1、难题突破专题六 平行四边形存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点” 解这类题目的一般思路是：假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断类型 1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形1 如图 Z61，在平面直角坐标系中，已知点 A(3，4)， B(6，2)， C(6，2)，若以点 A， B， C 为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点 D 的坐标，你的答案唯一吗？图 Z61例题
2、分层分析 (1)符合条件的点 D 有_个(2)如何进行分类？2 如图 Z62，抛物线 y x22 x3 与 x 轴的负半轴交于 A 点，与 y 轴交于 C 点，顶点是 M，经过 C， M 两点作直线与 x 轴交于点 N.图 Z62(1)直接写出点 A， C， N 的坐标(2)在抛物线上是否存在这样的点 P，使以点 P， A， C， N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由例题分层分析 (1)分别令_和_即可求得 A， C 两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点 M 的坐标，然后求出直线 CM 直线的函数表达式便可求得点 N 的坐标(2)根据例 1
3、的方法，先求出使得以点 P， A， C， N 为顶点的四边形为平行四边形的点 P 的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点 P.解题方法点析 已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件类型 2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形3 如图 Z63，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA4， OC3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O， A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D.图 Z63(1)
4、求抛物线的函数表达式(2)求点 D 的坐标(3)若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点 A， D， M， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由例题分层分析 (1)由 OA 的长度确定出点 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式_，将_的坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线的函数表达式(2)设直线 AC 的函数表达式为 y kx b，将点 A， C 的坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线 AC 的函数表达式，与_联立即可求出点 D 的坐标(3)存在，分两种情况考虑：若 AD 为平行四边形的对角线，则有 M
5、D_， MD_；若 AD 为平行四边形的一边，则 MN_， MN_，此时通过画图可知有两种情况4 如图 Z64，抛物线 y ax2 bx c(a0)与 y 轴交于点 C(0，4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴 x1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E.(1)求抛物线的函数表达式(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17？若存在，求出点 F的坐标；若不存在，请说明理由图 Z64(3)平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以点 D
6、， E， P， Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标例题分层分析 (1)由 C(0，4)， A(2，0)和对称轴 x1 可得三个关系式，分别是_，_，_，然后联立，即可求得 a， b， c，从而得到函数表达式(2)假设存在满足条件的点 F，连结 BF， CF， OF，过点 F 作 FH x 轴于点 H， FG y 轴于点 G.设点 F 的横坐标为t，则点 F 的坐标可表示为_，然后分别用 t 表示出 OBF， OFC 的面积，而 AOC 的面积为_，然后根据四边形的面积为 17，得到关于 t 的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点 F.(3)先运用待定系数法求出直线 BC 的
7、函数表达式为_，再求出抛物线的顶点坐标为_，由点 E 在直线 BC 上，得到点 E 的坐标为_，从而求得 DE_若以点 D， E， P， Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为 DE PQ，所以只需 DE PQ.设点 P 的横坐标是 m，则可表示出点 P 的坐标为_，点 Q 的坐标是_，然后再进行分类讨论当 0 m4 时， PQ_，当 m0 或 m4 时，PQ_，再根据 DE PQ，即可得到关于 m 的方程，从而求得符合条件的点 P 的坐标解题方法点析 对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再
