1、难题突破专题七 图形变换综合探究题图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法2结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法3注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等类型 1 平移变换问题1 两个三角板 ABC， DEF 按如图 Z71 所示的位置摆放，点 B 与点 D 重合，边 AB 与边 DE 在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中， C DEF
2、90， ABC F30， AC DE6 cm.现固定三角板 DEF，将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移，当点 C 落在边 EF 上时停止运动设三角板平移的距离为 x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为 y(cm2)(1)当点 C 落在边 EF 上时， x_ cm；图 Z71(2)求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；(3)设边 BC 的中点为点 M，边 DF 的中点为点 N，直接写出在三角板平移过程中，点 M 与点 N 之间距离的最小值例题分层分析 (1)当点 C 落在 EF 边上时记为 C，此时 A 点的对应点记为 A，根据锐角三角函数，可得 A E_ cm，所
3、以 x AA AE A E_ cm.(2)分类讨论：当 0 x6 时，根据三角形的面积公式可得答案；当 6 x12 时，根据面积的和差可得答案；当 12 x15 时，根据面积的和差可得答案(3)根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得当 NM BD 时， MN 最小根据线段的和差即可求得答案类型 2 折叠问题2 2015衢州 如图 Z72，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠使顶点 A 落在点 A处，然后将矩形展平，沿 EF 折叠使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处，再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处，如图.(1)求证 EG CH；(2)已知
4、 AF ，求 AD 和 AB 的长2图 Z72例题分层分析 (1)由折叠的性质及矩形的性质可知_，_，再根据四边形ABCD 是矩形，可得_，等量代换即可证明 EG CH；(2)由折叠的性质可知 ADE_， FGE A90， AF ，那么 DG_，利用勾股定理求出2DF_，于是可得 AD AF DF_；再利用 AAS 证明 AEF BCE，得到_，于是AB AE BE_解题方法点析 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等解决折叠问题要注意折叠前后对应点的位置；掌握辅助线的作法；折痕两边折叠部分是全等的；折叠的某点与所落位置之间线段被折痕垂直平
5、分类型 3 旋转变换问题3 2016成都 如图 Z73， ABC 中， ABC45， AH BC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DH CH，连结BD.图 Z73(1)求证： BD AC；(2)将 BHD 绕点 H 旋转，得到 EHF(点 B， D 分别与点 E， F 对应)，连结 AE.()如图，当点 F 落在 AC 上时( F 不与 C 重合)，若 BC4，tan C3，求 AE 的长；()如图，当 EHF 是由 BHD 绕点 H 逆时针旋转 30得到时，设射线 CF 与 AE 相交于点 G，连结 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由例题分层分析 (1)先判
6、断出 AH BH，再证明 BHD AHC 即可；(2)()在 Rt AHC 中，tan C_3.由 AH BH 及 BC4 可求得 AH_， CH_，过点 H作 HP AE 于 P，然后根据 EHA FHC，得到 HP_ AP， AE_ AP，最后用勾股定理求解即可；()设 AH 与 CG 交于点 Q.先判断出 AGQ CHQ，得到_，然后判断出 AQC GQH，最后用相似比求解即可专 题 训 练12017菏泽 如图 Z74，将 Rt ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到 A B C，连结 AA，若125，则 BAA的度数是( )A55 B60 C65 D70图 Z74 图 Z752
7、2017舟山 如图 Z75，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( ，0)， B(1，1)若平移点 A 到点 C，使2以点 O， A， C， B 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A向左平移 1 个单位，在向下平移 1 个单位B向左平移( 1)个单位，再向上平移 1 个单位2C向右平移( 1)个单位，再向上平移 1 个单位2D向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位32016聊城 如图 Z76，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B 落在点B处，若240，则图中1 的度数为( )A115 B120 C130 D140图 Z76
