（全国版）2019版高考数学一轮复习 第7章 立体几何（课件+学案+练习）（打包20套）.zip

板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 1 讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·银川模拟]三视图如图的几何体是( )A.三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台答案 B解析 几何体底面为四边形，侧面是三角形．故选 B.2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )答案 D解析 由三视图知该几何体是一个组合体，上部是圆锥，下部是圆柱．故选 D.3．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )2答案 D解析 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选 D.4．[2018·云南玉溪模拟]将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 D解析 根据几何体的结构特征进行分析即可．故选 D.5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )3答案 A解析 该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项 A 中的图．故选 A.6．[2017·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3 B．2 C．2 D． 22 3 2答案 B解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，4可知 SD 为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为 2，故 SD＝ ＝2 .故选 B.22＋ 22＋ 22 37．[2018·河北石家庄质检]一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面 ACD⊥平面 BCD.故选 D.8．如图，正方形 OABC 的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为________．5答案 8 cm解析 将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中，OB＝2 ， AB＝ ＝3，2 12＋  22 2于是周长为 2×3＋2×1＝8(cm)．9．[2018·济宁模拟]已知四棱锥 P－ ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P－ ABCD 的四个侧面中面积的最大值是________．答案 6解析 四棱锥如图所示，作 PN⊥平面 ABCD，交 DC 于点 N， PC＝ PD＝3， DN＝2，则 PN＝＝ ， AB＝4， BC＝2， BC⊥ CD，故 BC⊥平面 PDC，即 BC⊥ PC，同理 AD⊥ PD.设 M 为32－ 22 56AB 的中点，连接 PM， MN，则 PM＝3， S△ PDC＝ ×4× ＝2 ， S△ PBC＝ S△12 5 5PAD＝ ×2×3＝3， S△ PAB＝ ×4×3＝6，所以四棱锥 P－ ABCD 的四个侧面中面积的最大值是 6.12 1210．[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm 3.答案 80 40解析 几何体的直观图如图：∴ S 表 ＝4 2×2＋4×2×4＋2 2×4＝80(cm 2)，V＝2 3＋4×4×2＝40(cm 3)．[B 级 知能提升]1．如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M， N 分别是 BB1， BC 的中点，则图中阴影部分7在平面 ADD1A1上的投影为( )答案 A解析 点 D 在平面 ADD1A1上的正投影为点 D，点 M 在平面 ADD1A1上的正投影为 AA1的中点，点 N 在平面 ADD1A1上的投影为 DA 的中点，连接三点可知 A 正确．故选 A.2．[2018·湖南模拟]正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E 为棱 BB1的中点(如图)，用过点A， E， C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )答案 C解析 过点 A， E， C1的截面为 AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项 C 中的图形．故选 C.83.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴， BC， AD 平行于 x轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为________．2答案 8 cm 2解析 解法一：依题意可知∠ BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC， AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.2解法二：依题意可知， S 直观图 ＝2 cm2，2故 S 原图形 ＝2 S 直观图 ＝8 cm 2.24.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解 本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为 4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．9(1)V＝ ×(8×6)×4＝64.13(2)四棱锥的两个侧面 VAD、 VBC 是全等的等腰三角形，取 BC 的中点 E，连接 OE， VE，则△ VOE 为直角三角形， VE 为△ VBC 边上的高， VE＝ ＝4 .VO2＋ OE2 2同理侧面 VAB、 VCD 也是全等的等腰三角形， AB 边上的高 h＝ ＝5.42＋ (62)2∴ S 侧 ＝2× ＝40＋24 .(12×6×42＋ 12×8×5) 25.[2018·合肥模拟]一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为 1 的平行四边形，侧视图是一个长为 、宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩3形．(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为 1 的正方形，高为 .310所以 V＝1×1× ＝ .3 3(2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D⊥平面 ABCD， CD⊥平面 BCC1B1，所以AA1＝2，侧面 ABB1A1， CDD1C1均为矩形． S＝2×(1×1＋1× ＋1×2)＝6＋2 .3 31第 1 讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 简单几何体1．