8、根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标专 题 训 练12017临沂 如图 Z65，抛物线 y ax2 bx3 经过点 A(2，3)，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点C，且 OC3 OB.(1)求抛物线的解析式(2)点 D 在 y 轴上，且 BDO BAC，求点 D 的坐标(3)点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A， B， M， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由图 Z6522017泰安 如图 Z66，是将抛物线 y x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点为 A(1，0
9、)，另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C.(1)求抛物线的函数表达式(2)若点 N 为抛物线上一点，且 BC NC，求点 N 的坐标(3)点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y x 的图象上一点，若四边形 OAPQ 为平行四边形，则这样的点32 32P， Q 是否存在？若存在，分别求出点 P， Q 的坐标；若不存在，说明理由图 Z663.2017宜宾 如图 Z67，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴分别交于 A(1，0)， B(5，0)两点(1)求抛物线的解析式(2)在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 x 轴于点 D，连结 AC，且 AD5， CD8，将 Rt ACD 沿
10、x 轴向右平移 m 个单位长度，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值(3)在(2)的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上时记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点试探究在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B， E， P， Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 Z6742017齐齐哈尔 如图 Z68，在平面直角坐标系中，把矩形 OABC 沿对角线 AC 所在的直线折叠，点 B 落在点 D 处， DC 与 y 轴相交于点 E.矩形 OABC 的边 OC， OA 的长是关于 x 的一元二次方程 x212 x320 的两个根，且OAOC.(1)求线段 O
11、A， OC 的长(2)证明 ADE COE，并求出线段 OE 的长(3)直接写出点 D 的坐标(4)若 F 是直线 AC 上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点 P，使以点 E， C， P， F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由图 Z68参考答案类型 1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形例 1 【例题分层分析】(1)3 (2)分别以 AB， BC， AC 为平行四边形的对角线解：答案不唯一，有三种情况：若 AB 为平行四边形的对角线，则点 D 的坐标为(15，4)；若 BC 为平行四边形的对角线，则点 D 的坐标为(3，8)；若 AC
12、 为平行四边形的对角线，则点 D 的坐标为(9，4)例 2 【例题分层分析】(1)y0 x0解：(1) A(1，0)， C(0，3)， N(3，0)(2)存在若 AC 为平行四边形的对角线，则点 P 的坐标为(2，3)；若 AN 为平行四边形的对角线，则点 P 的坐标为(4，3)；若 CN 为平行四边形的对角线，则点 P 的坐标为(2，3)把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点 P，点 P 的坐标为(2，3)类型 2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例 3 【例题分层分析】(1)y a(x2) 23 点 A(2)抛物线的函数
13、表达式(3)AD AD AN AN解：(1)设抛物线的顶点为 E，根据题意，得 E(2，3)设抛物线的函数表达式为 y a(x2) 23，将(4，0)代入，得 04 a3，即 a ，34抛物线的函数表达式为 y (x2) 23 x23 x.34 34(2)设直线 AC 的函数表达式为 y kx b(k0)，将(4，0)，(0，3)代入，得 解得4k b 0，b 3， ) k 34，b 3. )故直线 AC 的函数表达式为 y x3，34将直线 AC 的函数表达式与抛物线的函数表达式联立，得 解得 或y 34x 3，y 34x2 3x， ) x 1，y 94) x 4，y 0， )点 D 的坐标
14、为 .(1，94)(3)存在，分两种情况考虑：.若 AD 为平行四边形的对角线，则有 MD AN， MD AN.由对称性得到 M1 ，即 DM12，故 AN12，(3，94)点 N1的坐标为(2，0).若 AD 为平行四边形的一边，则 MN AD， MN AD.当点 M 在 x 轴上方时，如图所示由知 AN22，点 N2的坐标为(6，0)当点 M 在 x 轴下方时，如图所示，过点 D 作 DQ x 轴于点 Q，过点 M3作 M3P x 轴于点 P，可得 ADQN3M3P， M3P DQ ， N3P AQ3，94点 M3的纵坐标为 .94将 yM 代入抛物线的函数表达式，得 x23 x，解得 x
15、M2 或 xM2 ，94 94 34 7 7 xN xM3 1 或 1，7 7 N3 ， N4( 1，0)( 7 1， 0) 7综上所述，满足条件的点 N 有 4 个， N1(2，0)， N2(6，0)， N3( 1，0)， N4( 1，0)7 7例 4 【例题分层分析】(1) c4 04 a2 b c b2 a(2)(t， t2 t4) 412(3)y x4 (1， ) (1，3) ( m， m4) ( m， m2 m4) ( m2 m4)( m4) m22 m 92 32 12 12 12( m4)( m2 m4) m22 m12 12解：(1)由抛物线经过点 C(0，4)可得 c4，对称
