（全国版）2019版高考数学一轮复习 全册学案（打包58套）.zip

1第 1 讲 绝对值不等式板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 绝对值不等式的解法1．形如| ax＋ b|≥| cx＋ d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．2．形如| ax＋ b|≤ c(c0)和| ax＋ b|≥ c(c0)型不等式(1)绝对值不等式| x|a 与| x|0)和| ax＋ b|≥ c(c0)型不等式的解法|ax＋ b|≤ c⇔－ c≤ ax＋ b≤ c(c0)，| ax＋ b|≥ c⇔ax＋ b≥ c 或 ax＋ b≤－ c(c0)．考点 2 绝对值不等式的应用1．定理：如果 a， b 是实数，那么| a＋ b|≤| a|＋| b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．2．如果 a， b， c 是实数，那么| a－ c|≤| a－ b|＋| b－ c|，当且仅当( a－ b)(b－ c)≥02时，等号成立．3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式(1)|a1＋ a2＋…＋ an|≤| a1|＋| a2|＋…＋| an|.(2)||a|－| b||≤| a＋ b|≤| a|＋| b|.(3)||a|－| b||≤| a－ b|≤| a|＋| b|.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)|ax＋ b|≤ c(c≥0)的解等价于－ c≤ ax＋ b≤ c.( )(2)若| x|c 的解集为 R，则 c≤0.( )(3)不等式| x－1|＋| x＋2|2，所以 x2.12 x2综上可知，原不等式的解集为Error!.板块二 典例探究·考向突破考向 绝对值不等式的解法例 1 [2017·全国卷Ⅲ]已知函数 f(x)＝| x＋1|－| x－2|.(1)求不等式 f(x)≥1 的解集；(2)若不等式 f(x)≥ x2－ x＋ m 的解集非空，求 m 的取值范围．解 (1) f(x)＝Error!当 x＜－1 时， f(x)≥1 无解；当－1≤ x≤2 时，由 f(x)≥1，得 2x－1≥1，解得 1≤ x≤2；当 x＞2 时，由 f(x)≥1，解得 x＞2.所以 f(x)≥1 的解集为{ x|x≥1}．(2)由 f(x)≥ x2－ x＋ m，得m≤| x＋1|－| x－2|－ x2＋ x.而| x＋1|－| x－2|－ x2＋ x≤| x|＋1＋| x|－2－ x2＋| x|＝－ 2＋ ≤ ，(|x|－32) 54 54且当 x＝ 时，| x＋1|－| x－2|－ x2＋ x＝ ，32 54故 m 的取值范围为 .(－ ∞ ，54]触类旁通绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对 a0，| x|a⇔xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距4离问题求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．【变式训练 1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数 f(x)＝－ x2＋ ax＋4， g(x)＝| x＋1|＋| x－1|.(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥ g(x)的解集；(2)若不等式 f(x)≥ g(x)的解集包含[－1,1]，求 a 的取值范围．解 (1)当 a＝1 时，不等式 f(x)≥ g(x)等价于x2－ x＋| x＋1|＋| x－1|－4≤0.①当 x＜－1 时，①式化为 x2－3 x－4≤0，无解；当－1≤ x≤1 时，①式化为 x2－ x－2≤0，从而－1≤ x≤1；当 x＞1 时，①式化为 x2＋ x－4≤0，从而 1＜ x≤ .－ 1＋ 172所以 f(x)≥ g(x)的解集为(2)当 x∈[－1,1]时， g(x)＝2，所以 f(x)≥ g(x)的解集包含[－1,1]等价于当 x∈[－1,1]时， f(x)≥2.又 f(x)在[－1,1]的最小值必为 f(－1)与 f(1)之一，所以 f(－1)≥2 且 f(1)≥2，得－1≤ a≤1.所以 a 的取值范围为[－1,1]．考向 绝对值三角不等式的应用例 2 (1)[2018·江西模拟]已知函数 f(x)＝|2 x－1|.①求不等式 f(x)0， n0)，求 ＋ 的取值2m 1n范围．解 ①不等式 f(x)0， n0)，则 ＋ ＝ ＋ ＝1＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋22m 1n m＋ nm m＋ n2n nm m2n 12 32 nm m2n 32＝ ＋ ，当且仅当 m＝4－2 ， n＝2 －2 时等号成立，nm·m2n 32 2 2 2故 ＋ 的取值范围为 .2m 1n [32＋ 2， ＋ ∞ )5(2)[2018·太原模拟]已知函数 f(x)＝|2 x－ a|＋|2 x＋3|， g(x)＝| x－1|＋2.①解不等式：| g(x)|1 时，2 x≥3，∴ x≥1.5.综上所述 x≤－1.5 或 x≥1.5.(2)已知函数 f(x)＝|2 x－ a|＋| x－1|， a∈R.