1、方法技巧专题十 最短距离训练探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短” ，二是“两点之间，线段最短” 立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段一、选择题12016苏州 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图 F101 所示，点 B 的坐标为(3，4)， D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当 CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为( )A(3，1) B(3， )43C(3， ) D(3，2)53图 F101 图 F10222015遵义 如图 F102，在四边形 ABCD
2、中， C50， B D90， E， F 分别是 BC， DC 上的点，当 AEF 的周长最小时， EAF 的度数为( )A50 B60C70 D8032015贵港 如图 F103，已知 P 是 O 外一点， Q 是 O 上的动点，线段 PQ 的中点为 M，连结 OP， OM.若 O 的半径为 2， OP4，则线段 OM 的最小值是( )A0 B1 C2 D3图 F103 图 F10442017天津 如图 F104，在 ABC 中， AB AC， AD， CE 是 ABC 的两条中线， P 是 AD 上的一个动点，则下列线段的长等于 BP EP 最小值的是( )A BC B CE C AD D
3、AC52017莱芜 如图 F105，菱形 ABCD 的边长为 6， ABC120， M 是 BC 边的一个三等分点， P 是对角线AC 上的动点，当 PB PM 的值最小时， PM 的长是( )A. B. C. D.72 273 355 264图 F105 图 F10662017乌鲁木齐 如图 F106，点 A(a，3)、 B(b，1)都在双曲线 y 上，点 C， D 分别是 x 轴、 y 轴上的动3x点，则四边形 ABCD 周长的最小值为( )A5 B6 C2 2 D8 2 2 10 2 272016雅安 如图 F107，在矩形 ABCD 中， AD6， AE BD，垂足为 E， ED3 B
4、E，点 P， Q 分别在 BD， AD上，则 AP PQ 的最小值为( )A2 B. C2 D3 2 2 3 3图 F107 图 F10882016安徽 如图 F108，在 Rt ABC 中， AB BC， AB6， BC4， P 是 ABC 内部的一个动点，且满足 PAB PBC，则线段 CP 长的最小值为( )A. B2 C. D.32 8 1313 12 1313二、填空题92016东营如图 F109，在 Rt ABC 中， B90， AB4， BCAB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中， DE 的最小值是_图 F109102017德阳 如图 F1010
5、，已知 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足 OC5，点 P 为 C 上一动点，经过O 的直线 l 上有两点 A、 B 且 OA OB， APB90， l 不经过点 C，则 AB 的最小值为_图 F1010三、解答题112017德阳 如图 F1011，函数 y 的图象与双曲线 y (k0， x0)相交于点2x（ 0 x 3） x 9（ x3） ) kxA(3， m)和点 B.(1)求双曲线的解析式及点 B 的坐标；(2)若点 P 在 y 轴上，连结 PA、 PB，求当 PA PB 的值最小时点 P 的坐标图 F101112把 EFP 按如图 F1012 所示的方式放置在菱形 ABCD 中，使
6、得顶点 E， F， P 分别在线段 AB， AD， AC 上已知 EP FP4， EF4 ， BAD60，且 AB4 .3 3(1)求 EPF 的大小；(2)若 AP6，求 AE AF 的值；(3)若 EFP 的三个顶点 E， F， P 分别在线段 AB， AD， AC 上运动，请直接写出 AP 长的最大值和最小值图 F1012参考答案1B 解析 如图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 H，连结 CH 与 AB 的交点为 E，此时 CDE 的周长最小 D( ，0)， A(3，0)， H( ，0)，32 92可求得直线 CH 的解析式为 y x4，89当 x3 时， y ，点 E 的坐标为(3