简单旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．2．简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．考点 2 直观图1．画法：常用斜二测画法．2．规则(1)原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或135°)， z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．考点 3 三视图1．几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．2．三视图的画法(1)基本要求：长对正，高平齐，宽相等．(2)画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．[必会结论]1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”Error!“三不变”Error!2．直观图与原图形面积的关系2S 直观图 ＝ S 原图形 (或 S 原图形 ＝2 S 直观图 )．24 2[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)球的任何截面都是圆．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( )(4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．( )(5)在用斜二测画法画水平放置的∠ A 时，若∠ A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠ A ＝ 90°，则在直观图中∠ A＝45°.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．[2018·山西模拟]如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱答案 B解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．故选 B.3．[课本改编]如图，直观图所表示的平面图形是( )A.正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D3解析 由直观图中， A′ C′∥ y′轴， B′ C′∥ x′轴，还原后如图 AC∥ y 轴， BC∥ x轴．所以△ ABC 是直角三角形．故选 D.4．[2018·沈阳模拟]一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析 若俯视图为选项 C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高 ，所以俯视图不可32能是选项 C.5．[2018·宁德质检]如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )4答案 C解析 此几何体侧视图是从左边向右边看，故选 C.板块二 典例探究·考向突破考向 空间几何体的结构特征 例 1 下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案 B解析 A 错，如图 1；B 正确，如图 2，其中底面 ABCD 是矩形，可证明∠ PAB，∠ PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C 错，如图 3；D 错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．触类旁通解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【变式训练 1】 以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；5④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 A解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③错，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选 A.考向 空间几何体的三视图命题角度 1 由空间几何体的直观图识别三视图 例 2 [2018·临沂模拟]如图甲，将一个正三棱柱 ABC－ DEF 截去一个三棱锥 A－ BCD，得到几何体 BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )答案 C解析 由于三棱柱为正三棱柱，故平面 ADEB⊥平面 DEF，△ DEF 是等边三角形，所以CD 在后侧面上的投影为 AB 的中点与 D 的连线， CD 的投影与底面不垂直．故选 C.命题角度 2 由空间几何体的三视图还原直观图例 3 [2017·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )6A. ＋1 B. ＋3 C. ＋1 D. ＋3π 2 π 2 3π2 3π2答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，2∴该几何体的体积V＝ × π×1 2×3＋ × × × ×3＝ ＋1.13 12 13 12 2 2 π 2故选 A.命题角度 3 由两个视图补画第三个视图例 4 [2016·天津高考]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )7答案 B解析 由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选 B.触类旁通三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．考向 空间几何体的直观图 例 5 [2018·桂林模拟]已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△ ABC 的平面直观图△A′ B′ C′的面积为( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a234 38 68 616答案 D解析 如图①、②所示的平面图形和直观图．8由②可知， A′ B′＝ AB＝ a， O′ C′＝ OC＝ a，在图②中作 C′ D′⊥ A′ B′于 D′，12 34则 C′ D′＝ O′ C′＝ a.22 68∴ S△ A′ B′ C′ ＝ A′ B′· C′ D′＝ ×a× a＝ a2.12 12 68 616若本例改为“△ A1B1C1是边长为 a 的正三角形，且△ A1B1C1是△ ABC 的直观图” ，则△ ABC 的面积为多少？