（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第八章 解析几何（课件+学案+练习）（打包27套）.zip

解析几何第 八 章第 41讲 直 线 的 倾 斜角与斜率、直 线 的方程考纲要求 考情分析 命题趋势1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的三种形式 (点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系 .2016·四川卷， 102015·全国卷 Ⅰ ， 20(1)2014·福建卷， 62014·四川卷， 9直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离公式是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查 .分值： 3～ 5分板 块 一板 块 二板 块 三栏 目 导 航1． 直线的倾斜角(1)定义：当直线 l与 x轴相交时，取 x轴作为基准， x轴正向与直线 l__________之间所成的角叫做直线 l的倾斜角，当直线 l与 x轴 ______________时，规定它的倾斜角为 0°.(2)范围：直线 l倾斜角的范围是 __________.向上方向 平行或重合 [0， π) 2． 直线的斜率(1)定 义 ：若直 线 的 倾 斜角 θ不是 90°， 则 斜率 k＝ ________.(2)计 算公式：若由 A(x1， y1)， B(x2， y2)确定的直 线 不垂直于 x轴 ， 则 k＝________.tan θ 3． 直线方程的五种形式1．思维辨析 (在括号内打 “ √” 或 “ ×” )．(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( )(3)当直线 l1和 l2斜率都存在时，若 k1＝ k2，则 l1∥ l2.( )(4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程． ( )(5)任何直线方程都能写成一般形式． ( )√ × × × √ 解析 (1)正确．直线的倾斜角仅反映直线相对于 x轴的倾斜程度，不能确定直线的位置．(2)错误．当直线的倾斜角为 90°时，其斜率不存在．(3)错误．当 k1＝ k2时，两直线可能平行，也可能重合．(4)错误．当直线与 x轴垂直 (斜率不存在 )时，不能用点斜式方程表示．(5)正确．无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式．C A A 4 一 直 线 的 倾 斜角与斜率B 二 直线方程的求法求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在．(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．三 直线方程的综合应用(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出 “ 动中有定 ” ．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【 例 3】 (1)已知直线 l1： ax－ 2y＝ 2a－ 4， l2： 2x＋ a2y＝ 2a2＋ 4，当 0＜ a＜ 2时，直线 l1， l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a的值．(2)已知直线 l过点 P(3,2)，且与 x轴、 y轴的正半轴分别交于 A， B两点，如图所示，求 △ ABO的面积的最小值及此时直线 l的方程．B 4．已知直线 x＋ 2y＝ 2分别与 x轴、 y轴相交于 A， B两点，若动点 P(a， b)在线段AB上，则 ab的最大值为 ________.错因分析： 当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与 x轴垂直，则需要讨论．易错点 忽略直线方程的适用范围【 跟踪训练 1】 设直线 l的方程为 (a＋ 1)x＋ y－ 2－ a＝ 0(a∈ R)．(1)若直线 l在两坐标轴上的截距相等，则直线 l的方程为_____________________.(2)若 a＞－ 1，直线 l与 x轴、 y轴分别交于 M， N两点， O为坐标原点，则 △ OMN的面积最小时，直线 l对应的方程为 _______________.解析 (1)当直线 l经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得 a＋2＝ 0，解得 a＝－ 2.此时直线 l的方程为－ x＋ y＝ 0，即 x－ y＝ 0；x－ y＝ 0或 x＋ y－ 2＝ 0 x＋ y－ 2＝ 0 1第 41 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲要求 考情分析 命题趋势2016·四川卷，102015·全国卷Ⅰ ，20(1)2014·福建卷，62014·四川卷，91.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.分值：3～5 分直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离公式是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.1．直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l！！！！__向上方向__####之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角，当直线 l 与 x 轴！！！！__平行或重合__####时，规定它的倾斜角为 0°.(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是！！！！