的面积是 18一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图） ，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 19设 m、n 是一元二次方程 x2+3x7=0 的两个根，则 m2+4m+n= 20已知 （a+b+c0） ，那么函数 y=kx+k 的图象一定不经过第 象限三、解答题（共 70 分）21 （16 分） （2015 秋 兰州校级月考）选择适当方法解下列方程：（1）
7、x 24x+1=0（用配方法） ； （2）3（x2） 2=x（x2） ；（3）x 2x6=0； （4） （y+2） 2=（3y1） 222如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在 E 点位置，AE=60cm如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位置（1）求证：BEF CDF；（2）求 CF 的长23如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点（1）求证：MBA NDC；（2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由24关于 x 的方程 kx2+（k+2）x
8、+ =0 有两个不相等的实数根；（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由25如图，在ABC 中，AB=8cm ，BC=16cm ，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，经几秒钟PBQ 与 ABC 相似？试说明理由26如图，已知菱形 ABCD，AB=AC ，E 、F 分别是 BC、 AD 的中点，连接 AE、CF（1）证明：四边形 AECF 是矩形；（2）若 A
9、B=8，求菱形的面积27分别把带有指针的圆形转盘 A、B 分成 4 等份、3 等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示） 欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由28如图，在ABC 中， ACB=90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F在 DE 上，且 AF=CE=AE（1）说明四边形
10、ACEF 是平行四边形；（2）当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面关于 x 的方程中：ax 2+bx+c=0；3（x 9） 2（x+1 ）2=1；x+3= ；（a 2+a+1）x 2a=0；（5） =x1，一元二次方程的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b，c 是常数且 a0）特别要注意a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点【解答】解：ax
11、2+bx+c=0 的二次项系数可能为 0；3（x9） 2（x+1） 2=1 是一元二次方程；x+3= 不是整式方程；（a 2+a+1）x 2a=0 整理得（a+ ） 2+ x2a=0，由于（a+ ） 2+ 0，故（a 2+a+1）x2a=0 是一元二次方程； =x1 不是整式方程故选 B【点评】一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程2下列说法正确的是（ ）A对应边都成比例的多边形相似B对应角都相等的多边形相似C边数相同的正多边形相似D矩形都相似【考点】相似图形 【专题】几何图形问题【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错
12、误答案【解答】解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误故选 C【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形3目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系某校去年上半年发放给每个经济困难学生 389 元，今年上半年发放了 438 元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正确的是（ ）A438（1+x） 2=389 B389 （1+x） 2=438 C389（
13、1+2x ） 2=438 D438（1+2x）2=389【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题【分析】先用含 x 的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于 438 即可列出方程【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为 x，则去年下半年发放给每个经济困难学生 389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生 389（1+x） 2 元，由题意，得：389（1+x） 2=438故选 B【点评】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=
14、b4平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别是 A（3，0） ，B（0，2） ，C（3，0） ，D（0， 2） ，则四边形 ABCD 是（ ）A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形【考点】菱形的判定；坐标与图形性质 【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形 ABCD，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形 ABCD 是菱形【解答】解：如图所示：A（ 3， 0） 、B（0，2） 、C（ 3，0） 、D（0，2） ，OA=0C，OB=OD ，四边形 ABCD 为平行四边形，BDAC，四边形 ABCD 为菱形，故选：B【点评】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，掌握菱