解 在△ A1D1C1中，由正弦定理 ＝ ，得 x＝ a，∴ S△asin45° xsin120° 62ABC＝ ×a× a＝ a2.12 6 62【变式训练 2】 如图，矩形 O′ A′ B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′ A′＝6， O′ C′＝2，则原图形 OABC 的面积为( )A．24 B．122 2C．48 D．202 29答案 A解析 由题意知原图形 OABC 是平行四边形，且 OA＝ BC＝6，设平行四边形 OABC 的高为 OE，则 OE× × ＝ O′ C′ ，∵ O′ C′＝12 222，∴ OE＝4 ，∴ S▱OABC＝6×4 ＝24 .故选 A.2 2 2核心规律1.掌握棱柱、棱锥的结构特征．2.旋转体要抓住“旋转”的特点，弄清底面、侧面及其展开图的形状．3.三视图的画法：(1)分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、高平齐、宽相等” ．满分策略1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列 9 ——三视图识图不准致误 [2014·湖北高考]在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )10A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②错因分析 本题易出现的错误：(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．解析 在空间直角坐标系中构建棱长为 2 的正方体，设 A(0，0,2)， B(2,2,0)，C(1,2,1)， D(2，2,2)，则 ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②.故选 D.答案 D答题启示 在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来.跟踪训练一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，11(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )答案 A解析 在空间直角坐标系中，易知 O(0,0,0)， A(1,0,1)， B(1，1,0)， C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱 BC 在 zOx 平面的投影是看得见的，而 OA 的投影即它本身，在投影面中是看不见的．故选 A.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·银川模拟]三视图如图的几何体是( )A.三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台答案 B解析 几何体底面为四边形，侧面是三角形．故选 B.2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )12答案 D解析 由三视图知该几何体是一个组合体，上部是圆锥，下部是圆柱．故选 D.3．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )答案 D解析 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选 D.4．[2018·云南玉溪模拟]将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )13答案 D解析 根据几何体的结构特征进行分析即可．故选 D.5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A解析 该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项 A 中的图．故选 A.6．[2017·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )14A.3 B．2 C．2 D． 22 3 2答案 B解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知 SD 为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为 2，故 SD＝ ＝2 .故选 B.22＋ 22＋ 22 37．[2018·河北石家庄质检]一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )15答案 D解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面 ACD⊥平面 BCD.故选 D.8．如图，正方形 OABC 的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为________．答案 8 cm解析 将直观图还原为平面图形，如图．16可知还原后的图形中，OB＝2 ， AB＝ ＝ 3，2 12＋ 222于是周长为 2×3＋2×1＝8(cm)．9．[2018·济宁模拟]已知四棱锥 P－ ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 P－ ABCD 的四个侧面中面积的最大值是________．答案 6解析 四棱锥如图所示，作 PN⊥平面 ABCD，交 DC 于点 N， PC＝ PD＝3， DN＝2，则PN＝ ＝ ， AB＝4， BC＝2， BC⊥ CD，故 BC⊥平面 PDC，即 BC⊥ PC，同理 AD⊥ PD.32－ 22 5设 M 为 AB 的中点，连接 PM， MN，则 PM＝3， S△ PDC＝ ×4× ＝2 ， S△ PBC＝ S△12 5 5PAD＝ ×2×3＝3， S△ PAB＝ ×4×3＝6，所以四棱锥 P－ ABCD 的四个侧面中面积的最大值是12 126.1710．[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案 80 40解析 几何体的直观图如图：∴ S 表 ＝4 2×2＋4×2×4＋2 2×4＝80(cm 2)，V＝2 3＋4×4×2＝40(cm 3)．[B 级 知能提升]1．如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M， N 分别是 BB1， BC 的中点，则图中阴影部分在平面 ADD1A1上的投影为( )18答案 A解析 点 D 在平面 ADD1A1上的正投影为点 D，点 M 在平面 ADD1A1上的正投影为 AA1的中点，点 N 在平面 ADD1A1上的投影为 DA 的中点，连接三点可知 A 正确．故选 A.2．[2018·湖南模拟]正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， E 为棱 BB1的中点(如图)，用过点A， E， C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )答案 C解析 过点 A， E， C1的截面为 AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项 C 中的图形．