__[0，π)__####.2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角 θ 不是 90°，则斜率 k＝！！！！__tan θ __####.(2)计算公式：若由 A(x1， y1)， B(x2， y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则k＝！！！！__ __####.y2－ y1x2－ x13．直线方程的五种形式名称条件 方程 适用范围点斜式斜率 k 与点( x0， y0) y－ y0＝ k(x－ x0) 不含直线 x＝ x0斜截式斜率 k 与纵截距 b y＝ kx＋ b不含垂直于 x 轴的直线两点式两点( x1， y1)，(x2， y2) ＝y－ y1y2－ y1 x－ x1x2－ x1 不含直线x＝ x1(x1＝ x2)和直线2y＝ y1(y1＝ y2)截距式截距 a 与 b ＋ ＝1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 —Ax＋ By＋ C＝0(A2＋ B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用1．思维辨析(在括号内打“√”或“ ”)．(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )(3)当直线 l1和 l2斜率都存在时，若 k1＝ k2，则 l1∥ l2.( × )(4)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．( × )(5)任何直线方程都能写成一般形式．( √ )解析 (1)正确．直线的倾斜角仅反映直线相对于 x 轴的倾斜程度，不能确定直线的位置．(2)错误．当直线的倾斜角为 90°时，其斜率不存在．(3)错误．当 k1＝ k2时，两直线可能平行，也可能重合．(4)错误．当直线与 x 轴垂直(斜率不存在)时，不能用点斜式方程表示．(5)正确．无论依据哪种形式求解，最后直线方程都能写成一般形式．2．直线 x＋ y＋ m＝0( m∈R)的倾斜角为( C )3A．30° B．60° C．150° D．120°解析 由 k＝tan α ＝－ ， α ∈[0°，180°)，得 α ＝150°.333．已知直线 l 过点 P(－2,5)，且斜率为－ ，则直线 l 的方程为( A )34A．3 x＋4 y－14＝0 B．3 x－4 y＋14＝0C．4 x＋3 y－14＝0 D．4 x－3 y＋14＝0解析 由 y－5＝－ (x＋2)，得 3x＋4 y－14＝0.344．过点 M(－2， m)， N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( A )A．1 B．4 C．1 或 3 D．1 或 4解析 由 1＝ ，得 m＋2＝4－ m，即 m＝1.4－ mm＋ 25．若点 A(4,3)， B(5， a)， C(6,5)三点共线，则 a 的值为！！！！__4__####.3解析 kAC＝ ＝1， kAB＝ ＝ a－3.5－ 36－ 4 a－ 35－ 4由于 A， B， C 三点共线，所以 a－3＝1，即 a＝4.一 直线的倾斜角与斜率直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分 ， 和 三种情况讨论．当 α ∈ 时，斜率[0，π 2) {π 2} (π 2， π ) [0， π 2)k∈[0，＋∞)；当 α ＝ 时，斜率不存在；当 α ∈ 时，斜率 k∈(－∞，0)．π 2 (π 2， π )【例 1】 (1)直线 2xcos α － y－3＝0 的倾斜角的取值范围是( B )(α ∈ [π 6， π 3])A． B． C． D．[π 6， π 3] [π 4， π 3] [π 4， π 2] [π 4， 2π3](2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)， B(0， )为端点的线段有公共点，则直线 l3斜率的取值范围是！！！！ (－∞，－ ]∪[1，＋∞) ####.3解析 (1)直线 2xcos α － y－3＝0 的斜率 k＝2cos α ，因为 α ∈ ，所以[π 6， π 3]≤cos α ≤ ，因此 k＝2cos α ∈[1， ]．12 32 3设直线的倾斜角为 θ ，则有 tan θ ∈[1， ]．3又 θ ∈[0，π)，所以 θ ∈ ，即倾斜角的取值范围是 .[π 4， π 3] [π 4， π 3](2)如图，∵ kAP＝ ＝1， kBP＝ ＝－ ，1－ 02－ 1 3－ 00－ 1 3∴ k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．3二 直线方程的求法求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在．4(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．【例 2】 根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 ；1010(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为 α ，则 sin α ＝ (00，所以 k＋ ≥2 ＝2 ，故三角形面积的最大值为 .2k k·2k 2 244．已知直线 x＋2 y＝2 分别与 x 轴、 y 轴相交于 A， B 两点，若动点 P(a， b)在线段 AB上，则 ab 的最大值为！！！！__ __####.12解析 直线方程可化为 ＋ y＝1，故直线与 x 轴的交点为 A(2,0)，与 y 轴的交点为x2B(0,1)．由动点 P(a， b)在线段 AB 上，可知 0≤ b≤1，且 a＋2 b＝2，从而 a＝2－2 b，故ab＝(2－2 b)b＝－2 b2＋2 b＝－2 2＋ .(b－12) 12由于 0≤ b≤1，故当 b＝ 时， ab 取得最大值 .12 12易错点 忽略直线方程的适用范围错因分析：当使用直线方程协助解题时，如果不能确定直线是否与 x 轴垂直，则需要讨论．