16、轴为直线 x 1，b2a b2 a，又抛物线经过点 A(2，0)，04 a2 b c，由得 a ， b1， c4，12抛物线的函数表达式是 y x2 x4.12(2)假设存在满足条件的点 F，如图所示，连结 BF， CF， OF.过点 F 分别作 FH x 轴于点 H， FG y 轴于点 G.设点 F 的坐标为( t， t2 t4)，其中 0 t4，12则 FH t2 t4， FG t，12 S OBF OBFH 4( t2 t4) t22 t8，12 12 12S OFC OCFG 4t2 t，12 12 S 四边形 ABFC S AOC S OBF S OFC4 t22 t82 t t24
17、 t12.令 t24 t1217，即 t24 t50，则判别式(4) 24540，方程 t24 t50 无解，故不存在满足条件的点 F.(3)设直线 BC 的函数表达式为 y kx b( k0)，直线经过点 B(4，0)， C(0，4)， 解得4 b ，0 4k b ， ) b 4，k 1， )直线 BC 的函数表达式是 y x4.由 y x2 x4 (x1) 2 ，得 D(1， )12 12 92 92点 E 在直线 BC 上，点 E 的坐标为(1，3)，于是 DE 3 .92 32若以点 D， E， P， Q 为顶点的四边形是平行四边形， DE PQ，只需 DE PQ.设点 P 的坐标是(
18、 m， m4)，则点 Q 的坐标是( m， m2 m4)12当 0 m4 时， PQ( m2 m4)( m4) m22 m，12 12由 m22 m ，解得 m1 或 3.12 32当 m1 时，线段 PQ 与 DE 重合， m1 舍去， m3，此时 P1(3，1)当 m0 或 m4 时， PQ( m4)( m2 m4) m22 m，由 m22 m ，12 12 12 32解得 m2 ，7经检验符合题意，此时 P2(2 ，2 )， P3(2 ，2 )7 7 7 7综上所述，满足条件的点 P 有 3 个，分别是 P1(3，1)， P2(2 ，2 )， P3(2 ，2 )7 7 7 7专题训练1解
19、：(1)令 x0，由 y ax2 bx3 得 y3， C(0，3)， OC3.又 OC3 OB， OB1， B(1，0)把点 B(1，0)和 A(2，3)的坐标分别代入 y ax2 bx3，得 a b 3 0，4a 2b 3 3， )解得 a 1，b 2， )抛物线的解析式为 y x22 x3.(2)过点 B 作 BE x 轴，交 AC 的延长线于点 E. BDO BAC， BOD BEA90， Rt BDO Rt BAE， OD OB AE BE， OD133， OD1， D 点坐标为(0，1)或(0，1)(3)存在 M1(0，3)； M2(2，5)； M3(4，5)2解：(1)由题意，设抛
20、物线的函数表达式为 y( x1) 2 k，把(1，0)代入，得 0(11) 2 k，解得 k4，抛物线的函数表达式为 y( x1) 24 x22 x3.(2)当 x0 时， y(01) 243，点 C 的坐标是(0，3)， OC3.点 B 的坐标是(3，0)， OB3， OC OB，则 OBC 是等腰直角三角形， OCB45.过点 N 作 NH y 轴，垂足为 H. NCB90， NCH45， NH CH， HO OC CH3 CH3 NH，设点 N 为( a， a22 a3)， a3 a22 a3，解得 a0(舍去)或 a1，点 N 的坐标是(1，4)(3)四边形 OAPQ 是平行四边形，
21、PQ OA1，且 PQ OA.设 P(t， t22 t3)，则 Q(t1， t22 t3)将点 Q(t1， t22 t3)代入 y x ，得 t22 t3 (t1) ，32 32 32 32整理得 2t2 t0，解得 t10， t2 ，12 t22 t3 的值为 3 或 ，154 P， Q 的坐标分别是(0，3)，(1，3)或( ， )，( ， )12 154 32 1543解：(1)抛物线 y x2 bx c 经过 A(1，0)， B(5，0)两点， 解得 1 b c 0， 25 5b c 0， ) b 4，c 5， ) y x24 x5.(2)点 C 的纵坐标为 8，令 x24 x58，解
22、得 x11， x23，当 x1 时， m1(6)7；当 x3 时， m3(6)9.综上所述，将 ADC 沿 x 轴向右平移 7 个或 9 个单位长度时，点 C 落在抛物线上(3)由(1)得，抛物线的对称轴为直线 x2，即点 P 的横坐标为 xP2，由(2)得点 E(1，8)若以点 B， E， P， Q 为顶点的四边形是平行四边形，则分两类情况讨论：以 BE 为一边的平行四边形，如图，则 4，|xQ 2|解得 xQ6 或 xQ2， Q(6，7)或 Q(2，7)；以 BE 为对角线的平行四边形，如图，则 xQ xB xE xP5124， Q(4，5)综上所述，使得以点 B， E， P， Q 为顶点
23、的四边形是平行四边形的点 Q 的坐标为(6，7)或(2，7)或(4，5)4解：(1)解 x212 x320 得 x18， x24.边 OC， OA 的长是关于 x 的一元二次方程 x212 x320 的两个根，且 OAOC， OA8， OC4.(2)把矩形 OABC 沿对角线 AC 所在的直线折叠，点 B 落在点 D 处， DC 与 y 轴相交于点 E， AD AB CO， ADE ABC COE，又 AED CEO， ADE COE(AAS)， CE AE OA OE8 OE.在 Rt OEC 中，由勾股定理得 OE2 OC2 CE2，即 OE24 2(8 OE)2， OE3.(3)如图所示，作 DM x 轴于点 M，则 COE CMD， ，OEDM COCM CECD即 ，3DM 44 OM 58 OM ， DM ，125 245点 D 的坐标为( ， )125 245(4)存在如图所示，点 P 的坐标为( ， )；54 12 如图所示，点 P 的坐标为(4，5)；如图所示，点 P 的坐标为 P3( ，32 )；5 5 如图所示，点 P 的坐标为 P4( ，32 )5 5