故选 C.193.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴， BC， AD 平行于x 轴．已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为________．2答案 8 cm 2解析 解法一：依题意可知∠ BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC， AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.2解法二：依题意可知， S 直观图 ＝2 cm2，2故 S 原图形 ＝2 S 直观图 ＝8 cm 2.24.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形．(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解 本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为 4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．20(1)V＝ ×(8×6)×4＝64.13(2)四棱锥的两个侧面 VAD、 VBC 是全等的等腰三角形，取 BC 的中点 E，连接 OE， VE，则△ VOE 为直角三角形， VE 为△ VBC 边上的高， VE＝ ＝4 .VO2＋ OE2 2同理侧面 VAB、 VCD 也是全等的等腰三角形， AB 边上的高 h＝ ＝5.42＋ (62)2∴ S 侧 ＝2× ＝40＋24 .(12×6×42＋ 12×8×5) 25.[2018·合肥模拟]一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为 1 的平行四边形，侧视图是一个长为 、宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩3形．(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为 1 的正方形，高为 .321所以 V＝1×1× ＝ .3 3(2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D⊥平面 ABCD， CD⊥平面 BCC1B1，所以AA1＝2，侧面 ABB1A1， CDD1C1均为矩形． S＝2×(1×1＋1× ＋1×2)＝6＋2 .3 3 第 7章 立体几何第 1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破板块四 模拟演练 ·提能增分 1第 2 讲 空间几何体的表面积和体积板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1. [2018·南昌模拟]如图，在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 P－ BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2答案 A解析 根据题意，三棱锥 P－ BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥 P－ BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1.故选 A.2． 《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 寸，容纳米 2000 斛(1 丈13＝10 尺，1 尺＝10 寸，斛为容积单位，1 斛≈1.62 立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A．1 丈 3 尺 B．5 丈 4 尺C．9 丈 2 尺 D．48 丈 6 尺答案 B解析 设圆柱底面圆半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意，圆柱体积为V＝π r2h＝2000×1.62≈3× r2×13.33，所以 r2≈81，即 r≈9，所以圆柱底面圆周长为2π r≈54,54 尺＝5 丈 4 尺，则圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺．故选 B.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )2A. B. C. D.16 12 23 13答案 D解析 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴ V＝ ×1×1×1＝ .故选 D.13 134．正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该3球的表面积为( )A．4π B．8π C．12π D．16π答案 B解析 由正弦定理得 ＝2 r(其中 r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，3sin60°∴ r＝1，∴外接球的半径 R＝ ＝ ，∴外接球的表面积 S＝4π R2＝8π.故选 B.12＋ 12 25．[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )3A.60 B．30 C．20 D．10答案 D解析 由三视图画出如图所示的三棱锥 P－ ACD，过点 P 作 PB⊥平面 ACD 于点 B，连接BA， BD， BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形， AD＝5， CD＝3， PB＝4，所以 V 三棱锥P－ ACD＝ × ×3×5×4＝10.故选 D.13 126．[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )4A. ＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋3 6 3 5 2 6 2 5答案 C解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有 OA＝ OB＝1， AB＝ .2又 PB⊥平面 ABCD，∴ PB⊥ BD， PB⊥ AB，∴ PD＝ ＝ ， PA＝ ＝ ，22＋ 1 5 2＋ 12 3从而有 PA2＋ DA2＝ PD2，∴ PA⊥ DA，∴该几何体的侧面积 S＝2× × ×1＋2× × × ＝ ＋ .故选 C.12 2 12 2 3 2 67．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )5A.207 B．216－9π2C．216－36π D．216－18π答案 B解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为 6 的正方体，切去一个底面半径为 3，高为 6 的 圆锥．其体积 V＝6 3－ × ×π×3 2×6＝216－ .故选 B.14 13 14 9π28.