15、形的判定方法利用数形结合是解题的关键5已知：如图，在矩形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点若 AB=2， AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）A3 B4 C6 D8【考点】矩形的性质；三角形中位线定理 【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积【解答】解：矩形的面积=24=8；SAEF= 12=1；阴影部分的面积=8 14=4故选 B【点评】本题另外的解法是：利用菱形的面积公式计算6如图，在菱形 ABCD 中，AB=5， BCD=120，则对角线 AC 等于（ ）A20 B15 C10 D5【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质 【分
16、析】根据菱形的性质及已知可得ABC 为等边三角形，从而得到 AC=AB【解答】解：AB=BC，B+ BCD=180，BCD=120B=60ABC 为等边三角形AC=AB=5故选 D【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定7掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为 11 的概率为（ ）A B C D【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的情况与所得点数之和为 11 的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：列表得：1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105
17、 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12共有 36 种等可能的结果，所得点数之和为 11 的有 2 种情况，所得点数之和为 11 的概率为： = 故选 A【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件8已知 x1、x 2 是方程 x2=2x+1 的两个根，则 的值为（ ）A B2 C D2【考点】根与系数的关系 【专题】计算题【分析】先把方程化为一般式得 x22x1=0，根据根与系数的关系得到 x1+x2=2，x 1x2=1，再把原式通分得 ，然后利
18、用整体思想进行计算【解答】解：方程化为一般式得 x22x1=0，根据题意得 x1+x2=2，x 1x2=1，原式 = = =2故选 D【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 9如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A10cm 2 B20cm 2 C40cm 2 D80cm 2【考点】三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的性质 【分析】矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分
19、别原来矩形长和宽的一半，即 5cm，4cm，所以菱形的面积可求【解答】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，所以菱形的两条对角线的长分别为 5cm，4cm，所以 S 菱形 = 54=10 cm2故选 A【点评】本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选10如图是一张矩形纸片 ABCD，AD=10cm，若将纸片沿 DE 折叠，使 DC 落在 DA 上，点 C 的对应点为点
20、 F，若 BE=6cm，则 CD=（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm【考点】翻折变换（折叠问题） ；正方形的性质 【专题】压轴题【分析】由题意知，四边形 CEFD 是正方形，利用正方形的性质可求得CE=EF=CD=106=4cm【解答】解：四边形 CEFD 是正方形，AD=BC=10，BE=6CE=EF=CD=106=4cm故选 A【点评】本题利用了矩形的对边相等和正方形四边相等的性质求解11若关于 x 的方程 kx2+2x1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk 1 Ck 1 且 k0 Dk1 且 k0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【专题】计
21、算题【分析】根据的意义得到 k0 且=44k （1）0，然后求出两不等式的公共部分即可【解答】解：x 的方程 kx2+2x1=0 有两个不相等的实数根，k0 且=4 4k（1）0，解得 k 1，k 的取值范围为 k 1 且 k0故选 D【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义12如图，在大小为 44 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A和 B和 C和 D 和【考点】相似三角形的判定 【专题】网格型【分析】本题主要应用两三角形相似
22、的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目【解答】解：和相似，由勾股定理求出的三角形的各边长分别为 2、 、 ；由勾股定理求出的各边长分别为 2 、2、2 ， =，= ，即 = = ，两三角形的三边对应边成比例，相似故选 C【点评】此题主要考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用13事件 A：打开电视，它正在播广告；事件 B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件 C：在标准大气压下，温度低于 0时冰融化3 个事件的概率分别记为 P（A ） 、P（B） 、 P（C ） ，则 P（A） 、 P（B ） 、P （C ）的大小关系正确的是（ ）AP（C）P（A）=P（B） BP（
