1、第 5 讲 直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l 与平面 内的任意直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 Error!ab2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两
2、个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言 图形表示 符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直Error! 性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一Error!l 个平面诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l .( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( )解析 (1)直
3、线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则有 l 或 l 与 斜交或l或 l，故 (1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的所有直线，则 ，故(4)错误.答案 (1) (2) (3) (4)2.(必修 2P56A 组 7T 改编)下列命题中错误的是( )A.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平
4、面 平面 ，平面 平面 ， l ，那么 l平面 D.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项易知均是正确的 .答案 D3.(2016浙江卷 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足m，n ，则( )A.ml B.mnC.nl D.mn解析 因为 l，所以 l，又 n，所以 nl，故选 C.答案 C4.已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( )A. 且 m B. 且 mC.mn 且
5、 n D.mn 且 解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确.答案 C5.(2017浙江名校协作体联考)已知矩形 ABCD，AB1，BC .将ABD 沿矩2形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD”， “AB 与 CD”， “AD 与 BC”均不垂直解析 若 ABCD，BCCD，则可得 CD平面 ACB，因此有 CDAC.因为AB1，BCAD ，CD1，所以
6、AC1，所以存在某个位置，使得2ABCD.答案 B6.(必修 2P67 练习 2 改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点O，(1)若 PAPBPC ，则点 O 是ABC 的_心.(2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心.解析 (1)如图 1，连接 OA，OB ，OC ，OP ，在 RtPOA、 RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB，所以 OAOBOC ，即 O 为ABC 的外心.图 1 图 2(2)如图 2，PCPA，PBPC，PA PBP，PC 平面 PAB，AB平面 PAB，PC AB，又 ABPO ， POPCP ，AB平面
7、PGC，又 CG平面 PGC， ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 的高.同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为ABC 的垂心.答案 (1)外 (2)垂考点一 线面垂直的判定与性质【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD ，ABC60，PA ABBC，E 是 PC 的中点.证明：(1)CD AE；(2)PD平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD 平面 ABCD，PACD，又ACCD，且 PAACA，CD平面 PAC.而 AE平面 PAC，CDAE .(2)由 PAABBC ，AB
8、C60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC.由(1)知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD.PA底面 ABCD，AB 平面 ABCD，PAAB.又ABAD，且 PAADA，AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面 ABE.规律方法 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，a b)；面面平行的性质(a， a)；面面垂直的性质 ( ， a，la，l l).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基
9、本思想 .【训练 1】 如图所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段AB 上一点，且 AD DB，点 C 为圆 O 上一点，且13BC AC，PD平面 ABC，PDDB.3求证：PACD.证明 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 ACCB.在 Rt ABC 中，由 ACBC 得，ABC30.3设 AD 1，由 3ADDB 得，DB 3，BC2 .3由余弦定理得 CD2DB 2BC 22DBBCcos 30 3，所以 CD2DB 2BC 2，即 CDAB.因为 PD平面 ABC，CD平面 ABC，所以 PDCD，由 PDABD 得，CD平面 PAB，又 PA平面 PAB，所以 PACD
10、 .考点二 面面垂直的判定与性质【例 2】 (2015山东卷)如图，三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点.(1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，AB BC，求证：平面 BCD平面 EGH. 证明 (1)连接 DG，CD ，设 CDGFM，连接 MH.在三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G 为 AC 中点，可得 DFGC，且 DFGC，则四边形 DFCG 为平行四边形.从而 M 为 CD 的中点，又 H 为 BC 的中点，所以 HMBD，又 HM平面 FGH，BD 平面 FGH，故 BD 平面 FGH.(2)连接 HE，因为 G，H 分别为 A
11、C，BC 的中点，所以 GHAB .由 ABBC，得 GHBC.又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EFHC，因此四边形 EFCH 是平行四边形，所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC.又 HE， GH平面 EGH，HEGHH，所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.规律方法 (1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练 2】 如图，在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面ABC，PAPB，M，N 分
12、别为 AB，PA 的中点.(1)求证：PB平面 MNC；(2)若 ACBC，求证：PA平面 MNC.证明 (1)因为 M，N 分别为 AB，PA 的中点，所以 MNPB .又因为 MN平面 MNC，PB平面 MNC，所以 PB平面 MNC.(2)因为 PAPB，MNPB，所以 PAMN.因为 ACBC，AMBM，所以 CMAB .因为平面 PAB平面 ABC，CM平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB .所以 CM平面 PAB.因为 PA平面 PAB，所以 CMPA .又 MNCMM，所以 PA平面 MNC.考点三 平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一 多面体中平行与垂直关系的证明【