[2017·江苏高考]如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是________．V1V2答案 32解析 设球 O 的半径为 R，∵球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱 O1O2的高为 2R，圆柱 O1O2的底面半径为 R.∴ ＝ ＝ .V1V2 π R2·2R43π R3 329．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是________．6答案 2(π＋ )3解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为 2 ；侧3面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2(π＋ )．310．[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．答案 1603解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为 ×4×4×8－ × ×4×4×4＝64－ ＝ .12 13 12 323 1603[B 级 知能提升]1．[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )7A. B. C. D.113 83 163 223答案 D解析 根据三视图知此几何体是边长为 2 的正方体截去一个三棱锥 P－ ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为 2×2×2－ × ×1×2×2＝ .故选 D.13 12 2232．[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ B．4＋5 5C．2＋2 D．55答案 C8解析 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥( SA⊥平面 ABC)，如图，由三视图中的数据可计算得 S△ ABC＝ ×2×2＝2， S△12SAC＝ × ×1＝ ， S△ SAB＝ × ×1＝ ， S△ SBC＝ ×2× ＝ ，所以 S 表面积 ＝2＋2 .故12 5 52 12 5 52 12 5 5 5选 C.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥 S－ ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝ AC， SB＝ BC，三棱锥 S－ ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________．答案 36π解析 如图，连接 OA， OB.由 SA＝ AC， SB＝ BC， SC 为球 O 的直径，知 OA⊥ SC， OB⊥ SC.由平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝ SC， OA⊥ SC，知 OA⊥平面 SCB.设球 O 的半径为 r，则 OA＝ OB＝ r， SC＝2 r，∴三棱锥 S－ ABC 的体积V＝ × ·OA＝ ，13 (12SC·OB) r33即 ＝9，∴ r＝3，∴ S 球表 ＝4π r2＝36π.r334.如图，△ ABC 中， AB＝8， BC＝10， AC＝6， DB⊥平面 ABC，且AE∥ FC∥ BD， BD＝3， FC＝4， AE＝5.求此几何体的体积．9解 解法一：如图，取 CM＝ AN＝ BD，连接 DM， MN， DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则 V 几何体 ＝ V 三棱柱 ＋ V 四棱锥．由题知三棱柱 ABC－ NDM 的体积为 V1＝ ×8×6×3＝72.12四棱锥 D－ MNEF 的体积为：V2＝ ×S 梯形 MNEF×DN13＝ × ×(1＋2)×6×8＝24，13 12则几何体的体积为： V＝ V1＋ V2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA′＝ BB′＝ CC′＝8，所以V 几何体 ＝ V 三棱柱 ＝ ×S△ ABC×AA′＝ ×24×8＝96.12 12 125．[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．解 如图所示，在三棱台 ABC－ A′ B′ C′中， O′， O 分别为上、下底面的中心，D， D′分别是 BC， B′ C′的中点，则 DD′是等腰梯形 BCC′ B′的高，10又 A′ B′＝20 cm， AB＝30 cm，所以 S 侧 ＝3× ×(20＋30)× DD′＝75 DD′.12S 上 ＋ S 下 ＝ ×(202＋30 2)＝325 (cm2)．34 3由 S 侧 ＝ S 上 ＋ S 下 ，得 75DD′＝325 ，3所以 DD′＝ cm，1333又因为 O′ D′＝ ×20＝ (cm)，36 1033OD＝ ×30＝5 (cm)，36 3所以棱台的高 h＝ O′ O＝ D′ D2－  OD－ O′ D′  2＝ ＝ 4 (cm)，(1333 )2－ (53－ 1033 )2 3由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝ (S 上 ＋ S 下 ＋ )h3 S上 S下＝ ×433 (3253＋ 34 ×20×30)＝1900(cm 3)．故棱台的体积为 1900 cm3.1第 2 讲 空间几何体的表面积和体积板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．考点 2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2考点 3 柱、锥、台和球的表面积和体积[必会结论]31．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，①若球为正方体的外接球，则 2R＝ a；3②若球为正方体的内切球，则 2R＝ a；③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ a.2(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则 2R＝.a2＋ b2＋ c2(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2π S.( )(2)设长方体的长、宽、高分别为 2a， a， a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3π a2.( )(3)若一个球的体积为 4 π，则它的表面积为 12π.( )3(4)将圆心角为 ，面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于 4π.( )2π3答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.