【例 1】 已知圆 M：( x－1) 2＋( y－1) 2＝4，直线 a 过点 C(2,3)且与圆 M 交于 A， B 两点，且 ＝2 ，求直线 a 的方程．|AB| 3解析 ∵ r＝2， ＝2 ，|AB| 3∴圆心 M(1,1)到直线 a 的距离为 1.7当直线 a 垂直于 x 轴时，符合题意，此时直线 a 的方程为 x＝2.当直线 a 不垂直于 x 轴时，设其方程为 y－3＝ k(x－2)，即 kx－ y＋(3－2 k)＝0，∴ ＝1，∴ k＝ ，|k－ 1＋ 3－ 2k|k2＋ 1 34∴ y－3＝ (x－2)，即 3x－4 y＋6＝0.34综上可知，直线 a 的方程为 x＝2 或 3x－4 y＋6＝0.【跟踪训练 1】 设直线 l 的方程为( a＋1) x＋ y－2－ a＝0( a∈R)．(1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为！！！！__ x－ y＝0 或x＋ y－2＝0__####.(2)若 a＞－1，直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 M， N 两点， O 为坐标原点，则△ OMN 的面积最小时，直线 l 对应的方程为！！！！__ x＋ y－2＝0__####.解析 (1)当直线 l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a＋2＝0，解得 a＝－2.此时直线 l 的方程为－ x＋ y＝0，即 x－ y＝0；当直线 l 不经过坐标原点，即 a≠－2，且 a≠－1 时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋ a，解得 a＝0，2＋ aa＋ 1此时直线 l 的方程为 x＋ y－2＝0.所以直线 l 的方程为 x－ y＝0 或 x＋ y－2＝0.(2)由直线方程可得 M ， N(0,2＋ a)，因为 a－1，所以 S△(2＋ aa＋ 1， 0)OMN＝ × ×(2＋ a)12 2＋ aa＋ 1＝ × ＝ ≥ ＝2.12 [a＋ 1＋ 1]2a＋ 1 12[a＋ 1＋ 1a＋ 1＋ 2] 12[2a＋ 1·1a＋ 1＋ 2]当且仅当 a＋1＝ ，即 a＝0 时，等号成立．1a＋ 1此时直线 l 的方程为 x＋ y－2＝0.课时达标 第 41 讲[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程，常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．一、选择题81．(2018·四川绵阳南山中学期中)直线 l 的方程为 x＋3 y－1＝0，则直线 l 的倾斜3角为( A )A．150° B．120° C．60° D．30° 解析 由直线 l 的方程为 x＋3 y－1＝0，可得直线 l 的斜率为 k＝－ ，设直线 l 的333倾斜角为 α (0°≤ α 0，且 A(a,0)， B(0， b)， C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为！！！！__16__####.解析 根据 A(a,0)， B(0， b)确定直线的方程为 ＋ ＝1，xa yb又 C(－2，－2)在该直线上，故 ＋ ＝1，所以－2( a＋ b)＝ ab.－ 2a － 2b又 ab＞0，故 a＜0， b＜0.根据基本不等式 ab＝－2( a＋ b)≥4 ，可得 ≤0(舍去)或 ≥4，故 ab≥16，当ab ab ab且仅当 a＝ b＝－4 时取等号．故 ab 的最小值为 16.三、解答题10．过点 P(3,0)作一直线，使它夹在两直线 l1：2 x－ y－2＝0 与 l2： x＋ y＋3＝0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程．解析 设点 A(x， y)在 l1上，点 B(xB， yB)在 l2上．由题意知Error!则点 B(6－ x，－ y)，解方程组Error!得Error! 则 k＝ ＝8.163－ 0113－ 3故所求的直线方程为 y＝8( x－3)，即 8x－ y－24＝0.11．已知点 A(3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点 A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解析 (1)设直线在 x， y 轴上的截距均为 a.①若 a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，∴直线的方程为 y＝ x，即 4x－3 y＝0.43②若 a≠0，设所求直线的方程为 ＋ ＝1.xa ya又点(3,4)在直线上，11∴ ＋ ＝1，∴ a＝7.3a 4a∴直线的方程为 x＋ y－7＝0.综合①②可知所求直线的方程为 4x－3 y＝0 或 x＋ y－7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±( x－3)．故所求直线的方程为 x－ y＋1＝0 或 x＋ y－7＝0.12．已知直线 l： kx－ y＋1＋2 k＝0( k∈R)．(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，△ AOB 的面积为 S(O 为坐标原点)，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程．解析 (1)证明：直线 l 的方程是 k(x＋2)＋(1－ y)＝0，令Error!解得Error!故无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当 k≠0 时，直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为1＋ 2kk1＋2 k，要使直线不经过第四象限，则必须有Error!