13、例 31】 (2016 江苏卷)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且B1DA 1F，A 1C1A 1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1C1AC.在ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，于是 DE A1C1.又因为 DE平面 A1C1F，A 1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，A 1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面
14、A1B1C1，所以 A1AA 1C1.又因为 A1C1A 1B1，A 1A平面 ABB1A1，A 1B1平面 ABB1A1，A 1AA 1B1A 1，所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1B 1D.又因为 B1DA 1F，A 1C1平面 A1C1F，A 1F平面 A1C1F，A 1C1A 1FA 1，所以B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.规律方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
15、命题角度二 平行垂直中探索性问题【例 32】 如图所示，平面 ABCD平面 BCE，四边形ABCD 为矩形，BCCE，点 F 为 CE 的中点.(1)证明：AE平面 BDF.(2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P，使得 PMBE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由 .(1)证明 连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，如图.四边形 ABCD 是矩形，O 为 AC 的中点，又 F 为 EC 的中点，OF 为 ACE 的中位线，OF AE，又 OF平面 BDF，AE平面 BDF，AE平面 BDF.(2)解 当 P 为 AE 中点时，有 PMB
16、E，证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP，PH ，CH ，P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点，PH AB，又 ABCD，PHCD，P，H，C，D 四点共面.平面 ABCD平面 BCE，平面 ABCD平面 BCEBC ，CD平面ABCD，CDBC.CD平面 BCE，又 BE平面 BCE，CDBE ，BCCE，H 为 BE 的中点，CH BE，又 CDCH C ，BE平面 DPHC，又 PM平面 DPHC，BEPM，即 PMBE.规律方法 (1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)涉及点的
17、位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.【训练 3】 (2017嘉兴七校联考)在如图所示的几何体中，面 CDEF 为正方形，面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AC ，AB2BC 2，AC FB.3(1)求证：AC 平面 FBC.(2)求四面体 FBCD 的体积 .(3)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA平面 FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明 在 ABC 中，因为 AC ，AB2，BC1，所以 AC2BC 2AB 2，3所以 ACBC.又因为 ACFB，BCFBB
18、，所以 AC平面 FBC.(2)解 因为 AC平面 FBC，FC平面 FBC，所以 ACFC .因为 CDFC，ACCD C，所以 FC平面 ABCD.在等腰梯形 ABCD 中可得 CBDC1，所以 FC1.所以BCD 的面积为 S .34所以四面体 FBCD 的体积为 VFBCD SFC .13 312(3)解 线段 AC 上存在点 M，且点 M 为 AC 中点时，有 EA平面 FDM.证明如下：连接 CE，与 DF 交于点 N，取 AC 的中点 M，连接 MN.因为四边形 CDEF 是正方形，所以点 N 为 CE 的中点.所以 EAMN.因为 MN平面 FDM，EA 平面 FDM，所以 E
19、A平面 FDM.所以线段 AC 上存在点 M，且 M 为 AC 的中点，使得 EA平面 FDM 成立.思想方法1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与 内任何直线都垂直a ；(2)判定定理 1：Error! l ；(3)判定定理 2：ab，a b ；(4)面面垂直的性质：， l，a ，a la ；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a ，a .3.转化思想：垂直关系的转化易错防范1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面
20、内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.(2015浙江卷 )设 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且l ，m ( )A.若 l，则 B.若 ，则 lmC.若 l ，则 D.若 ，则 lm解析 由面面垂直的判定定理，可知 A 选项正确； B 选项中，l 与 m 可能平行；C 选项中， 与 可能相交； D 选项中，l 与 m 可能异面.答案 A2.(2017深圳四校联考 )若平面 ， 满足 ， l，P ，
21、P l，则下列命题中是假命题的为( )A.过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内C.过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内D.过点 P 且在平面 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 解析 由于过点 P 垂直于平面 的直线必平行于平面 内垂直于交线的直线，因此也平行于平面 ，因此 A 正确.过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 ，不一定在平面 内，因此 B 不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D 正确.答案 B3.如图，在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A.BC平面 P
22、DFB.DF平面 PAEC.平面 PDF平面 PAED.平面 PDE 平面 ABC解析 因为 BCDF，DF平面 PDF，BC平面 PDF，所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确.在正四面体中，AEBC，PEBC，AE PEE，BC 平面 PAE，DFBC ，则 DF平面 PAE，又 DF平面 PDF，从而平面PDF平面 PAE.因此选项 B，C 均正确.答案 D4.(2017丽水调研 )设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A.若 l，l ，则 B.若 l，l ，则 C.若 ，l ，则 l D.若 ，l ，则 l解析 A 中， 或 与 相交，不正确.B 中，过直线
23、 l 作平面 ，设l，则 ll，由 l，知 l ，从而 ， B 正确.C 中，l 或l，C 不正确.D 中，l 与 的位置关系不确定.答案 B5.(2017天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD为折痕，把ABD 和ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BD AC；BAC 是等边三角形；三棱锥 DABC 是正三棱锥；平面 ADC平面 ABC.其中正确的是( )A. B. C. D.解析 由题意知，BD平面 ADC，且 AC平面 ADC，故 BDAC，正确；AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以ABACBC