[2018·长春模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B．64323C. D.3233 643答案 D解析 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，4长度都为 4，∴其体积为 ×4×4×4＝ .故选 D.13 6433.[2018·合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．12＋4 2B．18＋8 2C．28D．20＋8 2答案 D解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为 S＝2× ×2×2＋4×2×2＋2 ×4＝20＋8 .故选 D.12 2 24． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )5A．2 B．4＋2 2C．4＋4 D．6＋42 2答案 C解析 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为 ，棱柱的高为 2，所以其侧面积 S＝2×2＋2 ×2＝4＋4 .故选 C.2 2 25．[2017·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为________．答案 14π解析 ∵长方体的顶点都在球 O 的球面上，∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径．设球的半径为 R，则 2R＝ ＝ .32＋ 22＋ 12 14∴球 O 的表面积为 S＝4π R2＝4π× 2＝14π.(142)6．[2017·山东高考]由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该14几何体的体积为________．6答案 2＋ π 2解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为1 的四分之一圆柱体构成，∴ V＝2×1×1＋2× ×π×1 2×1＝2＋ .14 π 2板块二 典例探究·考向突破考向 几何体的表面积 例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12 C．14 D．16答案 B解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示．因此该多面体各个面中有 2 个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这些梯形的面积之和为 2× ×(2＋4)×2＝12.12故选 B.(2)[2016·全国卷Ⅱ]下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的7表面积为( )A.20π B．24π C．28π D．32π答案 C解析 由三视图可得圆锥的母线长为 ＝4，∴ S 圆锥侧 ＝π×2×4＝8π.又 S22＋ 232圆柱侧 ＝2π×2×4＝16π， S 圆柱底 ＝4π，∴该几何体的表面积为 8π＋16π＋4π＝28π.故选 C.触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．【变式训练 1】 [2015·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ B．1＋2 C．2＋ D．23 2 3 2答案 C解析 由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面 ABD⊥平面 BCD，△ ABD 与△BCD 为全等的等腰直角三角形， AB＝ AD＝ BC＝ CD＝ .取 BD 的中点 O，连接 AO， CO，则2AO⊥ CO， AO＝ CO＝1.由勾股定理得 AC＝ ，因此△ ABC 与△ ACD 为全等的正三角形，由三28角形面积公式得 S△ ABC＝ S△ ACD＝ ， S△ ABD＝ S△ BCD＝1，所以四面体的表面积为 2＋ .故选 C.32 3考向 几何体的体积命题角度 1 补形法求体积 例 2 [2017·全国卷Ⅱ]如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A．90π B．63π C．42π D．36π答案 B解析 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体积12V＝π×3 2×4＋π×3 2×6× ＝63π.故选 B.129命题角度 2 分割法求体积 例 3 [2018·山西五校联考]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为( )A．5000 立方尺 B．5500 立方尺C．6000 立方尺 D．6500 立方尺答案 A解析 该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF.取 AB 的中点 G， CD 的中点 H，连接FG， GH， HF，则该几何体的体积为四棱锥 F－ GBCH 与三棱柱 ADE－ GHF 的体积之和．又可以将三棱柱 ADE－ GHF 割补成高为 EF，底面积为 S＝ ×3×1＝ 平方丈的一个直棱柱，故该楔12 32体的体积 V＝ ×2＋ ×2×3×1＝5 立方丈＝5000 立方尺．故选 A.32 13命题角度 3 转化法求体积 例 4 如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1－ EDF 的体积为________．10答案 16解析 三棱锥 D1－ EDF 的体积即为三棱锥 F－ DD1E 的体积．因为 E， F 分别为 AA1， B1C上的点，所以正方体 ABCD－ A1B1C1D1中△ EDD1的面积为定值 ， F 到平面 AA1D1D 的距离为定12值 1，所以 VF－ DD1E＝ × ×1＝ .13 12 16触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．考向 与球有关的切、接问题 例 5 [2018·沈阳模拟]已知直三棱柱 ABC－ A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB＝3， AC＝4， AB⊥ AC， AA1＝12，则球 O 的半径为( )A. B．2 C. D．33172 10 132 10答案 C解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又AM＝ BC＝ ， OM＝ AA1＝6，所以球 O 的半径 R＝ OA＝ ＝ .故选 C.12 52 12 (52)2＋ 62 13211本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 ，3从而 V 外接球 ＝ π R3＝ π×(2 )3＝32 π，43 43 3 3V 内切球 ＝ π r3＝ π×2 3＝ .43 43 32π3本例若将直三棱柱改为“正四面体 ”，则此正四面体的表面积 S1与其内切球的表面积 S2的比值为多少？