23、C ）P （A ）P（B） CP（C ）P（B）P（A） DP （A）P（B）P（C）【考点】概率的意义；随机事件 【专题】压轴题【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出 P（A） 、P（B） 、P（C ） ，然后排序即可得解【解答】解：事件 A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0P（A）1；事件 B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于 7 是必然事件，P（B ）=1；事件 C：在标准大气压下，温度低于 0时冰融化是不可能事件，P （C）=0，所以，P（C）P（A）P（B ） 故选：B【点评】本题考查了概率的意义，必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1不可能发生的事件就是一
24、定不会发生的事件，因而概率为 0不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率0 并且114一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入 8 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A28 个 B30 个 C36 个 D42 个【考点】利用频率估计概率 【专题】计算题；压轴题【分析】共摸球 400 次，其中 88 次摸到黑球，那么有 312 次摸到白球；由此可知：摸到黑球与摸到白球的次数之比为 88：312；已知有 8 个黑球，那
25、么按照比例，白球数量即可求出【解答】解：由题意得：白球有 828 个故选 A【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大” 为总体即可关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式15如图，在ABC 中， A=36，AB=AC，AB 的垂直平分线 OD 交 AB 于点 O，交 AC于点 D，连接 BD，下列结论错误的是（ ）AC=2 A BBD 平分ABCCS BCD=SBOD D点 D 为线段 AC 的黄金分割点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割 【分析】求出C 的度数即可判断 A；求出 ABC 和ABD 的度数，求出DBC 的度数，即可判断 B；根据三角
26、形面积即可判断 C；求出DBCCAB，得出 BC2=BCAC，求出AD=BC，即可判断 D【解答】解：A、A=36，AB=AC，C=ABC=72，C=2A，正确，B、DO 是 AB 垂直平分线，AD=BD，A=ABD=36，DBC=7236=36=ABD，BD 是ABC 的角平分线，正确，C，根据已知不能推出BCD 的面积和BOD 面积相等，错误，D、C=C ， DBC=A=36，DBCCAB， = ，BC2=CDAC，C=72， DBC=36，BDC=72=C，BC=BD，AD=BD，AD=BC，AD2=CDAC，即点 D 是 AC 的黄金分割点，正确，故选 C【点评】本题考查了相似三角形的
27、性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）16若一元二次方程 ax2bx2015=0 有一根为 x=1，则 a+b= 2015 【考点】一元二次方程的解 【分析】由方程有一根为1，将 x=1 代入方程，整理后即可得到 a+b 的值【解答】解：把 x=1 代入一元二次方程 ax2bx2015=0 得：a+b2015=0，即 a+b=2015故答案是：2015【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程17已知
28、菱形的周长为 40，一条对角线长为 12，则这个菱形的面积是 96 【考点】菱形的性质；勾股定理 【专题】计算题【分析】画出草图分析因为周长是 40，所以边长是 10根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解【解答】解：因为周长是 40，所以边长是 10如图所示：AB=10 ，AC=12 根据菱形的性质，ACBD ，AO=6 ，BO=8，BD=16面积 S= ACBD=1216 =96故答案为 96【点评】本题考查了菱形的性质及其面积计算，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，要掌握菱形的面积有两种求法：（1）
29、利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=12两条对角线的乘积，具体用哪种方法要看已知条件来填空18一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图） ，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 【考点】概率公式 【专题】压轴题【分析】列举出所有情况，看花色完全搭配正确的情况占所有情况的多少即为所求的概率【解答】解：因为三个茶杯只有花色不同，两个盖杯随机地搭配在一起，共 32=6 种结果，所以其概率是 法二：解：总共有 6 种搭配结果，依次是：第一种：杯 1 盖 1；杯 2 盖 2；杯 3； 第二种：杯 1 盖 1；杯
30、2；杯 3 盖 2；第三种：杯 1 盖 2；杯 2 盖 1；杯 3；第四种：杯 1 盖 2；杯2；杯 3 盖 1；第五种：杯 1；杯 2 盖 1；杯 3 盖 2；第六种：第五种：杯 1；杯 2 盖 2；杯3 盖 1；共 6 种搭配方式，只有第一种符合完全满足颜色正确搭配，故概率为 【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 19设 m、n 是一元二次方程 x2+3x7=0 的两个根，则 m2+4m+n= 4 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解 【专题】计算题【分析】先根据一元二