解得 k＞0；当 k＝0 时，直线为 y＝1，符合题意．故 k≥0，即 k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由 l 的方程，得 A ， B(0,1＋2 k)．(－1＋ 2kk ， 0)依题意得Error!解得 k＞0.∵ S＝ ·|OA|·|OB|12＝ · ·|1＋2 k|12 |1＋ 2kk |＝ · ＝12 1＋ 2k2k 12(4k＋ 1k＋ 4)≥ ×(2×2＋4)＝4，12等号成立的条件是 k＞0 且 4k＝ ，即 k＝ ，1k 12∴ Smin＝4，此时直线 l 的方程为 x－2 y＋4＝0.解析几何第 八 章第 42讲 两条直 线 的位置关系考纲要求 考情分析 命题趋势1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 .2016·全国卷 Ⅰ ， 52016·全国卷 Ⅱ ， 42015·湖南卷， 13确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题 .分值： 3～ 5分板 块 一板 块 二板 块 三栏 目 导 航1． 两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行① 对于两条不重合的直线 l1， l2，其斜率分别为 k1， k2，则有 l1∥ l2⇔ ________；② 当不重合的两条直线 l1， l2的斜率都不存在时， l1与 l2的关系为 ________.(2)两直线平行或重合的充要条件直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝ 0与直线 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝ 0平行或重合的充要条件是__________________.k1＝ k2 平行 A1B2－ A2B1＝ 0 (3)两条直线垂直① 如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则 l1⊥ l2⇔ ______________； ② 如果 l1， l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则 l1与 l2的关系为 ________.(4)两直线垂直的充要条件直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝ 0与直线 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝ 0垂直的充要条件是__________________.k1k2＝－ 1 垂直 A1A2－ B1B2＝ 0 2． 两条直线的交点3． 三种距离× × √ √ √ 2．已知 l1的倾斜角为 45°， l2经过点 P(－ 2，－ 1)， Q(3， m)，若 l1⊥ l2，则实数 m＝ ( )A． 6 B．－ 6 C． 5 D．－ 5B B 4．点 (a， b)关于直线 x＋ y＋ 1＝ 0的对称点是 ( )A． (－ a－ 1，－ b－ 1) B． (－ b－ 1，－ a－ 1)C． (－ a，－ b) D． (－ b，－ a)B 5．直线 l1： x－ y＝ 0与直线 l2： 2x－ 3y＋ 1＝ 0的交点在直线 mx＋ 3y＋ 5＝ 0上，则m的值为 ( )A． 3 B． 5 C．－ 5 D．－ 8D 判断两条直线平行与垂直的注意点(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意 x， y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．一 两条直线的平行与垂直问题【 例 1】 已知两条直线 l1： ax－ by＋ 4＝ 0和 l2： (a－ 1)x＋ y＋ b＝ 0，分别求出满足下列条件的 a， b的值．(1)l1⊥ l2，且 l1过点 (－ 3，－ 1)；(2)l1∥ l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．二 两条直线的交点问题常用的直线系方程(1)与直线 Ax＋ By＋ C＝ 0平行的直线系方程是 Ax＋ By＋ m＝ 0(m∈ R，且 m≠C)．(2)与直线 Ax＋ By＋ C＝ 0垂直的直线系方程是 Bx－ Ay＋ m＝ 0(m∈ R)．(3)过直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1 ＝ 0与 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝ 0的交点的直线系方程为A1x＋ B1y＋ C1＋ λ(A2x＋ B2y＋ C2)＝ 0(λ∈ R)，但不包括 l2.【 例 2】 求经过直线 l1： 3x＋ 2y－ 1＝ 0和 l2： 5x＋ 2y＋ 1＝ 0的交点，且垂直于直线 l3： 3x－ 5y＋ 6＝ 0的直线 l的方程．三 距离公式的应用【 例 3】 已知点 P(2，－ 1)．(1)求过点 P且与原点的距离为 2的直线 l的方程；(2)求过点 P且与原点的距离最大的直线 l的方程，最大距离是多少？四 对称问题及其应用② 直线 l关于点 A(1,1)对称的直线和直线 l平行，所以设所求的直线方程为 x＋ 2y＋ m＝ 0.在 l上取点 B(0,1)，则点 B(0,1)关于点 A(1,1)的对称点 C(2,1)必在所求的直线上，∴ m＝－ 4，即所求的直线方程为 x＋ 2y－ 4＝ 0.1． “ C＝ 5” 是 “ 点 (2,1)到直线 3x＋ 4y＋ C＝ 0的距离为 3” 的 ( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件B 2． (2018·湖北部分重点中学期中 )已知 A(4，－ 3)关于直线 l的对称点为 B(－ 2,5)，则直线 l的方程是 ( )A． 3x＋ 4y－ 7＝ 0 B． 3x－ 4y＋ 1＝ 0C． 