①若不等式 f(x)≤2－| x－1|有解，求实数 a 的取值范围；②当 a2g(x)＋1；(2)若不等式 f(x)≥ g(x)－4 对任意 x∈R 恒成立，求 a 的取值范围．解 (1)当 a＝2 时，不等式 f(x)2g(x)＋1 为| x－4|4| x|＋1，x－4 x＋1，解得 x－1，∴－14x＋1，解得 x4，不等式化为 x－44 x＋1，解得 x2g(x)＋1 为| x－4|4| x|＋1，分类讨论求得 x 的范围．(2)由题意可得| x－4|≥ a|x|－4 对任意 x∈R 恒成立．当 x＝0 时，不等式显然成立；当 x≠0 时，采用分离参数法，问题等价于 a≤ 对任意非零实数恒成立，再利用|x－ 4|＋ 4|x|绝对值三角不等式求得 a 的范围．含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．【变式训练 3】 (1)已知函数 f(x)＝|1－2 x|－|1＋ x|.①若不等式 f(x) 时， x－21，即 aax 对任意的实数 x 恒成立，求 a 的取值范围．解 (1) f(x)0，∴ x1，∴不等式的解集为{ x|x1}．9(2)令 H(x)＝2 f(x)＋ g(x)＝Error!G(x)＝ ax，2f(x)＋ g(x)ax 对任意的实数 x 恒成立，即 H(x)的图象恒在直线 G(x)＝ ax 的上方，故直线 G(x)＝ ax 的斜率 a 满足－4≤ a9；(2)设关于 x 的不等式 f(x)≤| x－4|的解集为 A， B＝{ x∈R||2 x－1|≤3}，如果A∪ B＝ A，求实数 a 的取值范围．解 (1)当 a＝5 时， f(x)＝| x＋5|＋| x－2|.①当 x≥2 时，由 f(x)9，得 2x＋39，解得 x3；②当－5≤ x9，得 79，此时不等式无解；③当 x9，得－2 x－39，解得 x9 的解集为{ x∈R| x3}．(2)∵ A∪ B＝ A，∴ B⊆A.又 B＝{ x∈R||2 x－1|≤3}＝{ x∈R|－1≤ x≤2}，关于 x 的不等式 f(x)≤| x－4|的解集为 A，∴当－1≤ x≤2 时， f(x)≤| x－4|恒成立．10由 f(x)≤| x－4|得| x＋ a|≤2.∴当－1≤ x≤2 时，| x＋ a|≤2 恒成立，即－2－ x≤ a≤2－ x 恒成立．∴实数 a 的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数 f(x)＝| x＋1|＋|2 x－4|.(1)解关于 x 的不等式 f(x)－2，∴－2－4，∴－1－2 时， x 的取值范围是{ x|－2≤ x≤ a}．116．[2018·辽宁大连双基考试]设函数 f(x)＝| x－1|＋ |x－3|.12(1)求不等式 f(x)2 的解集；(2)若不等式 f(x)≤ a 的解集非空，求实数 a 的取值范围．(x＋12)解 (1)原不等式等价于Error!或Error!或Error!∴不等式的解集为 ∪(3，＋∞)．(－ ∞ ，13)(2)f(x)＝| x－1|＋ |x－3|12＝Error!f(x)的图象如图所示，其中 A(1,1)， B(3,2)，直线 y＝ a 绕点 旋转，(x＋12) (－ 12， 0)由图可得不等式 f(x)≤ a 的解集非空时， a 的取值范围为 ∪(x＋12) (－ ∞ ， － 32).[47， ＋ ∞ )1第 2 讲 不等式的证明板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．考点 2 综合法2一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．考点 3 分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．考点 4 反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．考点 5 放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．考点 6 柯西不等式1．二维形式的柯西不等式定理 1 若 a， b， c， d 都是实数，则( a2＋ b2)(c2＋ d2)≥( ac＋ bd)2，当且仅当 ad＝ bc时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式定理 2 设 α ， β 是两个向量，则| α ·β |≤| α |·|β |，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α ＝ kβ 时，等号成立．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)用反证法证明命题“ a， b， c 全为 0”时，假设为“ a， b， c 全不为 0”．( )(2)若 1，则 x＋2 yx－ y.( )x＋ 2yx－ y(3)|a＋ b|＋| a－ b|≥|2 a|.( )(4)若实数 x、 y 适合不等式 xy1， x＋ y－2，则 x0， y0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．[2018·温州模拟]若 a， b， c∈R， ab，则下列不等式成立的是( )A. b21a1bC. D． a|c|b|c|ac2＋ 1 bc2＋ 1答案 C解析 应用排除法．取 a＝1， b＝－1，排除 A；取 a＝0， b＝－1，排除 B；取 c＝0，排除 D.