31、次方程的解的定义得到 m2+3m7=0，则 m2=3m+7，代入 m2+4m+n得到 m+n+7，然后根据根与系数的关系得到 m+n=3，再利用整体代入的方法计算【解答】解：m 是一元二次方程 x2+3x7=0 的根，m2+3m7=0，即 m2=3m+7，m2+4m+n=3m+7+4m+n=m+n+7，m、n 为方程 x2+3x7=0 的两个根，m+n=3，m2+4m+n=3+7=4故答案为 4【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 也考查了一元二次方程的解20已知 （a+b+c0） ，那么
32、函数 y=kx+k 的图象一定不经过第 四 象限【考点】一次函数图象与系数的关系；比例的性质 【分析】利用比例的等比性质正确求得 k 的值，然后根据直线解析式中的 k，b 的值正确判断直线经过的象限【解答】解：当 a+b+c0 时，根据比例的等比性质，得 k= =2，则直线解析式是 y=2x+2，则图象一定经过一、二、三象限故答案为：四【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数 y=kx+b（k0）中，当 k0，b0 时，函数的图象在一、二、三象限是解答此题的关键三、解答题（共 70 分）21 （16 分） （2015 秋 兰州校级月考）选择适当方法解下列方程：（1）x 24
33、x+1=0（用配方法） ； （2）3（x2） 2=x（x2） ；（3）x 2x6=0； （4） （y+2） 2=（3y1） 2【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法 【专题】计算题【分析】 （1）方程整理后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解【解答】解：（1）方程整理得：x 24x=1，配方得：x 24x+4=3，即（x2） 2=3，开方得：x2= ，解得：x 1=2+ ，x 2=2 ；（2）方程移项得：3（x2
34、） 2x（x2）=0，分解因式得：（x2） （3x 6x）=0，解得：x 1=2，x 2=3；（3）分解因式得：（x3） （ x+2）=0，解得：x 1=3，x 2=2；（4）开方得：y+2=3y1 或 y+2=13y，解得：y 1=1.5，y 2=0.25【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键22如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在 E 点位置，AE=60cm如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点位置（1）求证：BEF CDF；（2）求 CF 的长【考点】相似三角形的应用
35、 【专题】几何综合题【分析】 （1）利用“两角法” 证得这两个三角形相似；（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段 CF 的长度【解答】 （1）证明：如图，在矩形 ABCD 中：DFC= EFB，EBF= FCD=90，BEFCDF；（2）解：由（1）知，BEFCDF = ，即 = ，解得：CF=169即：CF 的长度是 169cm【点评】本题考查了相似三角形的应用此题利用了“相似三角形的对应边成比例 ”推知所求线段 CF 与已知线段间的数量关系的23如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点（1）求证：MBA NDC；（2）四边
36、形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定 【专题】压轴题【分析】 （1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定MBA NDC；（2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，有（1）可得到 BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明MQD NPB 得到 MQ=PN，从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ ，进而证明四边形 MQNP 是菱形【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC， A=C=90，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD
37、、BC 的中点，AM= AD，CN= BC，AM=CN，在MAB 和NDC 中， ，MBANDC（SAS） ；（2）四边形 MPNQ 是菱形理由如下：连接 AP，MN ，则四边形 ABNM 是矩形，AN 和 BM 互相平分，则 A，P，N 在同一条直线上，易证：ABNBAM，AN=BM，MABNDC，BM=DN，P、 Q 分别是 BM、DN 的中点，PM=NQ， ，MQDNPB（SAS） 四边形 MPNQ 是平行四边形，M 是 AD 中点， Q 是 DN 中点，MQ= AN，MQ= BM，MP= BM，MP=MQ，平行四边形 MQNP 是菱形【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等
38、三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目24关于 x 的方程 kx2+（k+2）x+ =0 有两个不相等的实数根；（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由【考点】根的判别式；根与系数的关系 【分析】 （1）由于 x 的方程 kx2+（k+2）x+ =0 有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于 k 的不等式，解不等式即可求解；（2）不存在符合条件的实数 k设方程 kx2+（k+2）x+ =0 的两根分别为 x1、x 2，由根与系数关系有：x