4x＋ 3y－ 7＝ 0 D． 3x＋ 4y－ 1＝ 0B 1第 42 讲 两条直线的位置关系考纲要求 考情分析 命题趋势2016·全国卷Ⅰ ，52016·全国卷Ⅱ ，42015·湖南卷，131.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 分值：3～5 分确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题.1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线 l1， l2，其斜率分别为 k1， k2，则有l1∥ l2⇔！！！！ __k1＝ k2__####；②当不重合的两条直线 l1， l2的斜率都不存在时， l1与 l2的关系为！！！！__平行__####.(2)两直线平行或重合的充要条件直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0 与直线 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0 平行或重合的充要条件是！！！！__ A1B2－ A2B1＝0__####.2(3)两条直线垂直①如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则l1⊥ l2⇔！！！！ __k1k2＝－1__####； ②如果 l1， l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则 l1与 l2的关系为！！！！__垂直__####.(4)两直线垂直的充要条件直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1＝0 与直线 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0 垂直的充要条件是！！！！__ A1A2－ B1B2＝0__####.2．两条直线的交点3．三种距离点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之间的距离＝|P1P2|！！！！__ __####x2－ x12＋ y2－ y12点 P0(x0， y0)到直线l： Ax＋ By＋ C＝0 的距离 d＝！！！！__ __####|Ax0＋ By0＋ C|A2＋ B2两条平行线 Ax＋ By＋ C1＝0 与Ax＋ By＋ C2＝0 间的距离 d＝！！！！__ __####|C1－ C2|A2＋ B21．思维辨析(在括号内打“√”或“ ”)．(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × )(2)点 P(x0， y0)到直线 y＝ kx＋ b 的距离为 .( × )|kx0＋ b|1＋ k2(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )(5)若点 A， B 关于直线 l： y＝ kx＋ b(k≠0)对称，则直线 AB 的斜率等于－ ，且线段1kAB 的中点在直线 l 上．( √ )解析 (1)错误．当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．(2)错误．应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点 P 到直线的距3离为 .|kx0－ y0＋ b|1＋ k2(3)正确．因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．(4)正确．两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离．(5)正确．根据对称性可知直线 AB 与直线 l 垂直且直线 l 平分线段 AB，所以直线 AB的斜率等于－ ，且线段 AB 的中点在直线 l 上．1k2．已知 l1的倾斜角为 45°， l2经过点 P(－2，－1)， Q(3， m)，若 l1⊥ l2，则实数m＝( B )A．6 B．－6 C．5 D．－5解析 由已知得 k1＝1， k2＝ .m＋ 15∵ l1⊥ l2，∴ k1k2＝－1，∴1× ＝－1，即 m＝－6.m＋ 153．点(0，－1)到直线 x＋2 y＝3 的距离为( B )A． B． C．5 D．55 5 15解析 d＝ ＝ .|0＋ 2×－ 1－ 3|5 54．点( a， b)关于直线 x＋ y＋1＝0 的对称点是( B )A．(－ a－1，－ b－1) B．(－ b－1，－ a－1)C．(－ a，－ b) D．(－ b，－ a)解析 设对称点为( x′， y′)，则Error!解得 x′＝－ b－1， y′＝－ a－1.5．直线 l1： x－ y＝0 与直线 l2：2 x－3 y＋1＝0 的交点在直线 mx＋3 y＋5＝0 上，则 m的值为( D )A．3 B．5 C．－5 D．－8解析 由Error!得 l1与 l2的交点坐标为(1,1)，所以 m＋3＋5＝0， m＝－8.一 两条直线的平行与垂直问题判断两条直线平行与垂直的注意点4(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．【例 1】 已知两条直线 l1： ax－ by＋4＝0 和 l2：( a－1) x＋ y＋ b＝0，分别求出满足下列条件的 a， b 的值．(1)l1⊥ l2，且 l1过点(－3，－1)；(2)l1∥ l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解析 (1)由已知可得 l2的斜率存在，且 k2＝1－ a.若 k2＝0，则 1－ a＝0， a＝1.∵ l1⊥ l2，直线 l1的斜率 k1必不存在，即 b＝0.又∵ l1过点(－3，－1)，∴－3 a＋4＝0，即 a＝ (矛盾)，43∴此种情况不存在，∴ k2≠0，即 k1， k2都存在．∵ k2＝1－ a， k1＝ ， l1⊥ l2，ab∴ k1k2＝－1，即 (1－ a)＝－1.