显然 0，对不等式 ab 的两边同时乘以 ，立得 成立．故选 C.1c2＋ 1 1c2＋ 1 ac2＋ 1 bc2＋ 13．[课本改编]不等式：① x2＋33 x；② a2＋ b2≥2( a－ b－1)；③ ＋ ≥2，其中恒成立ba ab3的是( )A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②答案 D解析 由①得 x2＋3－3 x＝ 2＋ 0，所以 x2＋33 x；对于②，因为(x－32) 34a2＋ b2－2( a－ b－1)＝( a－1) 2＋( b＋1) 2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当 abc－ bC．| a||b|－| c| D．| a|0， b0， a3＋ b3＝2.证明：(1)(a＋ b)(a5＋ b5)≥4；(2)a＋ b≤2.证明 (1)( a＋ b)(a5＋ b5)＝ a6＋ ab5＋ a5b＋ b6＝( a3＋ b3)2－2 a3b3＋ ab(a4＋ b4)＝4＋ ab(a2－ b2)2≥4.(2)因为( a＋ b)3＝ a3＋3 a2b＋3 ab2＋ b3＝2＋3 ab(a＋ b)≤2＋ (a＋ b)＝2＋ ，3a＋ b24 3a＋ b34所以( a＋ b)3≤8，因此 a＋ b≤2.板块二 典例探究·考向突破4考向 比较法证明不等式例 1 [2016·全国卷Ⅱ]已知函数 f(x)＝ ＋ ， M 为不等式 f(x)－1，即－1f(a)－ f(－ b)．解 (1)当 x≤－1 时，原不等式可化为－ x－11，12综上， M＝{ x|x1}．(2)证明：证法一：因为 f(ab)＝| ab＋1|＝|( ab＋ b)＋(1－ b)|≥| ab＋ b|－|1－ b|＝| b||a＋1|－|1－ b|.因为 a， b∈ M，所以| b|1，| a＋1|0，所以 f(ab)|a＋1|－|1－ b|，即 f(ab)f(a)－ f(－ b)．证法二：因为 f(a)－ f(－ b)＝| a＋1|－|－ b＋1|≤| a＋1－(－ b＋1)|＝| a＋ b|，所以要证 f(ab)f(a)－ f(－ b)，只需证| ab＋1|| a＋ b|，即证| ab＋1| 2|a＋ b|2，5即证 a2b2＋2 ab＋1 a2＋2 ab＋ b2，即证 a2b2－ a2－ b2＋10，即证( a2－1)( b2－1)0.因为 a， b∈ M，所以 a21， b21，所以( a2－1)( b2－1)0 成立，所以原不等式成立．考向 用综合法与分析法证明不等式例 2 (1)[2018·浙江金华模拟]已知 x， y∈R.①若 x， y 满足| x－3 y|be(其中 e 是自然对数的底数)，求证：baab.(提示：可考虑用分析法找思路)证明 ∵ ba0， ab0，∴要证 baab只要证 aln bbln a只要证 .(∵ abe)ln bb ln aa取函数 f(x)＝ ，∵ f′( x)＝ln xx 1－ ln xx2令 f′( x)＝0， x＝e∴当 xe 时， f′( x)be 时，有 f(b)f(a)，即 ，得证．ln bb ln aa触类旁通综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果” ，分析法证明不等式是“执果索因” ，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．6【变式训练 2】 (1)设 a， b， c 均为正数，且 a＋ b＋ c＝1，证明：① ab＋ bc＋ ca≤ ；13② ＋ ＋ ≥1.a2b b2c c2a证明 ①由 a2＋ b2≥2 ab， b2＋ c2≥2 bc， c2＋ a2≥2 ca 得 a2＋ b2＋ c2≥ ab＋ bc＋ ca.由题设得( a＋ b＋ c)2＝1，即 a2＋ b2＋ c2＋2 ab＋2 bc＋2 ca＝1.所以 3(ab＋ bc＋ ca)≤1，即 ab＋ bc＋ ca≤ .13②证法一：因为 ＋ b≥2 a， ＋ c≥2 b， ＋ a≥2 c，a2b b2c c2a故 ＋ ＋ ＋( a＋ b＋ c)≥2( a＋ b＋ c)，a2b b2c c2a即 ＋ ＋ ≥ a＋ b＋ c.a2b b2c c2a所以 ＋ ＋ ≥1.a2b b2c c2a证法二：由柯西不等式得：(a＋ b＋ c) ≥( c＋ a＋ b)2，(c2a＋ a2b＋ b2c)∵ a＋ b＋ c＝1，∴ ＋ ＋ ≥1.c2a a2b b2c(2)[2015·全国卷Ⅱ]设 a， b， c， d 均为正数，且 a＋ b＝ c＋ d，证明：①若 abcd，则 ＋ ＋ ；a b c d② ＋ ＋ 是| a－ b|cd，得( ＋ )2( ＋ )2.所以 ＋ ＋ .a b c d a b c d②(ⅰ)若| a－ b|cd.由①得 ＋ ＋ .a b c d(ⅱ)若 ＋ ＋ ，则( ＋ )2( ＋ )2，a b c d a b c d即 a＋ b＋2 c＋ d＋2 .ab cd因为 a＋ b＝ c＋ d，所以 abcd.于是( a－ b)2＝( a＋ b)2－4 ab ＋ 是| a－ b|0， b0，且 a＋ b＝ ＋ .证明：1a 1b(1)a＋ b≥2；(2)a2＋ a0， b0，得 ab＝1.1a 1b a＋ bab(1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋ b≥2 ＝2，即 a＋ b≥2，当且仅当 a＝ b＝1 时等号ab成立．