24、， BAC 是等边三角形，正确；易知 DADBDC，又由知正确；由知错.答案 B二、填空题6.如图，已知 PA平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_.解析 PA平面 ABC，AB ，AC，BC 平面 ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC 为直角三角形.由 BCAC ，且 ACPAA ，BC平面 PAC，从而 BCPC，因此 ABC， PBC 也是直角三角形.答案 47.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD 平面 PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析 由定理可
25、知，BDPC.当 DMPC(或 BMPC)时，有 PC平面 MBD.又 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.答案 DM PC( 或 BMPC 等)8.(2016全国 卷改编)， 是两个平面，m，n 是两条直线.(1)如果 m，n ，那么 m，n 的位置关系是_；(2)如果 mn ， ，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角的大小关系是_.解析 (1)由线面平行的性质定理知存在直线 l， nl，m ，所以 ml ，所以 mn.(2)因为 mn ，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.因为 ，所以 n与 所成的角和 n 与 所成的角相等，所以 m 与 所成的角和 n 与 所成
26、的角相等.答案 (1)垂直 (2) 相等三、解答题9.(2017青岛质检 )如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBCBD 2，ABC DBC120，E，F，G 分别为 AC，DC ，AD 的中点.(1)求证：EF平面 BCG；(2)求三棱锥 DBCG 的体积 .(1)证明 由已知得 ABC DBC，因此 ACDC.又 G 为 AD 的中点，所以 CGAD.同理 BGAD，又 BGCGG，因此 AD平面 BCG.又 EFAD，所以 EF平面 BCG.(2)解 在平面 ABC 内，作 AOBC，交 CB 的延长线于 O，如图由平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BDCBC，A
27、O平面 ABC，知 AO平面 BDC.又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半.在AOB 中， AOAB sin 60 ，3所以 VDBCG V GBCD SDBC h BDBC13 13 12sin 120 .32 1210.(2016北京卷 )如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面ABCD，AB DC，DCAC.(1)求证：DC平面 PAC；(2)求证：平面 PAB平面 PAC；(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由.(1)证明 因为 PC平面 ABCD，所以 PCDC.又因为 ACDC，
28、且 PCACC，所以 DC平面 PAC.(2)证明 因为 ABDC， DCAC，所以 ABAC.因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB.又因为 PCACC，所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又因为 E 为 AB 的中点，所以EFPA.又因为 PA平面 CEF，且 EF平面 CEF，所以 PA平面 CEF.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面 .则下列说法正确的是( )A.若 mn，
29、n ，则 mB.若 m， ，则 mC.若 m，n ，n ，则 mD.若 mn，n ， ，则 m解析 A 中，由 mn，n 可得 m 或 m 与 相交或 m，错误；B 中，由 m， 可得 m 或 m 与 相交或 m，错误；C 中，由m ， n 可得 mn，又 n，所以 m，正确；D 中，由mn，n ， 可得 m 或 m 与 相交或 m，错误.答案 C12.(2017诸暨调研 )如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是BC，CD 的中点，沿 AE，AF，EF 把正方形折成一个四面体，使B，C，D 三点重合，重合后的点记为 P，P 点在AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是( )A.O 是A
30、EF 的垂心 B.O 是AEF 的内心C.O 是AEF 的外心 D.O 是AEF 的重心解析 由题意可知 PA，PE，PF 两两垂直，所以 PA平面 PEF，从而 PAEF，而 PO 平面 AEF，则 POEF，因为 POPAP，所以 EF平面 PAO，EFAO，同理可知 AEFO，AF EO，O 为AEF 的垂心.答案 A13.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA 2AB ，则下列结论中： PBAE；平面ABC平面 PBC；直线 BC平面 PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).解析 由 PA平面 ABC，AE 平面 ABC，得 P
31、AAE，又由正六边形的性质得 AEAB，PA ABA，得 AE平面 PAB，又 PB平面PAB， AE PB，正确；又平面 PAD平面 ABC，平面 ABC平面 PBC 不成立，错；由正六边形的性质得 BCAD，又 AD平面 PAD，BC平面PAD，BC平面 PAD， 直线 BC平面 PAE 也不成立，错；在 RtPAD 中，PAAD2AB ，PDA45 ， 正确.答案 14.(2016四川卷 )如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，AD BC ，ADCPAB 90，BCCD AD.12(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由.(2)证明：平面 PAB平面
32、 PBD.(1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：因为 ADBC，BC AD.所以 BCAM，且 BCAM .12所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB.又 AB平面 PAB.CM平面 PAB.所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知， PAAB，PACD.因为 ADBC，BC AD，12所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA平面 ABCD.又 BD平面 ABCD，从而 PABD.因为 ADBC，BC AD，12M 为 AD 的中点，连接 BM，所以 BCM
33、D，且 BCMD.所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BMCD AD，所以 BDAB .12又 ABAPA，所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.15.(2016浙江卷 )如图，在三棱台 ABCDEF 中，平面BCFE平面 ABC，ACB 90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面 ACFD；(2)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.(1)证明 延长 AD，BE ， CF 相交于一点 K，如图所示，因为平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC，所以 AC平面 BCK，因此 BFAC.又因为 EFBC，BE EFFC1，BC2，所以BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则BFCK.所以 BF平面 ACFD.(2)解 由(1)知 BF平面 ACFD，所以 BF平面 ACK，所以BDF 是直线 BD与平面 ACFD 所成的角.在 RtBFD 中，BF ，DF ，得 cos BDF .332 217所以，直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值为 .217