(*)ab又∵ l1过点(－3，－1)，∴－3 a＋ b＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得 a＝2， b＝2.(2)∵ l2的斜率存在， l1∥ l2，∴直线 l1的斜率存在，k1＝ k2，即 ＝1－ a.①ab又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1∥ l2，∴ l1， l2在 y 轴上的截距互为相反数，即 ＝ b，②4b联立①②，解得Error!或Error!∴ a＝2， b＝－2 或 a＝ ， b＝2.23二 两条直线的交点问题常用的直线系方程(1)与直线 Ax＋ By＋ C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋ By＋ m＝0( m∈R，且 m≠ C)．(2)与直线 Ax＋ By＋ C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－ Ay＋ m＝0( m∈R)．(3)过直线 l1： A1x＋ B1y＋ C1 ＝0 与 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝0 的交点的直线系方程为A1x＋ B1y＋ C1＋ λ (A2x＋ B2y＋ C2)＝0( λ ∈R)，但不包括 l2.【例 2】 求经过直线 l1：3 x＋2 y－1＝0 和 l2：5 x＋2 y＋1＝0 的交点，且垂直于直线5l3：3 x－5 y＋6＝0 的直线 l 的方程．解析 解方程组Error!得 l1， l2的交点坐标为(－1,2)．由于 l⊥ l3，故 l 是直线系 5x＋3 y＋ C＝0 中的一条，而 l 过 l1， l2的交点(－1,2)，故 5×(－1)＋3×2＋ C＝0，由此求出 C＝－1.故直线 l 的方程为 5x＋3 y－1＝0.三 距离公式的应用利用距离公式应注意的问题(1)点 P(x0， y0)到直线 x＝ a 的距离 d＝ ，到直线 y＝ b 的距离 d＝ .|x0－ a| |y0－ b|(2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中 x， y 的系数化为相等．【例 3】 已知点 P(2，－1)．(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？解析 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时直线 l 的斜率不存在，其方程为 x＝2.若斜率存在，设直线 l 的方程为 y＋1＝ k(x－2)，即 kx－ y－2 k－1＝0.由已知得 ＝2，解得 k＝ .|－ 2k－ 1|k2＋ 1 34此时直线 l 的方程为 3x－4 y－10＝0.综上，可得直线 l 的方程为 x＝2 或 3x－4 y－10＝0.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图．由 l⊥ OP，得 klkOP＝－1，所以 kl＝－ ＝2.1kOP由直线方程的点斜式得 y＋1＝2( x－2)，即 2x－ y－5＝0.所以直线 2x－ y－5＝0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为 ＝ .|－ 5|5 5四 对称问题及其应用6两种对称问题的处理方法(1)关于中心对称问题的处理方法①若点 M(x1， y1)及点 N(x， y)关于点 P(a， b)对称，则由中点坐标公式得Error!②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用 l1∥ l2，由点斜式得到所求的直线方程．(2)关于轴对称问题的处理方法①点关于直线的对称若两点 P1 (x1， y1)与 P2(x2， y2)关于直线 l： Ax＋ By＋ C＝0 对称，则线段 P1P2的中点在 l 上，而且连接 P1P2的直线垂直于 l，由方程组Error!可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标( x2， y2)(其中 B≠0， x1≠ x2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【例 4】 (1)已知直线 l： x＋2 y－2＝0.①求直线 l1： y＝ x－2 关于直线 l 对称的直线 l2的方程；②求直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程．(2)光线由点 A(－5， )入射到 x 轴上的点 B(－2,0)，又反射到 y 轴上的点 M，再经3y 轴反射，求第二次反射线所在直线 l 的方程．解析 (1)①由Error!解得交点 P(2,0)．在 l1上取点 M(0，－2)，M 关于 l 的对称点设为 N(a， b)，则Error!解得 N ，∴ kl2＝ ＝7，又直线直 l2过点 P(2,0)，(125， 145)145－ 0125－ 2∴直线 l2的方程为 7x－ y－14＝0.②直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线和直线 l 平行，所以设所求的直线方程为7x＋2 y＋ m＝0.在 l 上取点 B(0,1)，则点 B(0,1)关于点 A(1,1)的对称点 C(2,1)必在所求的直线上，∴ m＝－4，即所求的直线方程为 x＋2 y－4＝0.(2)点 A(－5， )关于 x 轴的对称点 A′(－5，－ )在反射光线所在的直线 BM 上，3 3可知 lBM： y＝ (x＋2)，∴ M .33 (0， 233)又第二次反射线的斜率 k＝ kAB＝－ ，∴第二次反射线所在直线 l 的方程为33y＝－ x＋ ，33 233即 x＋ y－2＝0.31． “C＝5”是“点(2,1)到直线 3x＋4 y＋ C＝0 的距离为 3”的( B )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析 点(2,1)到直线 3x＋4 y＋ C＝0 的距离为 3 等价于 ＝3，解|3×2＋ 4×1＋ C|32＋ 42得 C＝5 或 C＝－25，所以“ C＝5”是“点(2,1)到直线 3x＋4 y＋ C＝0 的距离为 3”的充分不必要条件．