(2)假设 a2＋ a0，得 0 ，(1－ b)c ，(1－ c)a .14 14 14 14三式同向相乘，得(1－ a)a(1－ b)b(1－ c)c (*)164又(1－ a)a≤ 2＝ ，(1－ a＋ a2 ) 14同理(1－ b)b≤ ，(1－ c)c≤ .14 14所以(1－ a)a(1－ b)b(1－ c)c≤ ，164与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确．考向 柯西不等式的应用例 4 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数 ai， bi(i＝1,2，…， n)，有( a1b1＋ a2b2＋…＋ anbn)2≤( a ＋ a ＋…＋ a )(b ＋ b ＋…＋ b )，当且仅当 ai＝ kbi(i＝1,2，…， n)时，等号成21 2 2n 21 2 2n立．(1)证明：当 n＝2 时的柯西不等式；(2)设 a， b， m， n∈R，且 a2＋ b2＝5， ma＋ nb＝5，求 的最小值．m2＋ n2解 (1)证明：当 n＝2 时，柯西不等式的二维形式为：( a ＋ a )(b ＋ b )≥( a1b1＋ a2b2)21 2 21 22，( a ＋ a )(b ＋ b )－( a1b1＋ a2b2)2＝ a b ＋ a b －2 a1a2b1b2＝( a1b2－ a2b1)2≥0，当且仅当21 2 21 2 212 221a1b2＝ a2b1时取得等号．(2)由柯西不等式得( a2＋ b2)(m2＋ n2)≥( ma＋ nb)2，所以 5(m2＋ n2)≥5 2即 m2＋ n2≥5，所以 的最小值为 .m2＋ n2 5触类旁通8利用柯西不等式解题时，要注意配凑成相应的形式，既可从左向右用，也可从右向左用．【变式训练 4】 [2018·皇姑区校级期末]设 xy0，则 的最小值为( )(x2＋4y2)(y2＋ 1x2)A．－9 B．9 C．10 D．0答案 B解析 ≥ 2＝9.当且仅当 xy＝ 即 xy＝ 时取等号．故选(x2＋4y2)(y2＋ 1x2) (x·1x＋ 2y·y) 2xy 2B.核心规律1.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．2.综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．3.不等式证明中的裂项形式：(1) ＝ － ， ＝ .1nn＋ 1 1n 1n＋ 1 1nn＋ k 1k(1n－ 1n＋ k)(2) ＋ ＋ ＋ ＝1，aa＋ b＋ c＋ d ba＋ b＋ c＋ d ca＋ b＋ c＋ d da＋ b＋ c＋ dS1， 1， 1，x1x2 x2x3 x3x1∴ · · 1 与 · · ＝1 矛盾，x1x2 x2x3 x3x1 x1x2 x2x3 x3x1∴至少有一个不大于 1.3．设 x0， y0， M＝ ， N＝ ＋ ，则 M、 N 的大小关系为________．x＋ y2＋ x＋ y x2＋ x y2＋ y答案 M ＋ ＝x2＋ x y2＋ y x2＋ x＋ y y2＋ x＋ y＝ M.x＋ y2＋ x＋ y4．已知 a， b∈R， a2＋ b2＝4，则 3a＋2 b 的取值范围是________．答案 [－2 ，2 ]13 13解析 根据柯西不等式(ac＋ bd)2≤( a2＋ b2)·(c2＋ d2)，可得(3 a＋2 b)2≤( a2＋ b2)·(32＋2 2)∴－2 ≤3 a＋2 b≤2 .13 133a＋2 b∈[－2 ，2 ]．13 13[B 级 能力达标]5．求证： ＋ ＋ ＋…＋ 0)．|x－4a|(1)证明： f(x)≥4；10(2)若 f(2)2 时，不等式变成 a2－ a－40)的解集为[－2,2]，求实数 m 的值；(x＋12)(2)对任意 x∈R， y0，求证： f(x)≤2 y＋ ＋|2 x＋3|.42y解 (1)不等式 f ≤2 m＋1⇔|2 x|≤2 m＋1( m0)，(x＋12)∴－ m－ ≤ x≤ m＋ ，12 12由解集为[－2,2]，可得 m＋ ＝2，解得 m＝ .12 32(2)证明：原不等式即为|2 x－1|－|2 x＋3|≤2 y＋ .42y令 g(x)＝|2 x－1|－|2 x＋3|≤|(2 x－1)－(2 x＋3)|＝4，当 2x＋3≤0，即 x≤－ 时， g(x)取得最大值 4，32又 2y＋ ≥2 ＝4，当且仅当 2y＝ ，即 y＝1 时，取得最小值 4.42y 2y·42y 42y则|2 x－1|－|2 x＋3|≤2 y＋ .42y故原不等式成立．8．[2018·黄山期末](1)已知 a， b∈(0，＋∞)，求证： x， y∈R，有＋ ≥ ；x2a y2b x＋ y2a＋ b(2)若 01，而(2－ a)b·(2－ b)c· (2－ c)a＝(2－ a)a·(2－ b)b·(2－ c)c≤ 2 2(2－ a＋ a2 )(2－ b＋ b2 )2＝1，(2－ c＋ c2 )这与(2－ a)b·(2－ b)c·(2－ c)a1 矛盾．所以假设错误，即(2－ a)b，(2－ b)c，(2－ c)a 不能同时大于 1.9．[2018·天津期末]已知 xy0， m0.(1)试比较 与 的大小；yx y＋ mx＋ m(2)用分析法证明： (2－ )≤1.xy xy解 (1)因为 － ＝ ， xy0， m0.yx y＋ mx＋ m my－ xxx＋ m所以 m(y－ x)0，所以 0，且( －1) 2≥0 成立，xy所以 (2－ )≤1.xy xy10．