7、， )故选 B.43 432D3B 解析 连结 OQ，设线段 OP 与 O 相交于点 N，连结 MN，则 MN 是 POQ 的中位线， MN OQ1.当点 Q12与点 N 重合时， OM3；当点 Q 是射线 PO 与 O 的另一个交点时， OM1. OM 的最小值是 1.故选 B.4B 解析 连结 PC.由 AB AC，可得 ABC 是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点 B 与点C 关于直线 AD 对称， BP CP，因此连结 CE， BP CP 的最小值为 CE，故选 B.5A 解析 连结 BD、 DM， DM 交 AC 于点 P，则此时 PB PM 的值最小过点 D 作 D
8、F BC 于点 F，过点 M 作ME BD 交 AC 于点 E. ABC120， BCD60.又 DC BC， BCD 是等边三角形 BF CF BC3.12 MF CF CM321， DF BF3 .3 3 DM 2 .（ 33） 2 12 7 ME BD， CEM COB. .MEOB CMBC 26 13又 OB OD， .MEOD 13 ME BD， PEM POD. ， PM DM 2 .PMPD MEOD 13 14 14 7 72故选 A.6B 解析 点 A(a，3)、 B(b，1)都在双曲线 y 上， a1， b3， A(1，3)、 B(3，1)，则 AB3x 2 .作点 A
9、关于 y 轴的对称点 A1，作点 B 关于 x 轴的对称点 B1，连结 A1B1，交 y 轴于（ 1 3） 2 （ 3 1） 2 8 2点 D，交 x 轴于点 C，则 A1(1，3)、 B1(3，1)， A1B1 4 ，根据轴对称的（ 1 3） 2 3 （ 1） 2 32 2性质，四边形 ABCD 周长的最小值是 AB A1B12 4 6 ，故选 B.2 2 27D 解析 设 BE x，则 DE3 x，四边形 ABCD 为矩形，且 AE BD， ABE DAE， AE2 BEDE，即 AE23 x2， AE x.3在 Rt ADE 中，由勾股定理可得 AD2 AE2 DE2，即 62( x)2
10、(3 x)2，解得 x .3 3 AE3， DE3 .3如图，设 A 点关于 BD 的对称点为 A，连结 A D， PA，则 A A2 AE6 AD， AD A D6， AA D 是等边三角形 PA PA，当 A， P， Q 三点在一条直线上时， A P PQ 最小由垂线段最短可知当 PQ AD 时， A P PQ 最小， AP PQ A P PQ A Q DE3 ，故选 D.38B 解析 首先证明点 P 在以 AB 为直径的 O 上，连结 OC 与 O 交于点 P，此时 PC 最小，利用勾股定理求出OC 即可解决问题 ABC90， ABP PBC90. PAB PBC， BAP ABP90，
11、 APB90.点 P 在以 AB 为直径的 O 上，连结 OC 交 O 于点 P，此时 PC 的长最小，在 Rt BCO 中， OBC90， BC4， OB3， OC 5， PC OC OP532.BO2 BC2 PC 长的最小值为 2.故选 B.94 解析 四边形 ADCE 是平行四边形， BC AE，当 DE BC 时， DE 最短此时 B90， AB BC， DE AB，四边形 ABDE 是平行四边形， B90，四边形 ABDE 是矩形， DE AB4， DE 的最小值为 4.故答案为 4.104 解析 连结 OP、 OC、 PC，则有 OP OC PC，当 O、 P、 C 三点共线的时
12、候， OP OC PC. APB90， OA OB，点 P 在以 AB 为直径的圆上， O 与 C 相切的时候， OP 取到最小值，此时OP OC CP2， AB2 OP4.11解：(1)由点 A(3， m)在直线 y2 x 上，得 m6，则 A(3，6)，代入 y 得到 k18.kx联立 解得 或 (舍)，y x 9，y 18x， ) x 6，y 3， ) x 3，y 6)则点 B(6，3)(2)如图所示，作 A 关于 y 轴的对称点 A(3，6)，连结 PA，则 PA PA， PA PB PA PB A B，当 A， P， B 三点共线时， PA PB 有最小值， A(3，6)， B(6，
13、3)， A B3 ，10 PA PB 的最小值为 3 .10设 A B： y kx b，将 B(6，3)， A(3，6)，代入 y kx b，得 6 3k b，3 6k b， )解得 k 13，b 5， )得 A B： y x5，当 x0 时， y5，13即当 PA PB 取得最小值的时候， P 的坐标为(0，5)12解：(1)如图，作 PQ EF 于点 Q， EP FP4， EF4 ，3 QF QE2 .3cos QFP ，2 34 32 QFP30. QEP QFP30， EPF120.(2)如图，将 PAF 绕点 P 逆时针旋转 120，得 PA E，作 PM AA，垂足为 M，在等腰三角形 PAA中， AM APcos PAA6cos303 ，3 AA2 AM23 6 .3 3即 AE AF6 .3(3)最大值是 8，最小值是 4.