故选 B．2．(2018·湖北部分重点中学期中)已知 A(4，－3)关于直线 l 的对称点为 B(－2,5)，则直线 l 的方程是( B )A．3 x＋4 y－7＝0 B．3 x－4 y＋1＝0C．4 x＋3 y－7＝0 D．3 x＋4 y－1＝0解析 由题意得 AB 的中点 C 为(1,1)，又 A， B 两点连线的斜率为 kAB＝ ＝－ ，5＋ 3－ 2－ 4 43所以直线 l 的斜率为 ，因此直线 l 的方程为 y－1＝ (x－1)，即 3x－4 y＋1＝0.故选 B．34 343．设不同直线 l1：2 x－ my－1＝0， l2：( m－1) x－ y＋1＝0，则“ m＝2”是“ l1∥ l2”的( C )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 当 m＝2 时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当 l1∥ l28时，显然 m≠0，从而有 ＝ m－1，解得 m＝2 或 m＝－1，但当 m＝－1 时，两直线重合，不2m合要求，故必要性成立．故选 C．4．已知直线 l1与直线 l2：4 x－3 y＋1＝0 垂直且与圆 C： x2＋ y2＝－2 y＋3 相切，则直线 l1的方程是！！！！__3 x＋4 y＋14＝0 或 3x＋4 y－6＝0__####.解析 圆 C 的方程为 x2＋( y＋1) 2＝4，圆心为(0，－1)，半径 r＝2.设直线 l1的方程为 3x＋4 y＋ c＝0，则 ＝2，解得 c＝14 或 c＝－6，即直线 l1的方|3×0＋ 4×－ 1＋ c|32＋ 42程为 3x＋4 y＋14＝0 或 3x＋4 y－6＝0.易错点 对变量认识不清晰错因分析：变量转换后，不能及时将变量由原变量转换为新变量，使解题受阻．【例 1】 设点 A(1,0)， B(2,1)，如果直线 ax＋ by＝1 与线段 AB 有一个公共点，那么a2＋ b2的最小值为！！！！______####.解析 ∵直线与线段 AB 有一个公共点，∴ A， B 在直线异侧或者其中一点在直线上，∴( a－1)(2 a＋ b－1)≤0，∴点( a， b)在如图阴影部分所示的平面区域内．又 a2＋ b2表示点( a， b)到原点的距离的平方，∴ a2＋ b2的最小值为原点到直线 2a＋ b－1＝0 的距离的平方，即( a2＋ b2)min＝ 2＝ .(|－ 1|4＋ 1) 15答案 15【跟踪训练 1】 (2018·山东临沂兰山区期中)已知点 P(a， b)与点 Q(1,0)在直线2x＋3 y－1＝0 的两侧，且 a＞0， b＞0，则 ω ＝ a－2 b 的取值范围是( D )A． B． C． D． [－23， 12] (－ 23， 0) (0， 12) (－ 23， 12)解析 由题意可知(2 a＋3 b－1)·(2＋0－1)0，则 2a＋3 b1，所以Error!则点( a， b)在如图阴影部分所示的平面区域内．9所以 ω ＝ a－2 b 在点 A 处取得最大值 ，在点 B 处取得最小值－ ，因为点(12， 0) 12 (0， 13) 23A 和点 B 不在点( a， b)可取的范围内，所以 ω 的取值范围为 .故选 D．(12， 0) (0， 13) (－ 23， 12)课时达标 第 42 讲[解密考纲]对直线方程与两条直线的位置关系的考查，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．若直线 ax＋2 y＋1＝0 与直线 x＋ y－2＝0 互相垂直，那么 a 的值等于( D )A．1 B．－ C．－ D．－213 23解析 由 a×1＋2×1＝0，得 a＝－2.故选 D．2．已知过点 A(－2， m)和 B(m,4)的直线与直线 2x＋ y－1＝0 平行，则 m 的值为( B )A．0 B．－8 C．2 D．10解析 kAB＝ ＝－2，则 m＝－8.4－ mm＋ 23．直线 2x－ y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是( C )A． x＋2 y－1＝0 B．2 x＋ y－1＝0C．2 x＋ y－5＝0 D． x＋2 y－5＝0解析 由题意可知，直线 2x－ y＋1＝0 与直线 x＝1 的交点为(1,3)，直线2x－ y＋1＝0 的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数．直线2x－ y＋1＝0 的斜率为 2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是 y－3＝－2( x－1)，即 2x＋ y－5＝0.4． “m＝1”是“直线 x－ y＝0 和直线 x＋ my＝0 互相垂直” 的( C )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 因为 m＝1 时，两直线方程分别是 x－ y＝0 和 x＋ y＝0，两直线的斜率分别是 1和－1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线 x－ y＝0 和直线 x＋ my＝0 互相垂直时，有 1×1＋(－1)· m＝0，所以 m＝1，所以必要性成立．故选 C．5．若动点 A， B 分别在直线 l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 上移动，则 AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( A )A．3 B．2 C．3 D．