[2018·江阴市期末]已知实数 a0， b0.(1)若 a＋ b2，求证： ， 中至少有一个小于 2；1＋ ba 1＋ ab(2)若 a－ b＝2，求证： a3＋ b8.证明 (1)假设 ， 都不小于 2，则 ≥2， ≥2，因为 a0， b0，所以1＋ ba 1＋ ab 1＋ ba 1＋ ab1＋ b≥2 a,1＋ a≥2 b，1＋1＋ a＋ b≥2( a＋ b)，12即 2≥ a＋ b，这与已知 a＋ b2 相矛盾，故假设不成立．综上， ， 中至少有一个小于 2.1＋ ba 1＋ ab(2)∵ a－ b＝2，∴ b＝ a－2，∵ b0，∴ a2，∴ a3＋ b－8＝ a3－8＋ a－2＝( a－2)( a2＋2 a＋5)，∴( a－2)[( a＋1) 2＋4]0，∴ a3＋ b8.1第 1 讲 坐标系板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点 1 坐标变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ ：Error!的作用下，点 P(x， y)对应到点 P′( x′， y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点 2 极坐标与直角坐标1．极坐标系：在平面内取一个定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．2．点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点 M，若设| OM|＝ ρ (ρ ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角为 θ ，则点 M 可用有序数对( ， θ )表示．ρ3．极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，射线 Ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点 P 的直角坐标为( x， y)，它的极坐标为( ρ ， θ )，则相互转化公式为Error!Error!考点 3 常用简单曲线的极坐标方程2[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程．( )3(2)tanθ ＝1 与 θ ＝ 表示同一条曲线( ρ ≥0)．( )π 4(3)点 P 的直角坐标为(－ ， )，那么它的极坐标可表示为 .( )2 2 (2，3π4)(4)过极点，作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ ＝ α 或θ ＝π＋ α (ρ ∈R)．( )(5)圆心在极轴上的点( a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ ＝2 asinθ .( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．[2018·开封模拟]方程 ρ ＝－2cos θ 和 ρ ＋ ＝4 sinθ 的曲线的位置关系为( )4ρ 2A．相离 B．外切 C．相交 D．内切答案 B解析 方程 ρ ＝－2cos θ 化为直角坐标方程为( x＋1) 2＋ y2＝1， ρ ＋ ＝4 sinθ 化4ρ 2为直角坐标方程为 x2＋( y－2 )2＝4，两圆圆心距为 ＝3＝1＋2，所以两圆2 － 12＋ 222外切．3．[2018·皖北协作区联考]在极坐标系中，直线 ρ ( cosθ －sin θ )＝2 与圆3ρ ＝4sin θ 的交点的极坐标为( )A. B.(2，π 6) (2， π 3)C. D.(4，π 6) (4， π 3)答案 A解析 ρ ( cosθ －sin θ )＝2 可化为直角坐标方程 x－ y＝2，即 y＝ x－2.3 3 3ρ ＝4sin θ 可化为 x2＋ y2＝4 y，把 y＝ x－2 代入 x2＋ y2＝4 y，得34x2－8 x＋12＝0，即 x2－2 x＋3＝0，所以 x＝ ， y＝ 1.所以直线与圆的交点坐标为(3 3 3， 1)，化为极坐标为 .故选 A.3 (2，π 6)4．[2018·株洲模拟]在极坐标系中，直线 ρ sin(θ ＋ )＝2 被圆 ρ ＝4 截得的弦长π 4为( )A．2 B．2 C．4 D．42 3 2 3答案 D解析 直线 ρ sin(θ ＋ )＝2 可化为 x＋ y－2 ＝0，圆 ρ ＝4 可化为 x2＋ y2＝16，π 4 2由圆中的弦长公式得 2 ＝2 ＝4 .r2－ d242－ (222)2 35．[2017·北京高考]在极坐标系中，点 A 在圆 ρ 2－2 ρ cosθ －4 ρ sinθ ＋4＝0 上，点 P 的坐标为(1,0)，则| AP|的最小值为________．答案 1解析 由 ρ 2－2 ρ cosθ －4 ρ sinθ ＋4＝0，得4x2＋ y2－2 x－4 y＋4＝0，即( x－1) 2＋( y－2) 2＝1，圆心坐标为 C(1,2)，半径长为 1.∵点 P 的坐标为(1,0)，∴点 P 在圆 C 外．又∵点 A 在圆 C 上，∴| AP|min＝| PC|－1＝2－1＝1.6．[2017·天津高考]在极坐标系中，直线 4ρ cos ＋1＝0 与圆 ρ ＝2sin θ 的(θ －π 6)公共点的个数为________．