解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4· ·a2＝ a2，其内切球半径 r34 3为正四面体高的 ，即 r＝ · a＝ a，因此内切球表面积为 S2＝4π r2＝ ，则 ＝14 14 63 612 π a26 S1S2＝ .3a2π a26 63π本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥” ，则其外接球的半径是多少？2解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为 3 × ＝6，高为 2 2＝3，322－ (12×6)2因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.触类旁通“切” “接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．截面过球心．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．【变式训练 2】 (1)[2017·全国卷Ⅲ]已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )12A．π B. C. D.3π4 π 2 π 4答案 B解析 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r， R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴ r＝ ＝ .12－ (12)2 32∴圆柱的体积为 V＝π r2h＝ π×1＝ .故选 B.34 3π4(2)[2018·湖北七市联考]一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( )A．36π B. C．32π D．28π112π3答案 B解析 根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为 4 的正方形，高是 2 .将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为 4 的正三角形，高3是 4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球．∵三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为 ×2 ＝ ，∴外接球的半径为 R＝23 3 433＝ ，外接球的表面积 S＝4π R2＝4π× ＝ .故选 B.(433)2＋ 22 283 283 112π313核心规律1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积．2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高．满分策略1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算．2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求．3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 10 ——破解切割棱柱体的三视图问题 [2018·河南质检]如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )14A.6 B．9 C．12 D．1解题视点 根据三视图还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱柱，结合图形利用体积公式破解．解析 该几何体是一个直三棱柱截去 所得，如图所示，其体积为 × ×3×4×2＝9.14 34 12故选 B.答案 B 答题启示 从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体.跟踪训练将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )15A. B. C. D．6223 203 163答案 A解析 由图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成． V＝2×2×2－ × ×2×2×1＝ .故选 A.13 12 223板块四 模拟演练·提能增分 [A 级 基础达标]1. [2018·南昌模拟]如图，在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 P－ BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )16A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2答案 A解析 根据题意，三棱锥 P－ BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥 P－ BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1.故选 A.2． 《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 寸，容纳米 2000 斛(1 丈13＝10 尺，1 尺＝10 寸，斛为容积单位，1 斛≈1.62 立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A．1 丈 3 尺 B．5 丈 4 尺C．9 丈 2 尺 D．48 丈 6 尺答案 B解析 设圆柱底面圆半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意，圆柱体积为V＝π r2h＝2000×1.62≈3× r2×13.33，所以 r2≈81，即 r≈9，所以圆柱底面圆周长为2π r≈54,54 尺＝5 丈 4 尺，则圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺．故选 B.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.16 12 23 1317答案 D解析 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴ V＝ ×1×1×1＝ .故选 D.13 134．正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该3球的表面积为( )A．4π B．8π C．12π D．16π答案 B解析 由正弦定理得 ＝2 r(其中 r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，3sin60°∴ r＝1，∴外接球的半径 R＝ ＝ ，∴外接球的表面积 S＝4π R2＝8π.故选 B.12＋ 12 25．[2017·北京高考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.60 B．30 C．20 D．