42 2 3 210解析 由题意知 AB 的中点 M 在到直线 l1： x＋ y－7＝0 和 l2： x＋ y－5＝0 距离都相等的直线上，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点 M 所在直线的方程为l： x＋ y＋ m＝0，根据平行线间的距离公式，得 ＝ ，所以| m＋7|＝| m＋5|，解|m＋ 7|2 |m＋ 5|2得 m＝－6，故 l： x＋ y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为＝3 .|－ 6|2 26．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点( m， n)重合，则 m＋ n＝( C )A．4 B．6 C． D．345 365解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y＝2 x－3，它也是点(7,3)与点( m， n)连线的垂直平分线，于是Error!解得Error!故 m＋ n＝ .345二、填空题7．经过点 P(－1,2)且与曲线 y＝3 x2－4 x＋2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线的方程是！！！！__2 x－ y＋4＝0__####.解析 ∵ y′＝6 x－4，∴ y′| x＝1 ＝2，∴所求直线方程为 y－2＝2( x＋1)，即 2x－ y＋4＝0.8．过点(－1,1)的直线被圆 x2＋ y2－2 x－4 y－11＝0 截得的弦长为 4 ，则该直线的方3程为！！！！__ x＝－1 或 3x＋4 y－1＝0__####.解析 圆 x2＋ y2－2 x－4 y－11＝0，即( x－1) 2＋( y－2) 2＝16，则圆心为点 M(1,2)，半径 r＝4.由条件知，点(－1,1)在圆内，设过点 N(－1,1)的直线为 l.当 l 的斜率 k 不存在时， l： x＝－1，则交点 A(－1,2－2 )， B(－1，2＋2 )，满足3 3|AB|＝4 .3当 l 的斜率 k 存在时，设 l： y－1＝ k(x＋1)，即 kx－ y＋ k＋1＝0，则圆心 M(1,2)到直线 l 的距离 d＝ ＝ ，|k－ 2＋ k＋ 1|k2＋ 1 |2k－ 1|k2＋ 1则 d2＋(2 )2＝16，即 d2＝ ＝16－12＝4，32k－ 12k2＋ 1解得 k＝－ .34此时， y－1＝－ (x＋1)，即 3x＋4 y－1＝0.3411综上所述，直线 l 的方程为 x＝－1 或 3x＋4 y－1＝0.9．已知定点 A(1,1)， B(3,3)，动点 P 在 x 轴上，则| PA|＋| PB|的最小值是！！！！ 2 ####.5解析 点 A(1,1)关于 x 轴的对称点为 C(1，－1)，则| PA|＝| PC|，设 BC 与 x 轴的交点为 M，则| MA|＋| MB|＝| MC|＋| MB|＝| BC|＝2 .5由三角形两边之和大于第三边知，当 P 不与 M 重合时，| PA|＋| PB|＝| PC|＋| PB|＞| BC|，故当 P 与 M 重合时，| PA|＋| PB|取得最小值．三、解答题10．正方形的中心为点 C(－1,0)，一条边所在的直线方程是 x＋3 y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解析 点 C 到直线 x＋3 y－5＝0 的距离d＝ ＝ .|－ 1－ 5|1＋ 9 3105设与 x＋3 y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3 y＋ m＝0( m≠－5)，则点 C 到直线 x＋3 y＋ m＝0 的距离d＝ ＝ ，解得 m＝－5(舍去)或 m＝7，|－ 1＋ m|1＋ 9 3105所以与 x＋3 y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3 y＋7＝0.设与 x＋3 y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－ y＋ n＝0，则点 C 到直线 3x－ y＋ n＝0 的距离 d＝ ＝ ，|－ 3＋ n|1＋ 9 3105解得 n＝－3 或 n＝9，所以与 x＋3 y－5＝0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－ y－3＝0 和 3x－ y＋9＝0.综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为x＋3 y＋7＝0，3 x－ y－3＝0,3 x－ y＋9＝0.11．已知△ ABC 的顶点 A(5,1)， AB 边上的中线 CM 所在直线的方程为 2x－ y－5＝0， AC边上的高 BH 所在直线的方程为 x－2 y－5＝0，求直线 BC 的方程．解析 依题意知 kAC＝－2， A(5,1)，∴直线 AC 的方程为 2x＋ y－11＝0，联立直线 AC 和直线 CM 的方程，得Error!∴ C(4,3)．设 B(x0， y0)， AB 的中点 M 为 ，(x0＋ 52 ， y0＋ 12 )代入 2x－ y－5＝0，得 2x0－ y0－1＝0，12∴Error!∴ B(－1，－3)，∴ kBC＝ ，∴直线 BC 的方程为 y－3＝ (x－4)，65 65即 6x－5 y－9＝0.12．已知直线 l1： x＋ a2y＋1＝0 和直线 l2：( a2＋1) x－ by＋3＝0( a， b∈R)．(1)若 l1∥ l2，求 b 的取值范围；(2)若 l1⊥ l2，求| ab|的最小值．解析 (1)因为 l1∥ l2，所以－ b－( a2＋1) a2＝0，即 b＝－ a2(a2＋1)＝－ a4－ a2＝－ 2＋ .(a2＋12) 14因为 a2≥0，所以 b≤0.又因为 l1与 l2不重合，所以 a2＋1≠3，所以 b≠－6.故 b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为 l1⊥ l2，所以( a2＋1)－ a2b＝0，显然 a≠0，所以 ab＝ a＋ ，| ab|＝ ≥2，1a |a＋ 1a|当且仅当 a＝±1 时等号成立，因此| ab|的最小值为 2.