答案 2解析 由 4ρ cos ＋1＝0 得 2 ρ cosθ ＋2 ρ sinθ ＋1＝0，故直线的直角坐标(θ －π 6) 3方程为 2 x＋2 y＋1＝0.3由 ρ ＝2sin θ 得 ρ 2＝2 ρ sinθ ，故圆的直角坐标方程为 x2＋ y2＝2 y，即 x2＋( y－1) 2＝1.圆心为(0,1)，半径为 1.∵圆心到直线 2 x＋2 y＋1＝0 的距离 d＝ ＝ ＜1，∴直线与圆相交，有3|2×1＋ 1|232＋ 22 34两个公共点．板块二 典例探究·考向突破考向 平面直角坐标系下图形的变换例 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换Error!后的图形．(1)2x＋3 y＝0；(2) x2＋ y2＝1.解 由伸缩变换Error!得到Error!(*)(1)将(*)代入 2x＋3 y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是 x′＋ y′＝0.因此，经过伸缩变换Error!后，直线 2x＋3 y＝0 变成直线 x′＋ y′＝0.(2)将(*)代入 x2＋ y2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 ＋ ＝1.x′ 24 y′ 29因此，经过伸缩变换Error!后，圆 x2＋ y2＝1 变成椭圆 ＋ ＝1.x′ 24 y′ 29触类旁通平面直角坐标系下图形的变换技巧平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．【变式训练 1】 求椭圆 ＋ y2＝1，经过伸缩变换Error!后的曲线方程．x24解 由Error!得到Error! ①5将①代入 ＋ y2＝1，得 ＋ y′ 2＝1，即 x′ 2＋ y′ 2＝1.x24 4x′ 24因此椭圆 ＋ y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋ y2＝1.x24考向 极坐标与直角坐标的互化例 2 [2017·全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 ρ cosθ ＝4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2上，求△ OAB 面积的最大值．(2，π 3)解 (1)设 P 的极坐标为( ρ ， θ )(ρ 0)， M 的极坐标为( ρ 1， θ )(ρ 10)．由题设知| OP|＝ ρ ，| OM|＝ ρ 1＝ .4cosθ由| OM|·|OP|＝16 得 C2的极坐标方程为 ρ ＝4cos θ (ρ 0)．因此 C2的直角坐标方程为( x－2) 2＋ y2＝4( x≠0)．(2)设点 B 的极坐标为( ρ B， α )(ρ B0)．由题设知| OA|＝2， ρ B＝4cos α ，于是△ OAB 的面积S＝ |OA|·ρ B·sin∠ AOB＝4cos α ·12 |sin(α － π 3)|＝2 ≤2＋ .|sin(2α －π 3)－ 32| 3当 α ＝－ 时， S 取得最大值 2＋ .π12 3所以△ OAB 面积的最大值为 2＋ .3触类旁通直角坐标方程与极坐标方程互化的方法直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 x＝ ρ cosθ 及 y＝ ρ sinθ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 ρ cosθ ， ρ sinθ ， ρ 2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以) ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．【变式训练 2】 已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)．在以坐标原点为极点， x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 sinθ － ρ cos2θ ＝0.3(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标．解 (1)∵sin θ － ρ cos2θ ＝0，∴ ρ sinθ － ρ 2cos2θ ＝0，3 3即 y－ x2＝0.3(2)将Error!代入 y－ x2＝0 得，3＋ t－ 2＝0，即 t＝0，3 3 3(1＋12t)6从而，交点坐标为(1， )，3∴交点的一个极坐标为 .(2，π 3)考向 极坐标方程及其应用例 3 [2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x＋6) 2＋ y2＝25.(1)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数)， l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|＝ ，求 l 的10斜率．解 (1)由 x＝ ρ cosθ ， y＝ ρ sinθ ，可得圆 C 的极坐标方程为ρ 2＋12 ρ cosθ ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ ＝ α (ρ ∈R)．