39、 1+x2= ，x 1x2= ，又 + = ，然后把前面的等式代入其中即可求 k，然后利用（1）即可判定结果【解答】解：（1）由=（k+2） 24k 0，k 1又 k0，k 的取值范围是 k 1，且 k0；（2）不存在符合条件的实数 k理由：设方程 kx2+（k+2 ）x+ =0 的两根分别为 x1、x 2，由根与系数关系有：x 1+x2= ，x 1x2= ，又 + = =0， =0，解得 k=2，由（1）知，k= 2 时，0，原方程无实解，不存在符合条件的 k 的值【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解题时将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法
40、25如图，在ABC 中，AB=8cm ，BC=16cm ，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，经几秒钟PBQ 与 ABC 相似？试说明理由【考点】相似三角形的性质 【专题】动点型【分析】首先设经 x 秒钟PBQ 与 ABC 相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=ABAP=（82x）cm ，又由 B 是公共角，分别从 与分析，即可求得答案【解答】解：设经 x 秒钟PBQ 与 ABC 相似，则 AP=2xcm，BQ=4xcm ，AB=
41、8cm，BC=16cm，BP=ABAP=（82x）cm，B 是公共角，当 ，即 时， PBQABC，解得：x=2；当 ，即 时， QBPABC，解得：x=0.8，经 2 或 0.8 秒钟PBQ 与ABC 相似【点评】此题考查了相似三角形的判定此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用26如图，已知菱形 ABCD，AB=AC ，E 、F 分别是 BC、 AD 的中点，连接 AE、CF（1）证明：四边形 AECF 是矩形；（2）若 AB=8，求菱形的面积【考点】矩形的判定；勾股定理；菱形的性质 【专题】证明题【分析】 （1）根据菱形的四条边都相等可得 AB=B
42、C，然后判断出ABC 是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得 AEBC，AEC=90 ，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出 AF 与 EC 平行且相等，从而判定出四边形 AECF 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；（2）根据勾股定理求出 AE 的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，又 AB=AC，ABC 是等边三角形，E 是 BC 的中点，AEBC（等腰三角形三线合一） ，1=90，E、 F 分别是 BC、AD 的中点，AF= AD，EC= BC，四边形 ABCD 是菱形，
43、ADBC 且 AD=BC，AFEC 且 AF=EC，四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ，又1=90，四边形 AECF 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） ；（2）解：在 RtABE 中，AE= =4 ，所以，S 菱形 ABCD=84 =32 【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形 AECF 是平行四边形是解题的关键，也是突破口27分别把带有指针的圆形转盘 A、B 分成 4 等份、3 等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示） 欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规
44、则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】 （1）列举出所有情况，看指针所指两区域的数字之积为奇数的情况占总情况的多少即可求得欢欢胜的概率；（2）由（1）进而求得乐乐胜的概率，比较两个概率即可【解答】解：（1）共有 12 种情况，积为奇数的情况有 6 种情况，所以欢欢胜的概率是 = ；（2）由（1）得乐乐胜的概率为 1
45、 = ，两人获胜的概率相同，所以游戏公平【点评】如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ，注意本题是放回实验解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平28如图，在ABC 中， ACB=90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F在 DE 上，且 AF=CE=AE（1）说明四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定 【专题】压轴题【分析】
46、（1）证明AECEAF ，即可得到 EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）当B=30时，四边形 ACEF 是菱形根据直角三角形的性质，即可证得 AC=EC，根据菱形的定义即可判断【解答】 （1）证明：由题意知FDC= DCA=90，EFCA，FEA=CAE，AF=CE=AE，F=FEA=CAE=ECA在AEC 和EAF 中，EAFAEC（AAS ） ，EF=CA，四边形 ACEF 是平行四边形（2）解：当B=30时，四边形 ACEF 是菱形理由如下：B=30 ， ACB=90，AC= AB，DE 垂直平分 BC，BDE=90BDE=ACBEDAC又 BD=DCDE 是ABC 的中位线，E 是 AB 的中点，BE=CE=AE，又 AE=CE，AE=CE= AB，又 AC= AB，AC=CE，四边形 ACEF 是菱形【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键