8、 图 Z7742016温州 如图 Z77，一张三角形纸片 ABC，其中 C90， AC4， BC3.现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 A 落在 C 处，将纸片展平做第二次折叠，使点 B 落在 C 处，再将纸片展平做第三次折叠，使点 A 落在 B处这三次折叠的折痕长依次记为 a， b， c，则 a， b， c 的大小关系是( )A cab B bac C cba D bca52017贵港 如图 Z78，在 Rt ABC 中， ACB90，将 ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到 A B C， M是 BC 的中点， P 是 A B的中点，连结 PM.若 BC2， BAC30，则线段 PM 的最大值
9、是( )图 Z78A4 B3 C2 D16如图 Z79，折叠矩形纸片 ABCD，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，折痕的两端点分别在 AB， BC 上(含端点)，且AB6， BC10.设 AE x，则 x 的取值范围是_图 Z7972017武汉 如图 Z710，在 ABC 中， AB AC2 ， BAC120，点 D， E 都在边 BC 上，3 DAE60.若 BD2 CE，则 DE 的长为_图 Z7108如图 Z711，是两块完全一样的含 30角的三角板，分别记作 ABC 和 A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为 M，绕中点 M 转动上面的三角板 ABC，使其直角
10、顶点 C 恰好落在三角板 A1B1C1的斜边 A1B1上当 A30， AC10 时，两直角顶点 C， C1的距离是_图 Z711 图 Z71292017德阳 如图 Z712，将 ABC 沿 BC 翻折得到 DBC，再将 DBC 绕点 C 逆时针旋转 60得到 FEC，延长 BD 交 EF 于 H，已知 ABC30， BAC90， AC1，则四边形 CDHF 的面积为_102017舟山 一副含 30和 45角的三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起，边 BC 与 EF 重合， BC EF12 cm(如图 Z713)，点 G 为边 BC(EF)的中点，边 FD 与 AB 相交于点 H，现将三角板
11、DEF 绕点 G 按顺时针方向旋转(如图 Z713)，在 CGF 从 0到 60的变化过程中，观察点 H 的位置变化，点 H 相应移动的路径长共为_(结果保留根号)图 Z713112017自贡 如图 Z714，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A(1，0)，点 B(0， )3(1)求 BAO 的度数(2)如图，将 AOB 绕点 O 顺时针旋转得 A OB，当点 A恰好落在 AB 边上时，设 AB O 的面积为 S1，BA O 的面积为 S2， S1与 S2有何关系？为什么？(3)若将 AOB 绕点 O 顺时针旋转到如图 Z714所示的位置， S1与 S2的关系发生变化了吗？证明你的判断
12、图 Z714122017赤峰 OPA 和 OQB 分别是以 OP， OQ 为直角边的等腰直角三角形，点 C， D， E 分别是 OA， OB， AB的中点(1)当 AOB90时，如图 Z715，连结 PE， QE，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系；(2)将 OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当 AOB 是锐角时，如图 Z715，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明(3)仍将 OQB 绕点 O 旋转，当 AOB 为钝角时，延长 PC， QD 交于点 G，使 ABG 为等边三角形，如图 Z715，求 AOB 的度数图 Z715参考答案类型 1 平移变换问题例 1 【
13、例题分层分析】(1)3 15解：(1)在 Rt ABC 中， ABC30，则 BAC60， AB2 AC12cm， BC6 cm.3如图，当点 C 在 EF 上时， C A E60，则 A E A C3 cm，12所以 AA AE A E15 cm.故 x15 cm.(2)如图，当 0 x6 时， BD x， DG x，12则 BG x，所以 y DGBG x2.32 12 38如图，当 6x12 时， BD x， BE x6，则 DG x， BG x， EH (x6)，12 32 33所以 y DGBG EHBE x2 (x6) 2 x22 x6 .12 12 38 36 324 3 3如图
14、，当 12x15 时， BE x6，则 EH (x6)，33则 y ACBC EHBE18 (x6) 2 x22 x12 .12 12 3 36 36 3 3(3)当 NM BD 时， MN 最小如图，由题意可知 DN FN DF6cm， DP DN3cm，则 PN3 cm.12 12 3BM CM BC3 cm，则 PM cm，12 3 32 3所以 MN PN PM cm.32 3故点 M， N 之间距离的最小值为 cm.32 3类型 2 折叠问题例 2 【例题分层分析】(1)AE AD EG BC CH AD BC(2)45 2 2 AF BE 2 22 2 2解：(1)证明：由折叠知
15、AE AD EG， BC CH，四边形 ABCD 是矩形， AD BC， EG CH.(2) ADE45， FGE A90， AF ，2 DG FG ， DF2，2 AD AF DF 2.2由折叠知 AEF GEF， BEC HEC， GEF HEC90， AEF BEC90. AEF AFE90， BEC AFE.在 AEF 与 BCE 中， AFE BEC， A B 90，AE BC， ) AEF BCE， AF BE， AB AE BE 2 2 2.2 2 2类型 3 旋转变换问题例 3 【例题分层分析】(2)() 3 1 3 2 () AHCH AQCQ GQHQ解：(1)证明：在 R