设 A， B 所对应的极径分别为 ρ 1， ρ 2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程，得 ρ 2＋12 ρ cosα ＋11＝0.于是 ρ 1＋ ρ 2＝－12cos α ， ρ 1ρ 2＝11.|AB|＝| ρ 1－ ρ 2|＝ ＝ .由| AB|＝ ，得ρ 1＋ ρ 22－ 4ρ 1ρ 2 144cos2α － 44 10cos2α ＝ ，tan α ＝± .所以 l 的斜率为 或－ .38 153 153 153触类旁通极坐标方程及其应用的类型及解题策略(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程．(2)求点到直线的距离、线段的长度．先将极坐标系下点的坐标、直线、曲线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线、曲线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离、线段公式求解．【变式训练 3】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( α 为参数)，直线l 的参数方程为Error!( t 为参数)．在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O 的射线与曲线 C 相交于不同于极点的点 A，且点 A 的极坐标为(2 ， θ )，其3中 θ ∈ .(π 2， π )(1)求 θ 的值；(2)若射线 OA 与直线 l 相交于点 B，求| AB|的值．解 (1)由题意知，曲线 C 的普通方程为 x2＋( y－2) 2＝4，∵ x＝ ρ cosθ ， y＝ ρ sinθ ，∴曲线 C 的极坐标方程为( ρ cosθ )2＋( ρ sinθ －2)2＝4，即 ρ ＝4sin θ .由 ρ ＝2 ，得 sinθ ＝ ，332∵ θ ∈ ，∴ θ ＝ .(π 2， π ) 2π3(2)由题易知直线 l 的普通方程为 x＋ y－4 ＝0，3 37∴直线 l 的极坐标方程为 ρ cosθ ＋ ρ sinθ －4 ＝0.3 3又射线 OA 的极坐标方程为 θ ＝ (ρ ≥0)，2π3联立，得Error!解得 ρ ＝4 .3∴点 B 的极坐标为 ，(43，2π3)∴| AB|＝| ρ B－ ρ A|＝4 －2 ＝2 .3 3 3核心规律如何解决极坐标问题(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标．(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：Error!⇒Error!(3)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程 ρ ＝ ρ (θ )的图形的对称性：若 ρ (θ )＝ ρ (－ θ )，则相应图形关于极轴对称；若 ρ (θ )＝ ρ (π－ θ )，则图形关于射线 θ ＝所在的直线对称；若 ρ (θ )＝ ρ (π＋ θ )，则图形关于极点 O 对称．π 2满分策略极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与 x 轴正方向重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角 θ 时，应注意判断点 P 所在的象限(即角 θ 的终边的位置)，以便正确地求出角 θ .利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定 ρ 取正值，θ ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标( ρ ， θ )(ρ ≠0)建立一一对应关系.板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·广东珠海模拟]在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为ρ 2＝4 ρ (cosθ ＋sin θ )－6.若以极点 O 为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆 C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点 P(x， y)是圆 C 上一动点，试求 x＋ y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标．解 (1)因为 ρ 2＝4 ρ (cosθ ＋sin θ )－6，所以 x2＋ y2＝4 x＋4 y－6，所以 x2＋ y2－4 x－4 y＋6＝0，8整理得( x－2) 2＋( y－2) 2＝2.所以圆 C 的参数方程为Error!( θ 为参数)．(2)由(1)可得 x＋ y＝4＋ (sinθ ＋cos θ )2＝4＋2sin .(θ ＋π 4)当 θ ＝ ，即点 P 的直角坐标为(3,3)时， x＋ y 取得最大值，其值为 6.π 42．[2018·宁波模拟]已知曲线 C1的参数方程为Error!( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 ρ ＝2sin θ .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( ρ ≥0,0≤ θ 2π)．解 (1)将Error!