1、难题突破专题三 新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型 “新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移类型 1 新法则、新运算型1 2017枣庄 我们知道，任意一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n pq(p， q 是正整数，且p q)在 n 的所有这种分解中
2、，如果 p， q 两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最佳分解并规定： F(n) .pq例如 12 可以分解成 112，26 或 34，因为 1216243，所以 34 是 12 的最佳分解，所以 F(12).34(1)如果一个正整数 m 是另外一个正整数 n 的平方，我们称正整数 m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F(m)1；(2)如果一个两位正整数 t， t10 x y(1 x y9， x， y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 36，那么我们称这个数 t 为“吉祥数” ，求所有“吉祥数” ；(3)在(2)
3、所得的“吉祥数”中，求 F(t)的最大值例题分层分析 (1)对任意一个完全平方数 m，设 m n2(n 为正整数)，找出 m 的最佳分解为_，所以 F(m)_；(2)设交换 t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为 t，则 t_，根据“吉祥数”的定义确定出 x与 y 的关系式为_，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出 F(t)的最大值即可解题方法点析 此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键类型 2 新定义几何概念型2 2017金华 如图 Z31，将 ABC 纸片沿中位线 EH 折叠，使点 A 的对称点 D 落在
4、BC 边上，再将纸片分别沿等腰 BED 和等腰 DHC 的底边上的高线 EF， HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形图 Z31(1)将 ABCD 纸片按图 Z32的方式折叠成一个叠合矩形 AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_，_； S 矩形 AEFG SABCD_(2)ABCD 纸片还可以按图 Z32的方式折叠成一个叠合矩形 EFGH，若 EF5， EH12，求 AD 的长(3)如图 Z32，四边形 ABCD 纸片满足 AD BC， AD ，35 213 137 68 34 159 34
5、35213137159所有“吉祥数”中， F(t)的最大值是 .34类型 2 新定义几何概念型例 2 【例题分层分析】(1)12(2)13 HN FN AHF CFH AHE CFG FC AH解：(1) AE， GF；12.提示：由折叠的性质，得 AD2 AG. S 矩形 AEFG AEAG， SABCD AEAD， S 矩形 AEFG SABCD 12.AEAGAEAD(2)四边形 EFGH 是叠合矩形， FEH90， FH 13.EF2 EH2 52 122由折叠的性质可知， HD HN， FC FN， AHE AHF， CFG CFH.12 12四边形 ABCD 是平行四边形， AD
6、BC， A C， AHF CFH， AHE CFG. EH FG， AEH CGF， FC AH， AD AH HD FC HN FN HN FH13.(3)本题有以下两种基本折法，如图，图.按图的折法的解法：由折叠的性质可知， AD BF， BE AE4， CH DH5， FG CG.四边形 EBGH 是叠合正方形， HG BG4， CG3， FG CG3， BF BG FG1， BC BG CG437， AD1， BC7.按图的折法的解法：设 AD x.由折叠的性质可知， AE EM BE4， MH AD x， DN HN， HG CG， FC FH.由 DN HN， HG CG，则 GN
7、 CD5.12四边形 EFGN 是叠合正方形， EF FG GN5， MF BF3， FC FH x3. B EFG CGF90， BEF BFE BFE CFG90， BEF CFG， GFC BEF， ，即 ，解得 x ，FGBE FCEF 54 x 35 134 AD ， BC BF FC3 3 .134 134 374专题训练1A 解析 由函数图象可知，当2 x1 时， y2，即有 x2，此时方程无解；当1 x0 时，y1，即有 x1，此时方程无解；当 0 x1 时， y0，即有 x0，此时方程为 0 x2，解得 x0；当121 x2 时， y1，即有 x1，此时方程为 1 x2，解得
8、 x 或 x (不在 x 的取值范围内，舍去)综上可12 2 2知，方程 x x2的解为 0 或 .12 22D 解析 当 2x1 x3 时， x ， y min2x1， x3 x3，最大值为 .43 53当 2x1 x3 时， x ， y min2x1， x32 x1， y 的值都小于 .43 53综上，该函数的最大值为 .533 解析 A， B 两点在直线 y x1 上，设 A(a， a1)， B(b， b1)，43 AB2( a b)2( a1 b1) 22( a b)2(2 )2，( a b)24， a b2.2A， B 两点的“倒影点”分别为 A( ， )， B( ， )1a 11
9、a 1b 11 b点 A， B均在反比例函数 y 的图象上， k ， a(1 a) b(1 b)，变形得( a b)kx 1a 11 a 1b 11 b(1 a b)0， a b2，1 a b0.由 解得 k (2) ；a b 2，1 a b 0) a 32，b 12， ) 1a 11 a 23 43由 解得 k (2) .a b 2，1 a b 0) a 12，b 32， ) 1a 11 a 23 43综上， k .434113或 92 解析 CBD 和 ABC 相似， BCD A46.设 ACB x，则 ACD x46. ACD 是等腰三角形，又 ADC BCD， ADC A，即 AC C
10、D.若 AC AD，则 ACD ADC x46，46 x46 x46180， x113.若 AD CD，则 ACD A，即 46 x46， x92.综上所述， ACB 的度数为 113或 92.5解：(1)根据题意，得 23 x2011，解这个方程，得 x2017.(2)根据题意，得 2x35，解得 x4，即 x 的取值范围是 x4.6解：(1) AB CD1 且 AB CD，四边形 ABCD 是平行四边形，又 AB BC，四边形 ABCD 是菱形 ABC90，四边形 ABCD 是正方形， BD AC .12 12 2证明：如图中，连结 AC， BD. AB BC， AC BD， ABD CB
11、D， BD BD， ABD CBD， AD CD.(2)若 EF BC，则 AE EF， BF EF，四边形 ABFE 不表示等腰直角四边形，故不符合条件若 EF 与 BC 不垂直，当 AE AB 时，如图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形， AE AB5.当 BF AB 时，如图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形， BF AB5， DE BF， BP2 PD， BF DE21， DE2.5， AE92.56.5.综上所述，满足条件的 AE 的长为 5 或 6.5.7解：(1)在半对角四边形 ABCD 中， B D， C A，12 12 A B C D360，3 B3 C360，
12、B C120，即 B 与 C 的度数之和为 120.(2)证明：在 BED 和 BEO 中，BD BO， EBD EBO，BE BE， ) BED BEO(SAS)， BDE BOE.又 BCF BOE， BCF BDE.12 12如图，连结 OC，设 EAF ，则 AFE2 ， EFC180 AFE1802 . OA OC， OAC OCA ， AOC1802 ， ABC AOC EFC，12 12四边形 DBCF 是半对角四边形(3)如图，作 OM BC 交 BC 于点 M.四边形 DBCF 是半对角四边形， ABC ACB120， BAC60， BOC2 BAC120. OB OC， OBC OCB30， BC2 BM BO BD.3 3 DG OB， HGB BAC60. DBG CBA， DBG CBA， ( )2 . DBG的 面 积 ABC的 面 积 BDBC 13 DH BG， BG2 HG， DG3 HG， ， BHG的 面 积 BDG的 面 积 13 . BHG的 面 积 ABC的 面 积 19