16、t AHB 中， ABH45， AH BH.在 BHD 和 AHC 中， BH AH， BHD AHC 90，DH CH， ) BHD AHC， BD AC.(2)()如图，在 Rt AHC 中，tan C3， 3.AHCH设 CH x，则 BH AH3 x， BC4，3 x x4， x1， AH3， CH1.由旋转知， EHF BHD AHC90， EH AH3， CH DH FH1， EHA FHC， 1，EHAH FHHC EHA FHC， EAH C，tan EAHtan C3.过点 H 作 HP AE 于点 P，则 HP3 AP， AE2 AP，在 Rt AHP 中， AP2 HP2
17、 AH2， AP2(3 AP)29， AP ， AE .3 1010 3 105() 2.理由：设 AH 与 GC 交于点 Q，由旋转的性质可得 AEH 和 FHC 都为等腰三角形，且EFHG AHE CHF120， GAH HCG30.又 AQG CQH， AGQ CHQ， ， ，AQCQ GQHQ AQGQ CQHQ AQC GQH， AQC GQH， 2.EFHG ACGH AQGQ 1sin30专题训练1C 解析 根据旋转的性质可得 AC A C，因为 ACA是等腰直角三角形，所以 CA A45，所以 CAB CA B452520，所以 BAA204565.2D 解析 根据点 A( ，
18、0)， B(1，1)可得 OA ， OB ，将点 A 向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单2 2 2位，可得 AC ， BC ，利用“四边相等的四边形为菱形 ”，可得当点 A 向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位2 2时，以点 O， A， C， B 为顶点的四边形是菱形3A 解析 把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B 落在点 B处， BFE EFB， B B90，240， CFB50，1 EFB CFB180，即1150180，解得1115，故选 A.4D 解析 第一次折叠如图，折痕为 DE，由折叠得 AE EC AC 42， D
19、E AC, 12 12 ACB90， DE BC， a DE BC 3 .12 12 32第二次折叠如图，折痕为 MN，由折叠得 BN NC BC 3 ， MN BC，12 12 32 ACB90， MN AC， b MN AC 42.12 12第三次折叠如图，折痕为 GH，由勾股定理得 AB 5，32 42由折叠得 AG BG AB 5 ， GH AB， AGH90.12 12 52 A A， AGH ACB， ACB AGH， ， ， GH ，即 c .ACAG BCGH 452 3GH 158 1582 ， b c a，故选 D.158 325B 6.2 x6 7.3 3 8.539.
20、解析 考虑用割补法计算四边形 CDHF 的面积，即 S 四边形 CDHF S CFE S DEH.33 AC1， ABC30， BC2， AB .3由翻折，得 CD AC1， BDC BAC90， DBC CBA30.由旋转，得 E DBC30， CE BC2， DE CE CD1， DH ， S DHE 1 .又 S CFE S CAB ，则 S 四边形 CDHF S CFE S DEH .13 12 13 36 32 3310(12 18)cm311解：(1) A(1，0)， B(0， )，3 AO1， BO ，3tan BAO ，BOAO 31 3 BAO60.(2)S1 S2.理由：根
21、据旋转的性质可得 AO A O， OA B60. BAO60， AOA是等边三角形， AOA60， AOA OA B， A B x 轴， A B y 轴如图，设 A B与 y 轴交于点 C.在 Rt A CO 中， A O1， A OC906030， A C ， CO .12 32 S1 AOCO 1 ， S2 BOA C ，12 12 32 34 12 12 3 12 34 S1 S2.(3)关系没有变化理由：如图，过点 B作 B D x 轴于 D，过点 B 作 BE OA于点 E， ODB OEB90. AOA BOB， BOE B OD.又 OB OB， OBE OB D， BE B D
22、.又 OA OA， S1 S2.12解：(1) EP EQ.连结 OE. AOB90， E 是 AB 的中点， OE AE.又 OP AP， PE 垂直平分 OA， C 为 OA 的中点，点 C 在 PE 上 OPA90， OPE OPA45.12同理可证 OQE45. EP EQ.(2)成立 OPA 为等腰直角三角形，点 C 是 OA 的中点， OC PC， PCA90.点 C， D， E 分别是 OA， OB， AB 的中点， CE OD， OC DE，四边形 ODEC 是平行四边形， ACE AOD EDB. OC DE， PC DE.同理可证 CE DQ， BDQ90. PCE EDQ. PCE EDQ. EP EQ.(3)连结 OG. OPA 为等腰直角三角形，点 C 是 OA 的中点， OC PC， PCA90. PC 垂直平分 OA.点 G 在 PC 上， AG OG.同理可证点 G 在 QD 上， BG OG. GAO GOA， GOB GBO. ABG 为等边三角形， AGB60.四边形 AOBG 的内角和为 360， AOB GOA GOB， AOB (36060)150.12