消去参数 t，化为普通方程( x－4) 2＋( y－5) 2＝25，即 C1： x2＋ y2－8 x－10 y＋16＝0.将Error!代入 x2＋ y2－8 x－10 y＋16＝0 得 ρ 2－8 ρ cosθ －10 ρ sinθ ＋16＝0.所以 C1的极坐标方程为 ρ 2－8 ρ cosθ －10 ρ sinθ ＋16＝0.(2)C2的直角坐标方程为 x2＋ y2－2 y＝0.由Error!解得Error!或Error!所以 C1与 C2交点的极坐标分别为 ， .(2，π 4) (2， π 2)3．[2018·南通模拟]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为Error!( φ 为参数)．以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆 C 的普通方程；(2)直线 l 的极坐标方程是 2ρ sin ＝5 ，射线 OM： θ ＝ 与圆 C 的交点为(θ ＋π 6) 3 π 6O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．解 (1)因为圆 C 的参数方程为Error!( φ 为参数)，所以圆心 C 的坐标为(0,2)，半径为2，圆 C 的普通方程为 x2＋( y－2) 2＝4.(2)将 x＝ ρ cosθ ， y＝ ρ sinθ 代入 x2＋( y－2) 2＝4，得圆 C 的极坐标方程为ρ ＝4sin θ .设 P(ρ 1， θ 1)，则由Error!解得 ρ 1＝2， θ 1＝ .π 6设 Q(ρ 2， θ 2)，则由Error!解得 ρ 2＝5， θ 2＝ .所以| PQ|＝3.π 64．[2018·昆明模拟]将圆 x2＋ y2＝1 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 Γ .(1)写出 Γ 的参数方程；(2)设直线 l：3 x＋2 y－6＝0 与 Γ 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．9解 (1)设( x1， y1)为圆上的点，在已知变换下变为 Γ 上的点( x， y)，依题意，得Error!即Error!由 x ＋ y ＝1，得 2＋ 2＝1，即曲线 Γ 的方程为 ＋ ＝1.21 21 (x2) (y3) x24 y29故 Γ 的参数方程为Error!( t 为参数)．(2)由Error!解得Error! 或Error!不妨设 P1(2,0)， P2(0,3)，则线段 P1P2的中点坐标为 ，所求直线的斜率 k＝ .于(1，32) 23是所求直线方程为 y－ ＝ (x－1)，即 4x－6 y＋5＝0，化为极坐标方程，得32 234ρ cosθ －6 ρ sinθ ＋5＝0.5．[2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( α 为参数)．以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρ sin ＝2 .(θ ＋π 4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求| PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标．解 (1)由曲线 C1：Error!得Error!即曲线 C1的直角坐标方程为 ＋ y2＝1.x23由曲线 C2： ρ sin ＝2 ，得 ρ (sinθ ＋cos θ )＝2 ，即曲线 C2的直角坐(θ ＋π 4) 2 22 2标方程为 x＋ y－4＝0.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( cosα ，sin α )．因为 C2是直线，所以| PQ|的3最小值即为 P 到 C2的距离 d(α )的最小值，d(α )＝ ＝ .|3cosα ＋ sinα － 4|2 2|sin(α ＋ π 3)－ 2|当且仅当 α ＝2 kπ＋ (k∈Z)时， d(α )取得最小值，最小值为 ，此时 P 的直角坐π 6 2标为 .(32， 12)6．[2018·合肥模拟]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(其中 φ 为参数)，曲线 C2： x2＋ y2－2 y＝0，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l： θ ＝ α (ρ ≥0)与曲线 C1， C2分别交于点 A， B(均异于原点 O) .(1)求曲线 C1， C2的极坐标方程；(2)当 0α 时，求| OA|2＋| OB|2的取值范围．π 2解 (1)∵Error!( φ 为参数)，∴ ＋ y2＝1.x22由Error!得曲线 C1的极坐标方程为 ρ 2＝ .21＋ sin2θ∵ x2＋ y2－2 y＝0，∴曲线 C2的极坐标方程为 ρ ＝2sin θ .10(2)由(1)得| OA|2＝ ρ 2＝ ，| OB|2＝ ρ 2＝4sin 2α ，21＋ sin2α∴| OA|2＋| OB|2＝ ＋4sin 2α ＝ ＋4(1＋sin 2α )－4，21＋ sin2α 21＋ sin2α∵0 α ，∴11＋sin 2α 2，∴6 ＋4(1＋sin 2α )9，π 2 21＋ sin2α∴| OA|2＋| OB|2的取值范围为(2,5)．