10答案 D解析 由三视图画出如图所示的三棱锥 P－ ACD，过点 P 作 PB⊥平面 ACD 于点 B，连接BA， BD， BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形， AD＝5， CD＝3， PB＝4，所以 V 三棱锥P－ ACD＝ × ×3×5×4＝10.故选 D.13 12186．[2018·遵义模拟]一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )19A. ＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋3 6 3 5 2 6 2 5答案 C解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有 OA＝ OB＝1， AB＝ .2又 PB⊥平面 ABCD，∴ PB⊥ BD， PB⊥ AB，∴ PD＝ ＝ ， PA＝ ＝ ，22＋ 1 5 2＋ 12 3从而有 PA2＋ DA2＝ PD2，∴ PA⊥ DA，∴该几何体的侧面积 S＝2× × ×1＋2× × × ＝ ＋ .故选 C.12 2 12 2 3 2 67．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )20A.207 B．216－9π2C．216－36π D．216－18π答案 B解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为 6 的正方体，切去一个底面半径为 3，高为 6 的 圆锥．其体积 V＝6 3－ × ×π×3 2×6＝216－ .故选 B.14 13 14 9π28.[2017·江苏高考]如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是________．V1V2答案 32解析 设球 O 的半径为 R，∵球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱 O1O2的高为 2R，圆柱 O1O2的底面半径为 R.∴ ＝ ＝ .V1V2 π R2·2R43π R3 329．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是________．21答案 2(π＋ )3解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为 2 ；3侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2(π＋ )．310．[2018·云南昆明联考]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．答案 1603解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为 ×4×4×8－ × ×4×4×4＝64－ ＝ .12 13 12 323 1603[B 级 知能提升]1．[2018·上海模拟]如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )22A. B. C. D.113 83 163 223答案 D解析 根据三视图知此几何体是边长为 2 的正方体截去一个三棱锥 P－ ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为 2×2×2－ × ×1×2×2＝ .故选 D.13 12 2232．[2018·北京模拟]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ B．4＋5 5C．2＋2 D．55答案 C23解析 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥( SA⊥平面 ABC)，如图，由三视图中的数据可计算得 S△ ABC＝ ×2×2＝2， S△12SAC＝ × ×1＝ ， S△ SAB＝ × ×1＝ ， S△ SBC＝ ×2× ＝ ，所以 S 表面积 ＝2＋2 .12 5 52 12 5 52 12 5 5 5故选 C.3．[2017·全国卷Ⅰ]已知三棱锥 S－ ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝ AC， SB＝ BC，三棱锥 S－ ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________．答案 36π解析 如图，连接 OA， OB.由 SA＝ AC， SB＝ BC， SC 为球 O 的直径，知 OA⊥ SC， OB⊥ SC.由平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝ SC， OA⊥ SC，知 OA⊥平面 SCB.设球 O 的半径为 r，则 OA＝ OB＝ r， SC＝2 r，∴三棱锥 S－ ABC 的体积V＝ × ·OA＝ ，13 (12SC·OB) r33即 ＝9，∴ r＝3，∴ S 球表 ＝4π r2＝36π.r334.如图，△ ABC 中， AB＝8， BC＝10， AC＝6， DB⊥平面 ABC，且AE∥ FC∥ BD， BD＝3， FC＝4， AE＝5.求此几何体的体积．24解 解法一：如图，取 CM＝ AN＝ BD，连接 DM， MN， DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则 V 几何体 ＝ V 三棱柱 ＋ V 四棱锥．由题知三棱柱 ABC－ NDM 的体积为 V1＝ ×8×6×3＝72.12四棱锥 D－ MNEF 的体积为：V2＝ ×S 梯形 MNEF×DN13＝ × ×(1＋2)×6×8＝24，13 12则几何体的体积为： V＝ V1＋ V2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使 AA′＝ BB′＝ CC′＝8，所以 V 几何体 ＝ V 三棱柱 ＝ ×S△ ABC×AA′＝ ×24×8＝96.12 12 125．[2018·杭州模拟]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．解 如图所示，在三棱台 ABC－ A′ B′ C′中， O′， O 分别为上、下底面的中心，D， D′分别是 BC， B′ C′的中点，则 DD′是等腰梯形 BCC′ B′的高，25又 A′ B′＝20 cm， AB＝30 cm，所以 S 侧 ＝3× ×(20＋30)× DD′＝75 DD′.12S 上 ＋ S 下 ＝ ×(202＋30 2)＝325 (cm2)．34 3由 S 侧 ＝ S 上 ＋ S 下 ，得 75DD′＝325 ，3所以 DD′＝ cm，1333又因为 O′ D′＝ ×20＝ (cm)，36 1033OD＝ ×30＝5 (cm)，36 3所以棱台的高 h＝ O′ O＝ D′ D2－ OD－ O′ D′ 2＝ ＝ 4 (cm)，(1333 )2－ (53－ 1033 )2 3由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝ (S 上 ＋ S 下 ＋ )h3 S上 S下＝ ×433 (3253＋ 34 ×20×30)＝1900(cm 3)．故棱台的体积为 1900 cm3.